指数与指数运算、指数函数及性质

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1、单击此处编辑母版标题样式,,,*,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,2.1.1,指数与指数幂的运算,第一课时 根式,,问题提出,,1.,据国务院发展研究中心,2000,年发表的,《,未来,20,年我国发展前景分析,》,判断,,,未来,20,年，我国,GDP(,国内生产总值,),年平均增长率可望达到,7.3%.,那么在,2010,年,,,我国的,GDP,可望为,2000,年的多少倍,?,,,３,、,对,1.073,10,，,这两个数的意义如何？怎样运算？,,2.,当生物死亡后,,,它机体内原有的碳,14,会按确定的规律衰减,,,大约每经过,5730,年衰

2、减为原来的一半,,,这个时间称为“半衰期”,.,根据此规律,,,人们获得了生物体内碳,14,含量,P,与死亡年数,t,之间的关,,,系　　　　 ，那么当生物体死亡了１万年后，,,,它体内碳,14,的含量为多少？,,根式,,知识探究（一）：方根的概念,思考,1:,４的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？,思考,3:,一般地，实常数,a,的平方根、立方根是什么概念？,思考,2:,-27,的立方根是什么？任何一个实数都有立方根吗？一个数的立方根有几个？,,,,,思考,4:,如果,x,4,＝,a,，,x,5,＝,a,，,x,6,＝,a,，参照上面的说法，这里的,x,分别叫什么

3、名称？,,思考,5:,推广到一般情形，,a,的,n,次方根是一个什么概念？试给出其定义,.,,一般地，如果,x,n,＝,a,，那么,x,叫,a,的,n,次方根，其中,n,＞,1,且,n∈N.,,,思考,3:,一般地，当,n,为奇数时，实数,a,的,n,次方根存在吗？有几个？,思考,1:,-8,的立方根，,16,的,4,次方根，,32,的,5,次方根，,-32,的,5,次方根，,0,的,7,次方根，,a,6,的立方根分别是什么数？怎样表示？,,思考,2:,设,a,为实常数，则关于,x,的方程,x,3,=a,，,x,5,=a,分别有解吗？有几个解？,,知识探究（二）：根式的概念,,思考,4:,设,

4、a,为实常数，则关于,x,的方程,x,4,=a,，,x,6,=a,分别有解吗？有几个解？,,思考,5:,一般地，当,n,为偶数时，实数,a,的,n,次方根存在吗？有几个？,,,,思考,6:,我们把式子　　　　　　叫做根式，其中,n,叫做根指数，,a,叫做被开方数,.,那么，,a,的,n,次方根用根式怎么分类表示？,,当,n,是奇数时，,a,的,n,次方根为,.,,当,n,是偶数时,,,若,a,>,0,，则,a,的,n,次方根为,;,,,若,a=0,，则,a,的,n,次方根为,0,；,,若,a,<,0,，则,a,的,n,次方根不存在,.,,知识探究（三）：根式的性质,思考,1:,分别等于什么？一

5、般地 等于,什么？,当,n,是奇数时,;,当,n,是偶数时,思考,3:,对任意实数,a,，,b,，等式,,成立吗,,？,思考,2:,分别等于什么？一般地 于什么？,,理论迁移,例,1,求下列各式的值,,(,1,) ; (2) ; (3) ;,,(4) ; (5) ; (6) .,例,2,化简下列各式,,(1) ;,,(2) .,,作业,,P,59,习题,2.1A,组：,1.,,2.1.1,指数与指数幂的运算,第二课时 分数指数幂和无理数指数幂,

6、,问题提出,1.,什么叫,a,的,n,次方根？,,2.,设 ，则 的含义分别如何？,,3.,整数指数幂有哪些运算性质？,,设 ，则 ；,,；,.,4.,,有意义吗？,,分数指数幂和,无理数指数幂,,知识探究（一）：分数指数幂的意义,思考,2:,观察上述结论，你能总结出什么规律？,思考,1:,设,a>0,， ， ， 分别等于什么？,思考,3:,按照上述规律,,,根式 ，,,,,分别可写成什么形式？,,,思考,4:,我们规

