插值与多项式逼近

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1、单击此处编辑母版样式,,单击此处编辑幻灯片母版样式,,第二层,,第三层,,第四层,,第五层,,*,浙江大学机械电子工程,*,第4章 插值与多项式逼近,4,Interpolation and,Polynomial,Approximation,1,浙江大学机械电子工程,引例,,你曾使用过的地图最初从何而来?世界上第一张地图是如何绘制的?,,对某一地区或国家，如何根据测绘部门测量的数据绘制一张该地区的地图?,2,,浙江大学机械电子工程,插值法,Interpolation,插值概念与基础理论 Introduction,,,插值多项式的求法,3,,浙江大学机械电子工程,插值概念与基础理论,概念,,在

2、工程实践和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据揭示自变量x与因变量y之间的关系，一般可以用一个近似的函数关系式y＝f(x)来表示．,4,,浙江大学机械电子工程,应用,,,,插值在工程实践和科学实验中有着非常广泛而 的应用，例如:,,,信息技术中的图像重建,,,机械零件的外观设计,,实验数据与模型的分析,,,天文观测数据,,,地理信息数据的处理,,社会经济现象的统计分析等等．,5,,浙江大学机械电子工程,大脑成像,6,,浙江大学机械电子工程,汽车车轮造型,虚拟风洞,7,,浙江大学机械电子工程,气象三维数据模型,油藏模型,8,,浙江大学机械电子工程,插值概念与基础理论,概念,,在工程实践和科学实

3、验中，常常需要从一组实验观测数据揭示自变量x与因变量y之间的关系，一般可以用一个近似的函数关系式y＝f(x)来表示．,9,,浙江大学机械电子工程,10,,浙江大学机械电子工程,11,,浙江大学机械电子工程,,如何确定插值多项式？,12,,浙江大学机械电子工程,13,,浙江大学机械电子工程,,插值余项,14,,浙江大学机械电子工程,对t求导，k(x)看成常数,15,,浙江大学机械电子工程,16,,浙江大学机械电子工程,17,,浙江大学机械电子工程,4.3 Lagrange Approximation,,18,,浙江大学机械电子工程,当 n=1 时,称线性插值,当 n=2 时,抛物线插值,19,,

4、浙江大学机械电子工程,20,,浙江大学机械电子工程,21,,浙江大学机械电子工程,22,,浙江大学机械电子工程,编制程序时，可用二重循环来完成计算，即先固定k，令J从0到n(j,,k)作乘积得,然后对k作和得Ln(x)的值．相应的程序框图为:,23,,浙江大学机械电子工程,MATALAB实现Lagrange插值,%lagrange insert,,function y=lagrange(x0,y0,x),,n=length(x0);m=length(x);,,for i=1:m,,z=x(i),,s=0.0,,for k=1:n,,p=1.0;,,for j=1:n,,if j~=k,,p=p

5、*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));,,end,,end,,s=p*y0(k)+s;,,end,,y(i)=s;,,end,x=[0.4:0.1:0.8];,,y=[-0.916291 -0.693147 -0.510826,,-0.356675 -0.223144];,,lagrange(x,y,0.54),,ans =,,,-0.6161,24,,浙江大学机械电子工程,2．2 差商与牛顿基本括值多项式,,,前面构造的拉格朗日插值多项式，其形式具有对,,称性，既便于记忆，又便于应用与编制程序．但是，由,,于公式中的

6、 都依赖于全部插值节点，在增加或减少节点时，必须全部重新计算．,为克服这个缺点，插值多项式可以如何构造？,,25,,浙江大学机械电子工程,这种形式的插值多项式称为n次牛顿插值多项式,Newton Polynomials,26,,浙江大学机械电子工程,27,,浙江大学机械电子工程,28,,浙江大学机械电子工程,29,,浙江大学机械电子工程,30,,浙江大学机械电子工程,31,,浙江大学机械电子工程,Program 4.2(Newton Interpolation Polynomial),程序4．2(牛顿插值多项式) 构造和计算经过点,,,的次数小于等于N的牛顿多项式：,,

7、,32,,浙江大学机械电子工程,33,,浙江大学机械电子工程,34,,浙江大学机械电子工程,35,,浙江大学机械电子工程,36,,浙江大学机械电子工程,37,,浙江大学机械电子工程,38,,浙江大学机械电子工程,利用MATALAB进行插值计算,一维插值,39,,浙江大学机械电子工程,40,,浙江大学机械电子工程,分段低次插值,41,,浙江大学机械电子工程,Runge现象产生,x=[-5:1:5];,,y=1./(1+x.^2);,,x0=[-5:0.1:5];,,y0=lagrange(x,y,x0);,,y1=1./(1+x0.^2);,,plot(x,y),,plot(x0,y0,'--r

8、'),42,,浙江大学机械电子工程,分段线性插值,分段抛物插值,3.1 分段线性插值与分段抛物插值,43,,浙江大学机械电子工程,利用MATLAB软件进行插值,高维插值,44,,浙江大学机械电子工程,气旋变化情况可视化,45,,浙江大学机械电子工程,46,,浙江大学机械电子工程,47,,浙江大学机械电子工程,应用实例分析,48,,浙江大学机械电子工程,49,,浙江大学机械电子工程,50,,浙江大学机械电子工程,51,,浙江大学机械电子工程,52,,浙江大学机械电子工程,53,,浙江大学机械电子工程,54,,浙江大学机械电子工程,55,,浙江大学机械电子工程,56,,浙江大学机械电子工程,思考题：,57,,浙江大学机械电子工程,This Class Is Over,,,Thanks for Your Attention!,,58,,浙江大学机械电子工程,三次样条插值,,59,,浙江大学机械电子工程,三次样条插值函数求法,60,,浙江大学机械电子工程,边界条件：,61,,浙江大学机械电子工程,三次样条插值函数简化计算方法,由,确定两个积分常数,62,,浙江大学机械电子工程,63,,浙江大学机械电子工程,64,,浙江大学机械电子工程,65,,浙江大学机械电子工程,66,,浙江大学机械电子工程,67,,浙江大学机械电子工程,68,,浙江大学机械电子工程,