线性代数居余马第5章特征值与特征向量

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1、,,,,,,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,第5章 特征值和特征向量  矩阵的对角化,5.1 矩阵的特征值和特征向量 相似矩阵,定义5.1,设,A,是复数域,C,上的,n,阶矩阵,，如果存在数,,,,C,,和非零,n,维向量,x,，,使得,,,A,,x,=,,,x,,,,则称,,为,A,的特征值，,x,为,A,的属 ( 对应,),于特征值,,的特征向量。,,注意:,,特征向量,x,是非零向量, 是齐次线性方程组,5.1.1 特征值和特征向量的基本概念,(,,,I,,A,),,x,=,0,的非零,,解。,

2、,应满足,,,|,,,I,,A,|=0,,即,,是多项式,det(,,I,,A,),的零点。,,定义5.1,设,n,阶矩阵,A,=(,a,ij,),,则,称为,,A,的 特征多项式。,,(,,,I,,A,),称为,A,的 特征矩阵。,|,,I,,A,|=0,称为,A,的特征方程。,,n,,阶矩阵,A,的特征多项式在复数域上的,n,,个根都是矩阵,A,,的特征值，其,k,重根叫做,k,,重特征值。,,例１,,n,,阶对角矩阵,A,，上(下)三角形矩阵,B,的特征值,,都是它们的,n,个主对角元,a,11,, a,22,,,,,a,nn,。,,因为它们的特征多项式为,,,,

3、I,-,A,,,=,,I,-,B,,,=(,,,a,11,)(,,,a,22,),,(,,,a,nn,),,得基础解系：,x,2,=(1,1,0),T,,,x,3,=(1,0,1),T,。,,,k,1,x,1,+,,k,2,x,2,（k,1,,,,k,2,是不全为零的任意常数）,,是,A,关于,,2,的全部的特征向量。,例２,求,矩阵,的特征值及特征向量。,解,：,A,的特征方程为,A,的特征值为:,,1,=0,,,2,= 2(二重特征值)。,对于,,1,=0，求解(,,1,I,,,,A,),x,=,0,，,即,得基础解系：,x,1,=(,,1,,,1,

4、 1),T,。,k,x,1,(k,0为任意常数,),是,A,的属于,,1,的全部特征向量。,对于,,2,=  2，求解(,,2,I,,,,A,),x,=,0,,,即,,,定理5.1,若,x,1,,,x,2,是,A,属于,,0,的两个的特征向量，则,,,k,1,x,1,+,,k,2,x,2,也是,A,属于,,0,的特征向量(其中,k,1,,,,k,2,是任意常数，,,但,k,1,x,1,+,,k,2,x,2,,0,,)。,,证,：,x,1,，,x,2,是齐次线性方程组,(,,I,,A,),,x,=,0,的解,，,所以,，,,,,k,1,x,1,+,,k,2,x,2,,也是(

5、,,I,,A,),,x,=,0,的解，故当,,k,1,x,1,+,,k,2,x,2,,0,,时，也是,A,的属于,,0,的特征向量。,(,,,I,,A,),,x,=,0,的,解空间,称为,A,的关于,,的,特征子空间,，记作,V,,。,dim,V,,=,n ,r,(,,I,,A,),,=,{,k,1,x,1,+,,k,2,x,2,,|,,x,2,=(1,1,0),T,,,x,3,=(1,0,1),T,,,k,1,,,k,2,,,R,},,=,L,(,(1, 1, 0),T,, (1, 0, 1),T,),5.1.2 特征值和特征向量的性质,如例２中，,=,{,k,x

6、,|,x,=(,,1,,,1, 1),T,,,k,,,R,}=,L,((,,1,,,1, 1),T,);,,定理5.2,若,n,,阶矩阵,A,=(,a,ij,),,的,n,个特征值为,,1,,,,2,,,,,,,n,，,则,称,A,的主对角元的和,为,A,的迹，记作,tr(,A,),。,*证：,设,(*),=,,n,+c,1,,n,,1,+,,+c,k,,n,,k,+,,+c,n,-,1,,+c,n,(*)式可表示为 2,n,个行列式之和, 其中展开后含,,n,,1,项的,,行列式有下面,n,个：,,它们的和等于,,,(,a,11,+,a,22,+,…

