线性代数数学建模案例

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1、*,,,,,,,,,,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,线性代数数学建模案例（1）,,网络流模型广泛应用于交通、运输、通讯、电力分配、城市规划、任务分派以及计算机辅助设计等众多领域。当科学家、工程师和经济学家研究某种网络中的流量问题时,线性方程组就自然产生了,例如,城市规划设计人员和交通工程师监控城市道路网格内的交通流量,电气工程师计算电路中流经的电流,经济学家分析产品通过批发商和零售商网络从生产者到消费者的分配等. 大多数网络

2、流模型中的方程组都包含了数百甚至上千未知量和线性方程,。,,,一,、网络流模型,,,一个网络由一个点集以及连接部分或全部点的直线或弧线构成。 网络中的点称作联结点(或节点)，网络中的连接线称作分支. 每一分支中的流量方向已经指定，并且流量(或流速)已知或者已标为变量。,,,,网络流的,基本假设,是（1）网络中流入与流出的总量相等；（2）每个节点上流入和流出的总量也相等。例如，上面两图（a）、（b）。 流量在每个节点守恒。 在类似的网络模式中，每个结点的流量都可以用一个线性方程来表示。,,网络分析要解决的,问题,是：在部分信息(如网络的输入量)已知的情况下，确定每一分支中的流量。,,,城市道路网

3、中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础。根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设置单行线，以免大量车辆长时间拥堵。,,,案例1,交通网络流量分析问题,,,下图为某城市的局部单行示意图,,,【,问题描述,】： 某城市单行线如下图所示, 其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行驶的车流量(单位: 辆).,500,1,2,3,4,400,300,100,200,300,x1,x2,x3,,X4,图3 某城市单行线车流量示意图,,现在需要解决的问题如下：,,（1） 建立确定每条道路流量的线性方程组.,,（2） 为了唯一确定未知流量, 还需要增添哪几条道路的流量

4、统计?,,（3） 当,x,4 = 350时, 确定,x,1,,x,2,,x,3的值.,,（4） 若,x,4 = 200, 则单行线应该如何改动才合理?,,。,,【,模型假设,】：,,（1） 每条道路都是单行线,,（2） 每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等.,,,【,模型建立,】 根据图3和上述假设, 在①, ②, ③, ④四个路口进出车辆数目分别满足：,,500 =,x,1 +,x,2 ①,,400 +,x,1 =,x,4 + 300 ②,,x,2 +,x,3 = 100 + 200 ③,,x,4 =,x,3 + 300 ④,,【,模型求解,】根据上述等式

5、可得如下线性方程组。,其增广矩阵,(,A,,,b,) =,,由此可得,即：,,为了唯一确定未知流量, 只要增添,x,4统计的值即可.,,当,x,4 = 350时, 确定,x,1 = 250,,x,2 = 250,,x,3 = 50.,,若,x,4 = 200, 则,x,1 = 100,,x,2 = 400,,x,3 =,,100 < 0. 这表明单行线“③,,④”应该改为“③,,④”才合理。,,,【,模型分析,】,,（1） 由(,A,,,b,)的行最简形可见, 上述方程组中的最后一个方程是多余的. 这意味着最后一个方程中的数据“300”可以不用统计.,,（2）由

6、 可得,,,,,就是说,x,1,,x,2,,x,3,,x,4这四个未知量中, 任意一个未知量的值统计出来之后都可以确定出其他三个未知量的值。,,,Matlab练习题,,某城市有下图所示的交通图, 每条道路都是单行线, 需要调查每条道路每小时的车流量. 图中的数字表示该条路段的车流数. 如果每个交叉路口进入和离开的车数相等, 整个图中进入和离开的车数相等。,,现在需要解决如下问题：,,（1）建立确定每条道路流量的线性方程组。,,（2）分析哪些流量数据是多余的。,,（3）为了唯一确定未知流量, 需要增添哪几条道路的流量统计 。,,,300,500,150,180,350,160

