初等数论绪论课件

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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,*,阜阳师范学院 数科院,*,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,*,阜阳师范学院 数科院,*,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,1,绪 论,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,2,,一 初等数论及其主要内容,数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支，其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即质数）分布 以及数论函数等内容，统称初等数论（,elementary number

2、 theory,）。,,初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,3,数论中的一些简单问题,(123456+234561+345612+456123+561234+612345)÷6,例,2.11112222,个棋子排成一个大长方形，每一横行的,,棋子数比每一直行的棋子数多一个，这个长方阵每一,,横行有棋子,_________,个。,例,3.,狐狸在跑道上跳远，每次跳远,150CM,从起点开始,,每隔,130CM,设一个陷阱，问狐狸跳了几次后掉进井中？,例,1.,计算,例,4,：,71427,和,19,的积

3、被,7,整除是几？,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,4,自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里德的,《,几何原本,》,（公元前,3,世纪）中就已出现。欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法，即所谓欧几里得算法。我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”，正是我国古代,《,孙子算经,》,中的下卷第,26,题，我国称之为孙子定理。,,近代初等数论的发展得益於费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。,1801,年，德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做,《,算术探究,》,，

4、开始了现代数论的新纪元。高斯还提出：“数学是科学之王，数论是数学之王”。,二 数论的发展史,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,5,由于自,20,世纪以来引进了抽象数学和高等分析的,,巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的,,研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等,,新分支。而且近年来初等数论在计算机科学、组合数,,学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了,,广泛的应用，无疑同时也促进着数论的发展。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,6,三 几个著名数论难题,初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗,,留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容

5、易搞,,懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。,其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想 ；费尔马大定理 ；孪生素数问题 ；完全数问题等。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,7,1742,年,,,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现的。,1742,年,6,月,7,日，哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉,,,正式提出了以下的猜想：,,,一个大于,6,的偶数可以表示为不同的两个质数之和。,,陈景润在,1966,年证明了“哥德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”,〔,所谓的,1+2〕,，是,筛法,的光辉顶点，至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果。,

6、1,、哥德巴赫猜想：,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,8,2,、费尔马大定理：,费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学,,许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的,,律师，世人冠以“业余王子”之美称。在三百七十多,,年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥,,芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处，,,写下一个看起来很简单的定理。,经过,8,年的努力，英国数学家 安德鲁,·,怀尔斯 终于在,1995,年完成了该定理的证明。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,9,3,、孪生素数问题,存在无穷多个素数,p,,,使得,p,+2,也是素数。,究竟谁最早明

7、确提出这一猜想已无法考证，但是,,1849,年法国数学,Alphonse de Polignac,,提出猜想：对 于任何偶数,2k,,,存在无穷多组以,2k,为间隔的素数。,,对于,k=1,，这就是孪生素数猜想，因此人们有时把,Alphonse de Polignac,,作为孪生素数猜想的提出者。,,不同,的,k,,对应的素数对的命名也很有趣，,k=1,,我们,,已经知道叫做孪生素数,；,k=2,(,即间隔为,4),的素数,,对被称为,cousin prime,,；,而,k=3,(,即间隔为,6),的素数对竟然被称为,sexy prime,(,不过别想歪了，之所以称为,sexy pr

8、ime,,其实是因,为,sex,,正好是拉丁文中的,6,。,),2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,10,4,、最完美的数,——,完全数问题,下一个具有同样性质的数是,28, 28=1+2+4+7+14.,接着是,496,和,8128.,他们称这类数为完美数,.,,欧几里德在大约公元前,350-300,年间证明了,:,注意以上谈到的完全数都是偶完全数,,,至今仍然,,不知道有没有奇完全数。,完美数又称为完全数,,,最初是由毕达哥拉斯的信徒发现的,,,他们注意到,,,数,6,有一个特性,,,它等于它自己的因子,(,不包括它自身,),的和， 如：,6=1+2+3.,2024/11/28,

9、阜阳师范学院 数科院,11,四、我国古代数学的伟大成就,公元前,100,多年，汉朝人撰，是一部既谈天体又,,谈数学的天文历算著作，主要讨论盖天说，提出了,,著名的“勾三股四弦五”这个勾股定理的一个特例。,1,、周髀算经,2,、孙子算经,,约成书于四、五世纪，作者生平和编写年代都不,,清楚。现在传本的,《,孙子算经,》,共三卷。卷上叙述算,,筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法则，卷中举例说,,明筹算分数算法和筹算开平方法。卷下第,31,题，可谓,,是后世“鸡兔同笼”题的始祖，后来传到日本，变成,,“鹤龟算”。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,12,具有重大意义的是卷下第,26,题：

