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1、单击以编辑,母版标题样式,,单击以编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,*,高等数学,*,二、无界函数的反常积分,第四节,常义积分,积分限有限,被积函数有界,推广,一、无穷限的反常积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,反常积分,(,广义积分,),反常积分,第,五,章,11/27/2024,高等数学,一、无穷限的反常积分,引例,.,,曲线,和直线,及,,x,轴所围成的开口曲,边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/27/2024,高等数学,定义,1.,,设,若,存在,,,则称此极限为,,f,
2、(,x,),的无穷限,反常积分,,,记作,这时称反常积分,收敛,,;,如果上述极限不存在,,,就称反常积分,发散,,.,类似地,,,若,则定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/27/2024,高等数学,则定义,(,c,,为任意取定的常数,),只要有一个极限不存在,,,就称,发散,.,无穷限的反常积分也称为,第一类反常积分,.,并非不定型,,,说明,:,,上述定义中若出现,机动 目录 上页 下页 返回 结束,它,表明该反常积分发散,.,11/27/2024,高等数学,引入记号,则有类似牛,–,莱公式的计算表达式,:,机动 目录 上页
3、下页 返回 结束,11/27/2024,高等数学,例,1.,,计算反常积分,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考,:,分析,:,原积分发散,!,注意,:,,对反常积分,,,只有在收敛的条件下才能使用,“,偶倍奇零” 的性质,,,否则会出现错误,.,11/27/2024,高等数学,例,2.,,证明第一类,p,,积分,证,:,当,p =,1,时有,当,p ≠,1,时有,当,p >,1,时收敛,;,p≤,1,,时发散,.,因此,,,当,p >,1,,时,,,反常积分收敛,,,其值为,当,p≤,1,,时,,,反常积分发散,.,机动 目录 上页 下页
4、 返回 结束,11/27/2024,高等数学,例,3.,,计算反常积分,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/27/2024,高等数学,二、无界函数的反常积分,引例,:,曲线,所围成的,与,,x,轴,,,y,,轴和直线,开口曲边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/27/2024,高等数学,定义,2.,,设,而在点,a,,的右邻域内无界,,,存在,,,这时称反常积分,收敛,;,如果上述极限不存在,,,就称反常积分,发散,.,类似地,,,若,而在,b,,的左邻域内无界,,,若极限,数,f,(,x,)
5、,在,[,a,,,b,],上的反常积分,,,记作,则定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则称此极限为函,11/27/2024,高等数学,若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类,说明,:,而在点,,c,,的,无界函数的积分又称作,第二类反常积分,,,无界点常称,邻域内无界,,,为,瑕点,(,奇点,),.,例如,,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,间断点,,,而不是反常积分,.,则本质上是常义积分,,,则定义,11/27/2024,高等数学,注意,:,,若瑕点,的计算表达式,:,则也有类似牛,–,莱公式的,若,,b,,为瑕点,,,则,若,a,,为
6、瑕点,,,则,若,a,,,b,,都为瑕点,,,则,则,可相消吗,?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/27/2024,高等数学,下述解法是否正确,:,, ∴,积分收敛,例,4.,,计算反常积分,解,:,,显然瑕点为,,a,,,所以,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,5.,,讨论反常积分,的收敛性,.,解,:,所以反常积分,发散,.,11/27/2024,高等数学,例,6.,证明反常积分,证,:,当,,q,= 1,时,,,当,,q,< 1,时收敛,;,q,≥1,时,发散,.,当,,q,≠1,时,所以当,,q,< 1,,时,,,该广义积分
7、收敛,,,其值为,当,,q,,≥,1,,时,,,该广义积分发散,,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/27/2024,高等数学,例,7.,解,：,求,的,无穷间断点,,,故,I,为,反常,积分,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/27/2024,高等数学,内容小结,,1.,反常积分,积分区间无限,被积函数无界,常义积分的极限,,2.,两个重要的反常积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/27/2024,高等数学,说明,:,(1),,有时通过换元,,,反常积分和常义积分可以互,相转化,.,例如,,,(2),,
8、当一题同时含两类反常积分时,,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,应划分积分区间,,,分别讨论每一区间上的反常积分,.,11/27/2024,高等数学,,(3),,有时需考虑,主值意义下的反常积分,.,其定义为,P256,,题,1 (1) , (2) , (7) , (8),机动 目录 上页 下页 返回 结束,常积分收敛,.,注意,:,,主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反,思考与练习,11/27/2024,高等数学,P256 1,(4) , (5) , (6) , (9) , (10) ;,,2 ; 3,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,提示,:,,P256,题,2,求其,最大值,.,作业,11/27/2024,高等数学,备用题,,试证,,,并求其值,.,解,:,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/27/2024,高等数学,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/27/2024,高等数学,
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