材料力学(13)第十三章-21

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1、样式,,MECHANICS OF MATERIALS,Page,,能量守恒,从零开始，缓慢加载,忽略动能与热能的损失,克拉比隆定理,：,,成立的,前提是对于,线弹性体、小变形,情况；,功能原理,,上节内容回顾,Page,,,弹性杆应变能,(,变形能,),的一般表达式,：,1,、利用能量守恒：通过计算外力功来计算应变能,F,N,当外力为常值，且其相应位移可直接求出时，宜用此方法：,M,T,Page,,杆件的应变能的计算,——,通过计算微段的内力功：,F,N,(x),M(x),Q(x),T(x),dx,F,N,(x),dx,忽略剪力的影响,T(x),dx,d,,M(x),dx,d,,Pa

2、ge,,,1,,2,,3,dx,dy,dz,,,三向应力状态下的应变能：,,,对于非主平面微体：,杆件的应变能的计算,——,通过计算微体的应变能：,Page,,本 讲 内 容,§,13-3,余能与卡氏第二定理,§,13-2,互等定理,Page,,§,13-2,互等定理,线弹性体上作用有多个广义力时，弹性体的应变能或外力功与外力的加载次序无关。,A,D,F,1,B,,1,F,2,C,,2,A,D,F,1,B,,11,,21,A,D,F,2,C,,22,,12,F,1,Page,,A,D,F,2,C,,12,,22,A,D,F,2,C,,21,,11,F,1,若改变加

3、载次序：,功的互等定理,——,i,代表位置，,j,代表载荷,若F,1,=F,2,位移互等定理,Page,,,有关位移互等定理的讨论：,,在梁变形实验中的应用：,A,D,F,B,,A,D,B,,F,,其它情况,：,A,C,F,B,A,C,F,B,只要,克拉比隆定理成立,Page,,,关于功的互等定理的说明：,,成立的,前提是对于,线弹性体、小变形,情况；,,,两组外力,之间，功的互等定理也成立；,A,D,F,M,A,D,F,A,D,F,F,M,Page,,,功的互等定理的应用：,例,1,：图示简支梁，已知,C,点处作用集中力,F,时，,B,截面转角,,为,,B,。,试计算当在

4、,B,截面作用力偶矩,M,时，截面,C,的挠,,度。梁的弯曲刚度为,EI,。,A,B,F,C,A,B,C,M,Page,,例,2,：图示静不定梁，在,B,端处承受弯矩,M,作用，试利用功,,的互等定理计,算,B,端的支反力。梁的弯曲刚度为,EI,。,A,B,M,A,B,M,F,B,A,B,F,Page,,思考题：,图示任意形状的线弹性体，求当其受一对共线力,P,作用时，该弹性体的体积改变量。,H,及材料弹性常数均已知。,P,P,H,,均匀受力状态,Page,,,忽略剪力的影响,刚架的,应变能：,例：求如下刚架,A,端的垂直位移,F,,h,a,x,根据功能原理：,外力,F,做功：,求出,

5、,水平位移不能求出,F’,多个广义力做功时，,,也,不能求出,只有单个外力作用时，求其相应位移,A,Page,,§,13-3,余能与卡氏第二定理,,,余功与余能,f,df,,d,绿,颜色微面积,外力功,余功,红,颜色微面积,,f,F,,Page,,,,余能,弹性体的余能,弹性体余能也可通过微段或微体进行计算：,,,,线性弹性体：应变能,=,余能,(,数值,),余能密度,,,Page,,,,克罗第,—,恩格塞定理与卡氏第二定理,A,B,,1,F,n,,2,F,1,F,2,F,k,,k,,n,弹性梁受多个广义力,F,k,的作用，求各广义力的,相应位移,,k,。,

6、方法一：,叠加法,(,线弹性,),方法二：,能量法,弹性体总余能：,外力总余功：,Page,,给,F,k,增加一微量,,F,k,F,n,F,1,A,B,,1,,2,F,2,F,k,,k,,n,弹性体总余能：,外力总余功的增量：,,F,k,弹性体总余能增量：,Crotti-Engesser,定理,Page,,,对于线弹性体：,（余能,=,应变能）,卡氏第二定理,卡氏第一定理：,,公式中,,k,为广义力,F,k,的,相应广义位移,,公式中的,广义力,F,k,为,相互独立的变量,Page,,A,B,,1,F,n,,2,F,1,F,2,F,k,,k,,n,,F,k,,卡

7、氏第二定理的直接证明：,F,i,的作用下：,先加上,,F,k,,，,再加上,F,i,若给,F,k,一个增量,,,F,k,（略去高阶小量）,Page,,,卡氏第二定理证明思路：,A,B,,1,F,n,,2,F,1,F,2,F,k,,k,,n,,F,k,1,、梁的总外力功,2,、给,F,k,一微增量,,F,k,后的外力功增量,,3,、改变加载次序,(,先加,,F,k,，后,),,,加,F,i,),的,总应变能,4,、根据总外力功与加载次序无关,Page,,,讨论两个定理的适用范围：,克罗第,—,恩格塞定理：,卡氏第二定理：,弹性结构,线弹性结构,,对于非线性的弹性结构,(,

8、物理非线性，几何非线性,),，,,需用克罗第,——,恩格塞定理。,Page,,例：材料的应力,—,应变关系为：,。压缩时，方程中的,和均取绝对值。求,A,端的挠度。,F,l,A,x,z,y,h,b,弹性体余能：,不考虑剪力的影响：,微体处于单向,,应力状态,余能密度：,Page,,梁任意横截面上一点的应力表达式：,F,l,A,x,平面假设,应力应变关系,静力学方程,Page,,,卡氏第二定理的应用：,例,1,：求,A,端的挠度，已知,EI,、,l,、,P,。,P,l,x,A,Page,,P,l,A,例,2,：求,A,端的转角,,,已知,EI,、,l,、,P,。,P,x,M,附加力法：,先

9、假设一附加力，对被积函数求导后，令附加力等于零,M=0,Page,,,应用卡氏第二定理时的具体计算公式：,,方法一：,,方法二：,,,,k,为正，则说明,k,的方向与,F,k,的方向一致,,,,k,为负，则说明,k,的方向与,F,k,的方向相反,Page,,例,3,：,EI,为常数，求,f,A,，,,A,A,B,C,Pa,P,解：为避免混淆，设,Pa=M,R,B,R,C,x,2,x,1,Page,,例,4,：图示刚架，,EI,为常数，,1,、求,A,点的水平与垂直位移；,,,2,、分析 的意义。,F,F,A,a,a,F,2,A,a,a,F,1,1,、求位移,2,、

10、,Page,,,讨论,的意义,F,F,A,B,代表,AB,两点的相对位移,若,两个,F,反向，,,为两载荷对应的相对线位移,的意义,A,B,M,M,若,两个,M,反向，,,为两载荷对应的相对角位移,Page,,例,5,：各杆,EA,相同,，求,A,、,B,两点的相对水平位移和,AB,杆的转动角,A,B,a,a,a,P,A,B,a,a,a,P,1,P,1,P,Page,,A,B,a,a,a,P,求,AB,杆的转动角,M,M/a,M/a,A,B,Page,,应用卡氏第二定理求悬臂梁,A,端的挠度。,(,已知梁的抗弯刚度,EI),P,l,A,P,x,练习题,作业：,13-9,，,13-10,Page,,