10、今有物不知其数，,,三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问,,物几何？,《,孙子算经,》,不但提供了答案，而且还给,,出了解法。南宋大数学家秦九韶则进一步开创了对,,一次同余式理论的研究工作，推广“物不知数”的,,问题。德国数学家高斯,﹝1777-1855﹞,于,1801,年出版,,的,《,算术探究,》,中明确地写出了上述定理。,1852,年，,,英国基督教士伟烈亚士将,《,孙子算经,》,中物不知数,,问题的解法传到欧洲，,1874,年马蒂生指出孙子的解,,法符合高斯的定理，从而在西方的数学史里将这一,,个定理称为“中国剩余定理” 。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,13,

11、周髀算经,孙子算经,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,14,1983,年在湖北省江陵县张家山，出土了一批西汉,,初年，即吕后至文帝初年的竹简，共千余支。经初步,,整理，其中有律令、,《,脉书,》,、,《,引书,》,、历谱、日,,书等多种古代珍贵的文献，还有一部数学著作，据写,,在一支竹简背面的字迹辨认，这部竹简算书的书名叫,,《,算数书,》,。,,《,算数书,》,是中国现已发现的最古的一部算书，,,大约比现有传本的,《,九章算术,》,还要早近二百年，而,,且,《,九章算术,》,是传世抄本或刊书，,《,算数书,》,则是,,出土的竹筒算书，属于更可珍贵的第一手资料，所以,,《,算数书,

12、》,引起了国内外学者的广泛关注，目前正在,,被深入研究之中。,3,、算数书,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,15,《,数术记遗,》,相传是汉末徐岳所作，亦有数学史家,,认为本书是北周甄鸾自著。,,,《,数术记遗,》,把大数的名称按不同的涵义排列三个,,不同的数列，另一部份是关于一个幻方的清楚的说明，,,它成为数论中这一发现的最古的文字记载之一，书中,,至少提到了四种算盘，因此它是谈到算盘的最古老的,,书籍。,4,、数术记遗,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,16,算数书,数术记遗 中的算盘,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,17,根据研究，西汉的张苍 、耿

13、寿昌曾经做过增补,,和整理，其时大体已成定本。最后成书最迟在东汉,,前期。九章算术将书中的所有数学问题分为九大类，,,就是“九章”。,,三国时期的刘徽为,《,九章,》,作注，加上自己心得,,体会，使其便于了解，可以流传下来。,,唐代的李淳风又重新做注,(656,年,),，作为,《,算数,,十经,》,之一，版刻印刷，作为通用教材。,5,、九章算术,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,18,《,九章算术,》,的出现，标志着我国古代数学体系,,的正式确立，当中有以下的一些特点：,1.,是一个应用,,数学体系，全书表述为应用问题集的形式；,2.,以算法,,为主要内容，全书以问、答、术构成，“

14、术”是主要,,需阐述的内容；,3.,以算筹为工具。,,,《,九章算术,》,取得了多方面的数学成就，包括：,,分数运算、比例问题、双设法、一些面积、体积计算、,,一次方程组解法、负数概念的引入及负数加减法则、,,开平方、开立方、一般二次方程解法等。,《,九章算术,》,,的思想方法对我国古代数学产生了巨大的影响。自,,隋唐之际，,《,九章算术,》,已传入朝鲜、日本，现在更,,被译成多种文字。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,19,6,、海岛算经,,,《,海岛算经,》,由三国刘徽所着，最初是附于他所,,注的,《,九章算术,》,（,263,）之后，唐初开始单行，体,,例亦是以应用问题集的

15、形式。,,全书共,9,题，全是利用测量来计算高深广远的问,,题，首题测算海岛的高、远，故得名。,《,海岛算经,》,,是中国最早的一部测量数学事着，亦为地图学提供了,,数学基础。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,20,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,21,7,、算经十书,,,唐代国子监内设立算学馆，置博士、助教指导,,学生学习数学，规定,《,周髀算经,》,、,《,九章算术,》,、,,《,孙子算经,》,、,《,五曹算经,》,、,《,夏侯阳算经,》,、,,《,张丘建算经,》,、,《,海岛算经,》,、,《,五经算术,》,、,,《,缀术,》,、,《,缉古算经,》,十部算经为课