7、,220,300,100,290,400,150,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,x,6,x,7,x,8,x,9,x,10,x,11,x,12,图 某城市单行线车流量,,在化工、医药、日常膳食等方面都经常涉及到配方问题. 在不考虑各种成分之间可能发生某些化学反应时, 配方问题可以用向量和线性方程组来建模，,案例2,配方问题,,图5 日常膳食搭配 图6 几种常见的作料,,【,模型准备,】：,,一种佐料由四种原料A、B、C、D混合而成. 这种佐料现有两种规格, 这两种规格的佐料中, 四种原料的比例分别为2:3:1:1和1:2:1:2. 现在需要四种原

8、料的比例为4:7:3:5的第三种规格的佐料. 问: 第三种规格的佐料能否由前两种规格的佐料按一定比例配制而成?,,【,模型假设,】,,（1） 假设四种原料混合在一起时不发生化学变化；,,（2） 假设四种原料的比例是按重量计算的。,,（3） 假设前两种规格的佐料分装成袋, 比如说第一种规格的佐料每袋净重7克(其中A、B、C、D四种原料分别为2克, 3克, 1克, 1克), 第二种规格的佐料每袋净重6克(其中A、B、C、D四种原料分别为1克, 2克, 1克, 2克).,,【,模型建立,】,,根据已知数据和上述假设, 可以进一步假设将,x,袋第一种规格的佐料与,y,袋第二种规格的佐料混合在一起, 得

9、到的混合物中A、B、C、D四种原料分别为4克, 7克, 3克, 5克, 则有以下线性方程组：,,,,,,其解为：,,【,模型分析,】,,若令,,1 = (2, 3, 1, 1)T,,,2 = (1, 2, 1, 1)T,,,= (4, 7, 5, 3)T, 则原问题等价于“线性方程组,Ax,=,b,是否有解”, 也等价于“,,能否由,,1,,,2线性表示”。,,若四种原料的比例是按体积计算的, 则还要考虑混合前后体积的关系(未必是简单的叠加), 因而最好还是先根据具体情况将体积比转换为重量比, 然后再按上述方法处理.,,上面的模型假设中的第三个假设只是起到简化运算的作用. 如果直接

10、设,x,克第一种规格的佐料与,y,克第二种规格的佐料混合得第三种规格的佐料, 则有下表,,,,Matlab实验题,,蛋白质、碳水化合物和脂肪是人体每日必须的三种营养, 但过量的脂肪摄入不利于健康.人们可以通过适量的运动来消耗多余的脂肪. 设三种食物(脱脂牛奶、大豆面粉、乳清)每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量以及慢跑5分钟消耗蛋白质、碳水化合物和脂肪的量如下表。,,问怎样安排饮食和运动才能实现每日的营养需求?,,营养,每100克食物所含营养(克),,,慢跑5分钟消耗量(克),每日需要的营养量(克),,牛奶,大豆面粉,乳清,,,蛋白质,36,51,13,10,33,碳水化合物,52,34

11、,74,20,45,脂肪,10,7,1,15,3,,在研究多个经济部门之间的投入产出关系时, W. Leontief提出了投入产出模型. 这为经济学研究提供了强有力的手段. W. Leontief因此获得了1973年的Nobel经济学奖。,,三,、 投入产出模型,,,,图 三个经济部门,,【,模型准备,】,,某地有一座煤矿, 一个发电厂和一条铁路. 经成本核算, 每生产价值1元钱的煤需消耗0.3元的电; 为了把这1元钱的煤运出去需花费0.2元的运费; 每生产1元的电需0.6元的煤作燃料; 为了运行电厂的辅助设备需消耗本身0.1元的电, 还需要花费0.1元的运费; 作为铁路局, 每提供1元

12、运费的运输需消耗0.5元的煤, 辅助设备要消耗0.1元的电. 现煤矿接到外地6万元煤的订货, 电厂有10万元电的外地需求, 问: 煤矿和电厂各生产多少才能满足需求?,,【,模型假设,】假设不考虑价格变动等其他因素.,,【,模型建立,】设煤矿, 电厂, 铁路分别产出,x,元,,y,元,,z,元刚好满足需求. 则有下表,,,,,产出(1元),,,产出,分配,订单,,,煤,电,运,,,,消,,耗,煤,0,0.6,0.5,x,0.6,y,+ 0.5,z,60000,,电,0.3,0.1,0.1,y,0.3,x,+ 0.1,y,+ 0.1,z,100000,,运,0.2,0.1,0,z,0.2,x,+