7、,+,a,nn,),,n,,1,=,(*)式中不含,,的常数项为,所以，,由根与系数的关系及常数项相等，得,,,由定理5.2,得：,矩阵,A,可逆的充要条件是,,A,的任意一个,,特征值不等于零,；或,,A,为奇异阵的充要条件是,A,至少有一个特征值等于零。,,,A,的一个特征值可对应很多特征向量；但,,A,的一个特征,,向量不能属于不同的特征值。,,性质1,,,若,,是,A,的,特征值,,x,是,A,的属于,,的特征向量。则,,(1),k,,是,k,A,的,特征值（,k,为任意常数）；,,,(2),,m,是,A,m,的,特征值;,,(3),若,A,可逆，则,,,1,为,A,

8、,1,的一个特征值，而且,x,仍然是矩阵,k,A,,,A,m,和,A,,1,的分别对应于特征值,k,,,,,,m,,和,,,1,的特征向量。,证,(2)(3),由,A,,x=,,x,得,A,2,,x=,A,(,,x,),=,,,(,A,,x,),=,,,(,,x,),=,,2,x,，,继续得,A,m,,x=,,m,x,。,A,1,(,A,,x)=,A,1,(,,x,),=,,,(,A,1,,x,),,所以，,(,A,1,,x,),=,,1,,x,。,,性质2,,,矩阵,A,和,A,T,的,特征值相同。,证：,,det,(,,I,,A,),,=,de

9、t,(,,,I,,A,),T,=,det (,(,,,I,),T,,A,T,)=,det,(,,,I,,A,,T,),*定理5.3 设,A,是,n,阶矩阵，若,有一个成立，则,A,的所有特征值,,i,,(,i,=1,2,,…,,,n,),的模（对实特征值是指绝对值）,|,,i,|,<1。,,证明（见教材,p229）,略去。,,例,3,,设,,解 (1),A,的特征值为:,,1,=0 (二重特征值),,,2,= 2。,,求,A,的,特征值和特征向量,；,,,求可逆矩阵,P,,,使,P,,1,AP,为对角阵。,对于,,1,=0，求解(,,1,I,,,,A,),x,

10、=,0,，,即,得基础解系：,,,x,1,=(1,1,0),T,,,x,2,=(,,1,0,1),T,,,则,k,1,x,1,+ k,2,x,2,(,,k,1,,,k,2,不全为0)是,A,的属于,,1,的全部特征向量。,,,,则,AP=P,,,且,|,P,|0,,所以，,,,,P,,1,AP=,,为对角矩阵。,,A,的属于,,2,的全部特征向量为,,k,3,,x,(,k,3,0为任意常数,)。,对于,,2,= 2，求解(,,2,I,,A,),x,=,0,,,即,得基础解系：,x,3,=(,,1,,,2, 1),T,解,：,(2),将,,A,,x,i,,=,,,

11、i,x,i,,(,i,=1, 2, 3),排成矩阵,,5.1.3 相似矩阵及其性质,,定义5.3,对于矩阵,A, B,，,若存在可逆矩阵,P,，,使,,P,,1,AP=B,,,则称,A,相似于,B,，,记作,A,,B,。,,矩阵的相似关系是一种等价关系，具有以下性质：,,(1),自反性,,A,A,；,,(2),对称性,若,A,,B,，,则,B,,A,；,,(3),传递性,若,A,1,,A,2,,,A,2,,A,3,，,则,A,1,,A,3,。,,相似矩阵还有以下,性质：,,(1),C,,1,(,k,A,+t,B,),,C,=k,C,,1,,AC,+t,C,,1,,B,,C

12、,(,k, t,F,);,,(2),C,,1,(,AB,),C,=(,C,,1,,AC,) (,C,1,B,,C,);,,(3),若,A,B,，,则,A,m,,B,m,（,m,为正整数）；,,(4),若,A,B,，,则,f,(,A,),,f(,B,)，,,其中,f,(,x,),=a,m,x,m,+a,m-,1,x,m-,1,+,,+a,1,x+a,0,是个多项式。,,f,(,A,),=a,m,A,m,+a,m-,1,A,m-,1,+,+a,1,A,+a,0,I,(,a,i,,F, i=,0,,,1,,,,,m,),，,,f,(,B,),=a,m,B,m,+a,m-,1,