16、本，用以进行,,数学教育和考试，后世通称为算经十书．算经十书是,,中国汉唐千余年间陆续出现的十部数学著作．北宋时,,期（,1084,年），曾将一部算经刊刻发行，这是世界上,,最早的印刷本数学书．（此时,《,缀术,》,已经失传，实,,际刊刻的只有九种）。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,22,8,、测圆海镜,,《,测圆海镜,》,由中国金、元时期数学家 李冶所著，成书于,1248,年。全书共有,12,卷，,170,问。这是中国古代论述容圆的一部专箸，也是天元术的代表作。,《,测圆海镜,》,所讨论的问题大都是已知 勾股形而求其内切圆、旁切圆等的直径一类的问题。在,《,测圆海镜,》,问世

17、之前，我国虽有文字代表未知数用以列方程和多项式的工作，但是没有留下很有系统的记载。,,李冶在,《,测圆海镜,》,中系统而概栝地总结了天元术，使文词代数开始演变成符号代数。 所谓天元术，就是设“天元一”为未知数，根据问题的已知条件，列出两个相等的多项式，经相减后得出一个高次方式程，称为天元开方式，这与现代设,x,为未知数列方程一样。欧洲的数学家，到了,16,世纪以后才完全作到这一点。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,23,测圆海镜,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,24,五、国外古代数学家及数学成果,1,、莱因德纸草书,,《,莱因德纸草书,》﹝Rhind Papyru

18、s﹞,是公元前,,1650,年左右的埃及数学著作，属于世界上最古老的,,数学著作之一。作者是书记官阿默斯。内容似乎是,,依据了更早年代,﹝1849 B.C. ─1801 B.C.﹞,的教科,,书，是为当时的包括贵族、祭司等知识阶层所作，,,最早发现于埃及底比斯的废墟中。公元,1858,年由英,,国的埃及学者莱因德,﹝A. H. Rhind﹞,购得，故名。,,现藏于伦敦大英博物馆。该纸草书全长,544,厘米，宽,,33,厘米。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,25,纸草书主要内容有分数的分解：,分数的乘法运算；等差、等比数列的问题；圆、正,,方形、等腰三角形、等腰梯形的面积；体积计

19、算；,,金字塔问题；比例问题等。,莱因德纸草书是了解埃及数,,学的最主要依据。它准确反映了,,当时埃及的数学知识状况，其中,,鲜明地体现了埃及数学的实用性。,,对我们应该如何看待数学的起源,,问题有很大的启发。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,26,公元前,3,世纪，古希腊数学家欧几里得在前人工,,作的基础之上，对希腊丰富的数学成果进行了收集、,,整理，用命题的形式重新表述，对一些结论作了严格,,的证明。他最大的贡献就是选择了一系列具有重大意,,义的、最原始的定义和公理，并将它们严格地按逻辑,,的顺序进行排列，然后在此基础上进行演绎和证明，,,形成了具有公理化结构的，具有严密逻辑

20、体系的,《,几,,何原本,》,。,2,、几何原本,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,27,《,几何原本,》,是欧几里得的,,一部不朽之作，是当时整个希腊,,数学成果、方法、思想和精神的,,结晶，其内容和形式对几何学本,,身和数学逻辑的发展有着巨大的,,影响。自它问世之日起，在长达,,二千多年的时间里一直盛行不衰。,,它历经多次翻译和修订，自,1482,年,,第一个印刷本出版后，至今已有一千多种不同的版本。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,28,《,几何原本,》,按照公理化结构，运用了亚里士,,多德的逻辑方法，建立了第一个完整的关于几何学,,的演绎知识体系。所谓公理化结

21、构就是：选取少量,,的原始概念和不需证明的命题，作为定义、公设和,,公理，使它们成为整个体系的出发点和逻辑依据，,,然后运用逻辑推理证明其他命题。,《,几何原本,》,成,,为了两千多年来运用公理化方法的一个绝好典范。,,它的影响之深远．使得“欧几里得”与“几何学”,,几乎成了同义语。它集中体现了希腊数学所奠定的,,数学思想、数学精神，是人类文化遗产中的一块瑰宝。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,29,3,、算术,,公元,3,世纪，古希腊数学家丢番图的著作,《,算术,》,,是关于代数的一部最早的巨著，涉及代数数论的解析,,处理问题，代表了古希腊代数思想的最高成就。,,并且，这部著作