13、0.1,y,0,,根据需求, 应该有：,即：,,【,模型求解,】在Matlab命令窗口输入以下命令,,>> A = [1,-0.6,-0.5;-0.3,0.9,-0.1;-0.2,-0.1,1]; b = [60000;100000;0];,,>> x = A\b,,Matlab执行后得,,x =,,1.0e+005 *,,1.9966,,1.8415,,0.5835,,可见煤矿要生产199660元的煤, 电厂要生产18415,0,元的电恰好满足需求.,,,Matlab实验题,,某乡镇有甲、乙、丙三个企业. 甲企业每生产1元的产品要消耗0.25元乙企业的产品和0.25元丙企业的产品. 乙企业每

14、生产1元的产品要消耗0.65元甲企业的产品, 0.05元自产的产品和0.05元丙企业的产品. 丙企业每生产1元的产品要消耗0.5元甲企业的产品和0.1元乙企业的产品. 在一个生产周期内, 甲、乙、丙三个企业生产的产品价值分别为100万元, 120万元, 60万元, 同时各自的固定资产折旧分别为20万元, 5万元和5万元.,,(1) 求一个生产周期内这三个企业扣除消耗和折旧后的新创价值.,,(2) 如果这三个企业接到外来订单分别为50万元, 60万元, 40万元, 那么他们各生产多少才能满足需求?,,,相关内容见《线性代数》课件的第3.7节的“人口迁移模型”，以及4.5节的“离散动态系统模型”。

15、,,,,除了上述例子，现实生活中还有很多，可以通过建立形如 的差分方程的例子。,四、线性差分方程建模及求解,,【,模型准备,】,,某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计， 然后将熟练工支援其他生产部门, 其缺额由招收新的非熟练工补齐。 新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工. 假设第一年一月份统计的熟练工和非熟练工各占一半， 求以后每年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比。,案例四,,人员流动问题,,,,,,,,【,模型准备,】金融机构为保证现金充分支付, 设立一笔总额5400万的基金, 分开放置在位于A城和B城的两家公司, 基金

16、在平时可以使用, 但每周末结算时必须确保总额仍然为5400万. 经过相当长的一段时期的现金流动, 发现每过一周, 各公司的支付基金在流通过程中多数还留在自己的公司内, 而A城公司有10%支付基金流动到B城公司, B城公司则有12%支付基金流动到A城公司. 起初A城公司基金为2600万, B城公司基金为2800万. 按此规律, 两公司支付基金数额变化趋势如何? 如果金融专家认为每个公司的支付基金不能少于2200万, 那么是否需要在必要时调动基金?,案例五,金融公司支付基金的流动,,,,,,在Matlab命令窗口输入以下命令,,>> syms k %定义符号变量,,>> P*[1,0;0,0.7

17、8^(k+1)]*P^(-1)*[2600;2800],,Matlab执行后得,,ans =,,[ 32400/11-3800/11*(39/50)^(k+1)],,[ 27000/11+3800/11*(39/50)^(k+1)],,,,【,模型准备,】设有A, B, C三个政党参加每次的选举, 每次参加投票的选民人数保持不变. 通常情况下, 由于社会、经济、各党的政治主张等多种因素的影响, 原来投某党票的选民可能改投其他政党 。,案例六,选举问题,,【,模型假设,】,,（1）参与投票的选民不变, 而且没有弃权票 ；,,（2）每次投A党票的选民, 下次投票时, 分别有,,比例的选民投A, B, C政党的票; 每次投B党票的选民, 下次投票时, 分别有,,比例的选民投A, B, C各政党的票; 每次投C党票的选民, 下次投票时, 分别有,,比例的选民投A, B, C各政党的票 。,,（3）,,表示第,k,次选举时分别投A, B, C各党的选民人数 。,,【,模型建立,】,,根据假设可得,,,,其中,r,1,+,r,2,+,r,3,=,s,1,+,s,2,+,s,3,=,t,1,+,t,2,+,t,3,= 1。,,令,,,A,=,X,k,=,,,,上式可以表示为：,,,如果给出问题的初始值, 就可以求出任一次选举时的选民投票情况.,,