13、B,m-,1,+,+a,1,B,+a,0,I,。,,,定理5.4,若矩阵,A,与,B,相似，则它们的特征多项式相等，,即,,,I,,A,,=,,,,I,,,,B,,,,,证,,A,B,，,即存在可逆矩阵,P,，,使得,,,P,,1,AP=B,,即,,,,I,,B,,=,,,,I,,P,,1,AP,,,,=,,P,,1,(,,,I,,A,),P,,,,=,,P,,1,,,,I,,,,A,,P,,,=,,,,I,,A,,,注意：此定理的逆命题不成立。例如：,,,,I,,A,,=,,,,I,,B,,=(,,

14、,,2),2,,,但,A,,与,B,,不相似，因为对任何可逆矩阵,P,，,P,,,1,A,,P,=,P,,,1,(2,I,),P,=2,I,=,A,B,。,,,5.2 矩阵可对角化的条件,定理5.5,,n,阶矩阵,A,与对角阵相似,的充要条件是,A,有,n,个,,线性无关的特征向量。,,,证,必要性,设,P,,1,AP,=,diag(,,1,,,,,2,,,,,,,n,) =,,,,即,,,,AP=P,,(1),,将矩阵,P,,按列分块为,P,=(,x,1,,,x,2,,,,,,x,n,),,(1),式即为,,即,x,1,,,x,2,,,,,x,n,是,A,的,n,

15、个线性无关的特征向量(因为,P,可逆，所以,,,x,1,,,x,2,,,,,x,n,线性无关)。必要性得证。,(2),得,A,,x,j,=,,j,x,,j,(,x,j,,0,,j,=1,2,,,,,n,),,(3),,,充分性,若,A,有,n,个线性无关的特征向量,x,1,,,x,2,,,,,x,n,,,,,即(3)式成立，由(3)式可得(2)式，从而(1)式成立。充分性得证。,A,与对角阵,,相似，,,的主对角元是,A,的特征值，若不计,,其排列顺序，则,,唯一，称,,为,A,的相似标准形。,与对角阵相似的矩阵,,,称为,可对角化矩阵,。,定理5.6,矩阵,A,属于不同特征

16、值的特征向量是线性,,无关的。,证,：设,A,的,m,个互不相同的特征值为,,1,,,,,2,,,,,,m,，,,,其对应的,特征向量分别为,x,1,,,x,2,,,,,x,m,。,,对,m,作归纳法。,,当,m,=1,时，,x,1,,,0,，,线性无关；假设,m=k,时， 命题成立；对,m=k,+1，,设,a,1,x,1,+,,a,2,x,2,+,…+,a,k,x,k,+,,a,k,+1,x,k,+1,=,0,(1),则,,A,(,a,1,x,1,+,,a,2,x,2,+,…+,a,k,x,k,+,,a,k+,1,x,k,+1,)=,0,即,,a,1,,1,x,1,+,,a,2

17、,,2,x,2,+,…+,a,k,,,k,x,k,+,,a,k,+1,,k,+1,x,k,+1,=,0,(2),,,k,+1,(,,1) ,,(2),,得,,,,a,1,(,,k,+1,,,1,),,,x,1,+,,a,2,(,,k,+1,,,,2,),x,2,+,…+,a,k,,(,,k,+1,,,,k,),x,k,=,0,由于,x,1,,,x,2,,,,,x,k,,线性无关，,,a,i,,(,,,k,+1,,,,i,)=0,,i,=1,2,,…,,k,，,,又因为,,,k,+1,,,,i,,,,所以，,a,i,=0,,i,=1,2,,…,,k,。,