22、中引用了许多缩写符号，如未知,,量及其各次幂用,S,、△,r,、,Kr,、△,r△,、△,Kr,、,KrK,等符,,号。无论从内容与形式上讲，这种完全脱离几何的特,,征，与当时古希腊欧几里得几何盛行的时尚大异其趣。,,因此，丢番图的,《,算术,》,虽然代表了古希腊代数学的,,最高水平，但是它远远超出了同时代人，而不为同时,,代人所接受，很快就被湮没，没有对当时数学的发展,,产生太大的影响。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,30,直到,15,世纪,《,算术,》,被重新发掘，鼓舞了一大,,批数学家在此基础之上，把代数学大大向前推进,,了。首先是法国数学家蓬贝利认识到,《,算术,》,的

23、,,重大价值，他的同胞韦达正是在丢番图缩写代数,,的启示下才做出了符号代数的贡献，到,17,世纪，,,费马手持一本,《,算术,》,，并在其空白处写写画画，,,竟把数论引上了近代的轨道。,《,算术,》,中的不定,,分析，对现代数学影响也很深远，在不同数域上，,,凡是涉及不定方程求解问题，现在都称之为“丢,,番图方程”或“丢番图分析”。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,31,4,、代数学,,《,代数学,》,由伊斯兰数学家、天文学家花拉子莫,,﹝,约,783─,约,850﹞,所著，该书,1183,年被译成拉丁文传,,入欧洲。比较流行的一种说法认为西文中“代数学”,,﹝Algebra﹞,

24、一词是由阿拉伯文的拉丁转写,al-jabr,,演变而来，后渐称该书为,《,代数学,》,，一般认为该,,著作是近代意义下的代数学的真正肇始之作。,全书由三部分组成，第一部份讲述现代意义下的,,初等代数；第二部份讲各种实用算术问题。最后列举,,了大量有关遗产继承的各种问题。全书不使用符号，,,而是用语言叙述。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,32,5,、几何学,,,,《,几何学,》,是法国数学家笛卡儿一生中所写的惟,,一的数学著作。它是作为笛卡儿的名著,《,更好地指导,,推理和寻求科学真理的方法论,》,（简称,《,方法论,》,）,,的三个附录之一，于,1637,年出版的。,,《,几何

25、学,》,在,《,方法论,》,中大约占,100,页，共分三,,卷，讨论的全是关于几何作图问题。笛卡儿在这本书,,中，将逻辑、代数和几何方法结合到一起，勾画了解,,析几何的方法。笛卡儿所提出的方程与曲线的思想，,,最终被人们所逐渐接受，并且,《,几何学,》,也被认为是,,论述解析几何的一部经典之作。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,33,《,几何学,》,首页,笛卡儿，,1596,－,1650,，法国哲学家、数学家、物理学家，,,解析几何学奠基人之一。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,34,6,、几何基础,,《,几何基础,》,（,Grundlagen der Geomet

26、rie,）是,,德国著名数学家希尔伯特所著，,1899,年初版，此后,,不断再版，至,1930,年已出第七版。希尔伯特精确地,,提出公理体系应有相容性、独立性和完备性的要求，,,把空间内的点、直线、平面作为不定义的概念，规,,定它们之间存在着关联关系顺序关系、合同关系，,,这些关系由五组公理得以保障：关联公理；顺序公,,理；合同公理；平行公理；连续公理。记述了希尔,,伯特为欧几里得几何学给出的上述公理体系的,《,几,,何基础,》,出版后，立即引起了整个数学界的关注，,,并视为一部经典的著作。因为，希尔伯特上述工作,,的意义远超出了几何基础的范围，而使他成为现代,,公理化方法的奠基人。,2024

27、/11/28,阜阳师范学院 数科院,35,六、学习数论的意义,本课程主要简单介绍在初等数论研究中经常,,用到的若干基础知识、基本概念、方法和技巧。,通过本课程的学习，使学生加深对整数的性质,,的了解，更深入地理解初等数论与其它邻近学科的,,关系,,,使学生掌握初等数论的基本理论和方法，为,,从事中小学数学有关内容的教学奠定基础。同时，,,培养学生数论理论研究的能力，将数论应用于其他,,学科，尤其是信息科学研究的能力。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,36,数论是一门高度抽象的数学学科，长期以来，,,它的发展处于纯理论的研究状态，它对数学理论的,,发展起到了积极的作用，但多数人不

28、清楚它的实际,,意义。,,由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论,,得到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、,,组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多,,研究成果；又文献报道，现在有些国家应用“孙子,,定理”来进行测距，用原根和指数来计算离散傅立,,叶变换等。此外，数论的许多比较深刻的研究成果,,也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应,,用。特别是现在由于计算机的发展，用离散量的计,,算方法去逼近连续量而达到所要求的精度成为可能。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,37,七 主要参考书,,,1.,王雪琴,《,初等数论,》,东北林业大学出版社,2002,,2.,戎