7、定：,(a,>,0,m,，,n∈N,且,,n,＞,1),，那么 表示一个什么数？,,分别表示什么根式？,,思考,5:,你认为如何规定,(a,>,0,m,n∈N,，且,n,＞,1),的含义？,,,思考,6:,怎样理解零的分数指数幂的意义？,,思考,7:,都有意义吗？,,当 时， 何时无意义？,,知识探究（二）,:,有理数指数幂的运算性质,思考,1:,=,？一般地 等于什么？,,思考,2:,=,？一般地 等于什么？,思考,3,：,=,？一般地

8、 等于什么？,,思考,4:,一般地 等于什么？,,,知识探究（三）,:,无理数指数幂的意义,思考,1:,我们知道 ＝,1,．,414 21356…,,,那么 的大小如何确定？,,的过剩近似值,的过剩近似值,1.5,11.180 339 89,1.42,9.829 635 328,1.415,9.750 851 808,1.414 3,9.739 872 62,1.414 22,9.738 618 643,1.414 214,9.738 524 602,1.414 213 6,9.738 518 332,1.414 2

9、13 57,9.738 517 862,1.414 213 563,9.738 517 752,,的不足近似值,的不足近似值,9.518 269 694,1.4,9.672 669 973,1.41,9.735 171 039,1.414,9.738 305 174,1.414 2,9.738 461 907,1.414 21,9.738 508 928,1.414 213,9.738 516 765,1.414 213 5,9.738 517 705,1.414 213 56,9.738 517 736,1.414 213 562,,思考,3:,有理指数幂的运算性质适应于无理数指数幂吗？,思

10、考,2:,观察上面两个图表， 是一个确定的数吗？,,,例,1,求下列各式的值,,,(1) ;(2) ;(3) ;(4) .,理论迁移,例,2,化简下列各式的值,,(1),,(2),,(3),,(4),,小结作业,:,,1.,指数幂的运算性质适应于实数指数幂,.,,2.,对根式的运算，应先化为分数指数幂，再根据运算性质进行计算，计算结果一般用分数指数幂表示,.,P,54,练习：,2,，,3.,,P,59,习题,2.1A,组：,2.,,2.1.2,指数函数及其性质,第一课时 指数函数的概念与图象,,问题提出,1.,对任意实数,x,， 的值存在吗？ 的值

11、存在吗？ 的值存在吗？,2.,是函数吗？若是，这是什么类型的函数？,指数函数的概念与图象,,思考,2:,据国务院发展研究中心,2000,年发表的,《,未来,20,年我国发展前景分析,》,判断，未来,20,年我国,GDP(,国内生产总值,),年平均增长率可望达到,7.3%.,设,x,年后我国的,GDP,为,2000,年的,y,倍，则,y,与,x,的函数关系是什么,？,思考,1:,用清水漂洗含,1,个质量单位污垢的衣服，若每次能洗去残留污垢的四分之三，则漂洗,x,次后，衣服上的残留污垢,y,与,x,的函数关系是什么？,,知识探究（一）,:,指数函数的概念,,思考,3:,上述函数在其结构上有何共同

12、特点？,,思考,5:,指数函数,y,＝,a,x,（,a,＞,0,，,a≠1,）的定义域是什么？,,思考,4:,我们把形如 的函数叫做指数函数，其中,x,是自变量,.,为了便于研究，底数,a,的取值范围应如何规定为宜？,,,,知识探究（二）,:,指数函数的图象,思考,1:,研究函数的基本特性，一般先研究其图象,.,你有什么方法作函数 和 的图象？,,X,-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2,y=2,x,0.25,0.35,0.5,0.71,1,1.41,2,2.83,4,y=3,x,0.11,0.19,0.33,0.58,1,1.732,