18、代入,(1)，,得,a,k,+1,=0。,所以，,x,1,,,x,2,,,,,x,k,+1,线性无关。由归纳法得证。,,推论,：,n,阶矩阵,A,有,n,个不同的特征值，则,A,与对角阵相似。,,,注意：这里的条件是充分的，但不是必要的,。,,则由,r,1,+ r,2,+,,+ r,m,个向量组成的向量组,,证,：设,*定理5.7 设,,1,,,,,2,,,,,,,m,是,n,阶矩阵,A,的,m,个互不相同的,特征值,，,属于,,i,的线性无关的特征向量为,是线性无关的。,(1),(1),式化为,y,1,+,y,2,+,+,,y,m,=,0,(3),其中,y,i,,是,

19、A,,属于,,i,,的特征向量或为,零向量,。,但,,y,i,,不能是,A,属于,,i,,的特征向量。否则,，,(2),(,i,=1.2,,,,,m,),,,,,由于不同特征值对应的的特征向量是线性无关的， 即有,,,y,1,+,+,,y,i,,,0,(,i,=1,,,,m,),，（,3）,式不能成立。所以，,y,1,=,=,y,m,,=,0,(4),线性无关, 和(4), (2) 得,再由,即,是线性无关的。,定理5. 8,设,,0,是,n,阶矩阵,A,的,k,,重特征值，,属于,,0,的线性,,无关的特征向量的最大个数为,l,,则,k,,,l,。,,将{,x,1,,,x

20、,,2,,,,,,x,l,},扩充为,C,n,的基{,x,1,,,,,,x,l,,,x,l,+1,,,,,x,n,}，,x,l+,1,,,,,,x,n,一般不是特征向量，但,Ax,j,,C,n,，,可用,C,n,的基表示:,,,Ax,j,= b,1j,x,1,+,+b,l,j,x,l,,+b,l,+,1,,j,x,l,+,1,+,+b,nj,x,n,, j=,l,+1,,,,n,,(2),,将(1)、 (2)式中的,n,个等式写成一个矩阵等式：,证：,由,,Ax,i,=,,0,x,i,，,x,i,,0,,,,i,=1,,,,,l,(1),记,P,=,[,x,1,,,,

21、,,x,l,,,x,l,+1,,,,,x,n,],,(3)式为：,(3),,因为相似矩阵的特征多项式相同。,是,,的,n,,l,次多项式,所以 ,,,0,是,A,的大于或等于,l,重的,,特征值，即,k,,l,。,所以 ,,,0,的特征子空间的维数小于或等于,特征值的重数，,,即,由于,及,即,,*定理5.9,,n,阶矩阵,A,与对角阵相似,的充要条件是,:,A,的每,,个特征值对应的,特征向量线性无关的最大个数等于该,特征值,,的重数,（每个,特征子空间的维数,等于该,特征值的重数）。,例1,设,,问,A,是否与对角阵相似？若,与对角阵相似，求对角矩阵,,及,,可逆矩阵,P,，

22、,使得,,P,,,1,A,,P,=,,，再求,A,k,,(,k,为正整数)。,(,证明见,,教材,p237,),,,A,的特征值为,,,,1,= 2 (单重根),,,2,=2 (三重根),对于,,1,= 2 ，求解(,,1,I,,,,A,),x,=,0,。,对于,,2,= 2，求解(,,2,I,,A,),x,=,0,,,即,x,1,+,x,2,+,x,3,+,x,4,=,0,，,得基础解系,x,21,=(1,,,1,0,0),T,,,x,22,=(1, 0,,,1, 0),T,,,x,23,=(1,0,0,,1),T,属于,,1,的特征向量为,{,k,x,1,,

23、|,,x,1,=(1,1,1,1),T,,,k,,,0,},。,A,有4个,线性无关的特征向量，所以，,A,与对角阵相似。,,由,P,,1,AP=,，,得,A=P,,P,,1,，,,,A,k,= P,,P,,1,,P,,P,,1,,…,P,,P,,1,= P,,k,,P,,1,,所以,则,P,,1,AP=,,,例2,,n,阶矩阵,A,,为主对角元全为2的上三角矩阵，且,,存在,a,ij,0(,i