29、士奎,《,十章数论,》,贵州教育出版社,1994,,3.,闵嗣鹤,《,初等数论,》,高等教育出版社,1958,,4.,陈景润,《,初等数论,》,科学出版社,1988,,5. U•,杜德利著周仲良译,《,基础数论,》,上海科技出版社,1982,,6.,潘承洞、潘承彪著,《,初等数论,》,北京大学出版社,1999,,7.,编委会,《,初等数论,》,开明出版社,1998,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,38,附：相关数学家,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,39,欧几里得,[,前,330,年～前,275,年,],,欧氏几何学的开创者 ，,,古希腊数学家，以其所著的,,《,几

30、何原本,》,闻名于世。,丢番图,Diophante 246,～,330,,“代数学之父”,,古希腊数学家，著,《,算术,》,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,40,刘徽，生于公元,250,年左右，三国时期,数学家，是世界上最早提出十进小数概念的人,，著,《,九章算术注,》10,卷；,《,海岛算经,》,；,《,九章重差图,》.,割圆术求圆面积和圆周率,.,祖冲之，,429,─,500,，数学家，,,科学家，算出,π,在,3.1415926,和,,3.1415927,之间，求球体积公式,,著有,《,缀术,》.,天文历法和机械,,方面的成就,〔,略,〕,。,,2024/11/28,阜阳师

31、范学院 数科院,41,宋元数学四大家,秦九韶,[,约,1202,～,1261],，著,《,数书九章,》,,最重要的数学成,,就,——“,大衍总数术”,[,一次同余组解法,],与“正负开方术”,,[,高次方程数值解法,],，在中世纪世界数学史上占有突出地位。,李冶,1192,～,1279,,著,《,测圆海镜,》,，主要目的就是说明用开,,元术列方程的方法。“开元术”与现代代数中的列方程法相,,类似。,朱世杰,[1300,前后,],，著,《,算学启蒙,》,和,《,四元玉鉴,》,。,《,算学,,启蒙,》,是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、日本,,数学的发展。,《,四元玉鉴,》,则是中国宋

32、元数学高峰的又一个标,,志，其中最杰出的数学创作有“四元术”,[,多元高次方程列式,,与消元解法,],、“垛积法”,[,高阶等差数列求和,],与“招差术”,,[,高次内插法,],。,杨辉,[1250,前后,],，是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其,,构成规律的数学家。著,《,详解九章算法,》,《,日用算法,》,等。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,42,费马,[,法,]1601-1665,，是数学史上,,最伟大的业余数学家，提出了费马,,大、小定理；在坐标几何，无穷小，,,概率论等方面有巨大贡献。,哥德巴赫,1690-1764,，,,德国数学家；曾担任中学,,教师，,1725

33、,年到俄国，,,被选为彼得堡科学院院士,.,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,43,欧拉,1707,－,1783,，瑞士数学家，,,自然科学家。是数学史上最多产,,的数学家，每年写出八百多页,,的论文，,《,无穷小分析引论,》,、,,《,微分学原理,》,、,《,积分学原理,》,,等都成为数学中的经典著作。,高斯,1777—1855,，德国数学家、,,物理学家、天文学家、大地测,,量学家。在数论、非欧几何、,,微分几何、超几何级数、复变,,函数论以及椭圆函数论等方面,,均有开创性贡献。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,44,勒让德,[,法,]1752,～,1833,，在

34、分,,析学、数论、初等几何与天体,,力学，取得了许多成果，是椭,,圆积分理论奠基人之一。对数,,论的主要贡献是二次互反律，,,还是解析数论的先驱者之一,.,雅可比,[,德,]1804,～,1851,，在偏,,微分方程中，引进了“雅可比,,行列式。对行列式理论作了奠,,基性的工作，在代数学、变分法、,,复变函数论、分析力学 、动,,力学及数学物理方面也有贡献。,2024/11/28,阜阳师范学院 数科院,45,希尔伯特,[,德,]1862,～,1943,，他领,,导的数学学派是,19,世纪末,20,世纪,,初数学界的一面旗帜，希尔伯特,,被称为“数学界的无冕之王”。,,著,《,数论报告,》,、,《,几何基础,》,、,,《,线性积分方程一般理论基础,》.,华罗庚,1910—1985,，是中国解析,,数论、矩阵几何学、典型群、自,,安函数论等多方面研究的创始人,,和开拓者。以华氏命名的数学科,,研成果很多。被列为芝加哥科学,,技术博物馆中当今世界,88,位数学,,伟人之一。,