13、3,5.20,9,列表,:,,描点作图,:,,y,x,0,1,,y,x,0,1,,思考,2:,函数 与 的图象有,,什么关系？,,函数 与 的图象有什么关系？,,,y,x,0,1,思考,3:,一般地，指数函数的图象可分为几类？其大致形状如何,?,x,y,0,1,,,理论迁移,例,1,判断下列函数是否为指数函数？,,,; (2) ;(3) ;,,(4) ; (5) ; (6),例,2,已知函数 的图象过点（,3,，），求

14、 的值,.,,例,3,求下列函数的定义域,:,,(1) ;(2) .,作业,,,P,58,练习：,2,，,3.,,P,59,习题,2.1A,组：,5,，,6.,,2.1.2,指数函数及其性质,第二课时 指数函数的性质,,,问题提出,1.,什么是指数函数？其定义域是什么？大致图象如何？,2.,任何一类函数都有一些基本性质，那么指数函数具有那些基本性质呢？,指数函数的性质,,思考,2:,由此可知函数的定义域、值域分别是什么？,,思考,1:,函数图象分布在那些象限？与,x,轴的相对位置关系如何？,,,y,x,0,1,考察函数

15、 的图象,:,知识探究（一）：函数 的性质,,思考,4:,图象在,y,轴左、右两侧的分布情况如何？由此说明函数值有那些变化？,,思考,3:,函数图象的升降情况如何？由此说明什么性质？,,y,x,0,1,考察函数 的图象,:,,y,x,0,1,思考,5:,若,a,>,b,>,1,，则函数 与 的图象的相对位置关系如何？,,思考,1:,函数的定义域、值域、单调性、函数值分布分别如何？,,知识探究（二）：函数 的性质,考察函数 的图象

16、,:,x,y,0,1,,,x,y,0,1,,思考,2:,若,0,<,b,<,a,<,1,，则函数 与 的图象的相对位置关系如何？,,,思考,3:,指数函数具有奇偶性吗？,,思考,4:,指数函数存在最大值和最小值吗？,,思考,5:,设,a,>,0,，,a,≠1,，若,a,m,=a,n,，则,m,与,n,的大小关系如何？若,a,m,>,a,n,,，则,m,与,n,的大小关系如何？,,,理论迁移,例,1,比较下列各题中两个值的大小,,(1) 1.7,2.5,,与,1.7,3,;,,(2) 0.8,-0.1,与,0.8,-0.2,;,,,(3) 1.7,0.3,与,0.9

17、,3.1,例,2,若指数函数,y=,（,2a-1),x,是减函数，求实数,a,的取值范围,.,,,例,3,确定函数,f(x)= 2,-,|x|,的单调区间和值域,.,例,4,设,,,,,,,其中,m,，,n,为实数，试比较,a,与,b,的大小,.,,,作业,,,P,59,习题,2.1A,组：,7,，,8,，,9.,,2.1.2,指数函数及其性质,第三课时 指数函数及其性质的应用,,指数函数,y,＝,a,x,（,a,＞,0,，且,a≠1,）的图象和性质,:,,,,01,,图象,,,,定义域,,,值域,,,,性质,,,知识回顾,,y,x,0,1,x,y,0,1,,,,,R,

18、R,当,x,>,0,时,0,<,y,<,1,；,,当,x,<,0,时,y,>,1,；,,当,x=0,时,y=1,；,,在,R,上是减函数,当,x,>,0,时,y,>,1,；,,当,x,<,0,时,0,<,y,<,1,；,,当,x=0,时,y=1,；,,在,R,上是增函数,,范例分析,,例,1,求函数 的定义域和值域,.,例,2,已知函数 的值域是 ，求,f(x),的定义域,.,例,3,已知关于,x,的方程 有实根，求实数,m,的取值范围,.,,例,4,已知函数,,(1),确定,f(x),的奇偶性；,,(2),判断,f(x),的单调性；,,(3),求,f(x),的值域,.,例,5,求函数 的单调区间，,,并指出其单调性,.,,作业,,P,60,习题,2.1B,组：,1,，,2,，,3,，,4.,,