24、性无关的特征向量少于,n,个,，,A,不,与对角阵相似。,,,,*例3,矩阵如例1，,f,(,x )= x,3,,,2,x+,5,,求,可逆阵,P,和对角阵,,，,,使得,,P,,,1,f,(,A,),P,=,,, 其中,f,(,A,),=,A,3,,,2,,A,+,5,I,。,,解：,(见教材,p231 “,(4),若,A,B,，,则,f,(,A,),,f,(,B,)”,）,,由,P,,,1,A,,P,=,=,diag(,,2, 2, 2, 2),,得,A,=,P,,,,P,,,1,f,(,A,),=,A,,3,,,2,,A,+,5,I,,=,（,,P,,,,

25、P,,,1,),3,,2,(,P,,,,P,,,1,)+5,I,,=,P,,(,,,3,,2,,,,+5I ),P,,,1,于是,,所以,,,i,2,=,,i,（,i,=1, 2,,,,,n,）,。于是,,,i,=0,或 1，,由,,,A,2,=A, A,,A,2,=A,(,I A,)=,0,,得,r(,A,),+,r(,I,,A,), n,(1),,又,r(,A,),+,r (,I,,A,),,r,(,A,+,(,I,,A,),),=,r,(,I,),=,n,(2),,由(1) 和,(2),得：,r(,A,),+,r (,I,,A,),=n，,或,

26、r (,I,,A,),=n,r(,A,),,,,,即,,1,=,1时，,(,I,,A,),x,=,0,,因此，含,n,(,nr,),=r,个线性无关的特征向量,x,1,,,,,,x,n-r,；,,,2,=,0时，,(,,2,,I,,A,),x,=,0 ,,即,A,,x,=,0,,因此，,含,nr,个线性无关的特征向量,x,r,+1,,,,,,x,n,。,,记 [,x,1,,,,,,x,r,,,x,r,+1,,,,,x,n,]=,P,,,,则,P,,1,A,,P,=diag(1,,,,1,0,,,,0) ，,其中１的个数等

27、于,r,。,例4,设,A,是,n,阶,幂等矩阵,(,A,2,=,A,),，,r,(,A,)=r,(,0

28、时,等号成立,。,共轭矩阵有以下性质：,(5) 若,A,可逆，则,(6) 若,A,为方阵，则,(7) 若,x,为,n,,维复向量,，,,,定理5.10,实对称矩阵,A,的特征值都是实数。,,,证,设,,是,A,的任一个特征值， (,,A,),T,=,A,，,A,,x,=,,,x,(,x,,,0,),,只需证,,,,=,。,,故得,,,=,,,， 即,,都是实数。,,定理5.11,实对称矩阵,A,的属于不同特征值的特征向量是正交的。,,,证,设,A,,x,i,=,,i,x,i,,,x,i,,,,0,(,i,=1, 2),,,1,,,2,（实数），则,,,,1,x

29、,2,T,,x,1,=,x,2,T,A,,x,1,=,x,2,T,A,,T,x,1,,,=(,A,,x,2,),T,,x,1,= (,,2,x,2,),T,,x,1,,,=,,2,,x,2,T,,x,1,,而,,1,,,2,，所以,x,2,T,,x,1,=(,x,1,,,x,2,)=0，,即,x,1,与,x,2,是正交的。,),(,),(,),(,x,x,x,x,l,l,T,T,=,x,A,x,x,A,x,T,T,),(,),(,),(,=,=,T,,5.3.2 实对称矩阵的对角化,定理5.12,对于,n,阶实对称矩阵,A,，存在,n,阶正交矩阵,T,，,使得,,,T,,,1,A

30、,,T,=diag(,,1,,,2,,,,,,,n,),,,证,用,数学归纳法,。,n,=1，,结论显然成立；,,假设对,n, 1,阶实对称矩阵,B,,,存在,n,, 1,阶正交矩阵,Q,，,使得,,Q,,1,B,,Q,=,,1,。对,n,阶矩阵,A,，设,A,,x,1,=,,1,x,1,,,其中,x,1,,是长度为１的,,特征向量。现将,x,1,扩充为,R,n,的一组标准正交基{,x,1,,,x,2,,,,,,x,n,},,,,A,,x,j,,(,,R,n,),可由这组基线性表示：,,记,P,=[,x,1,,,x,2,,,,,x,n,](,P,为正交矩阵)，上式用分块

31、矩阵表示为,,令,T=PS,（,两个正交矩阵之积也是正交矩阵），,T,,1,=,T,T,，,即得,,,T,,1,A T,=diag(,,1,,,2,,,,,,,n,),,,其中,,1,,,2,,,,,,,n,,是,A,的,n,个特征值。,因此,,b,=,0,，,B,=,B,,T,为,n,,,1,阶实对称矩阵。由归纳假设，可知,,存在,n,, 1,阶正交矩阵,Q,，,使得,Q,,1,B,,Q,=,,1,。令,由于,P,,1,=,P,T,, (,P,,,1,A,,P,),T,=,P,T,A,T,(,P,,1,),T,=,P,,1,A,P,,,所以它是实对

32、称矩阵。,=,diag(,,1,,,2,,,,,,,n,),,得基础解系:,x,1,=(2, 1, 0),T,,,x,2,=(2, 0, 1),T,,用,Schmidt,正交化方法，先正交化，取,,,1,=,x,1,=(2, 1,0 ),T,例１,设,求正交矩阵,T,，,使,T,,1,AT,,为对角矩阵。,解,对于特征值,,1,=1，由(,,1,I,,A,),x,=,0,，,即,可取,,2,=,(2, 4, 5),T,，,,则有,,,T,1,A,,T,= diag(,,1,,,,2,, ,3,) = diag(1, 1, 10),解得,x,3,=(1, 2, 

33、 2),T,，,将其单位化得,对于特征值,,2,=10，由(,,2,I,,A,),x,=,0,，,即,将,,1,,,,,2,单位化:,取正交矩阵,,例２,证明：若,n,,阶实对称矩阵,A,和,B,的特征值,,相同，则,A,,,B,，,且,存在正交矩阵,T,,,使,,,T,1,A,,T,=,B,。,,证,设,1,,,,2,,,,,,,n,,是,A,和,B,的特征值，则存在,,正交阵,T,1,和,T,2,，,使得,,,T,1,1,A,,T,1,=diag(,,1,,,2,,,,,,,n,)=,T,2,1,B,,T,,2,,于是,,T,2,T,1,1,A,,T,1

34、,T,2,1,=,B,,令,T = T,1,T,2,1,（,T,是正交矩阵,，且,T,,1,=T,2,T,1,,1,），,就有,,,T,,1,A,,T,=,B,,例3,若,n,阶实对称矩阵,A,和,B,的特征值完全相同，,,证明,存在正交矩阵,T,和,n,阶矩阵,Q,,,使,A=QT,和,B=TQ,,同时成立 。,,证 由于,实对称矩阵与对角阵,,相似，,对角元,,为特征值,,1,, ,2,,,,,,,n,，,所以，,,,AB,,且存在正交阵,T,1,使,,,T,1,,1,AT,1,=B,,或,A=T,1,B,T,1,1,,记,T,1,1,=,T,（,T,还

35、是正交阵），,AT,1,=Q,,,B= TQ,，,则,,,A= T,1,B,T,1,,1,=T,1,TQ,T,1,,1,=IQT=QT,,命题成立。,,例4,设,A,和,B,都是,n,阶实对称矩阵，若存在正交矩阵,T,，使,,T,1,A,,T,,,T,1,B,,T,,都是对角阵，则,A,,B,是实对称矩阵,。,,,证,由(,A,,B,),T,=,B,T,A,T,=,B,,A,,,所以，,A,,B,,对称的充要条件是,,A,,,B,可交换,。,设,,,T,,1,A,,T,=diag(,,1,, ,2,,,,,,,n,)=,,,1,,,T,,1,B,,T,=diag(,,1,, ,2,,,,,,,n,)=,,2,,则,,1,,2,=,diag,(,1,,1,, ,2,,,2,,,,,,,n,,n,) =,,2,,,1,,,于是,,,A,,B,=,T,,,1,T,,1,,·,,T,,,2,T,,1,,,=,T,,,1,,2,T,,1,,,=,T,,,2,,1,T,,1,=,T,,,2,T,,1,,·,,T,,,1,T,,1,,,=,B,,A,,所以， (,A,,B,),T,=,B,,A,=,A,,B,,即,A,,B,是实对称矩阵,。,,,