插值拟合复习要点

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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,第二章 插 值,,/* Interpolation */,主要,,内容,§2,插值函数的特点及寻求方法,§1,插值的概念,§4,埃尔米特插值,§3,拉格朗日多项式,§5,分段低次插值,,§1,概念,/* Concept */,,函数解析式未知，或计算复杂，用函数,g,(,x,),,去近似代替它，使得,,,g,(,x,i,),=,f,(,x,i,) (,i,= 0, …,n,),,g,(,x,),,,f,(,x,),,,这类问题称为,插值问题,。函数,g,(,x,),称为,插值函数,。

2、,x,0,…,x,n,称为,插值节点,或简称节点。插值节点所界的区间称为,插值区间,。,g,(,x,i,),=,f,(,x,i,),称为,插值条件,。,x,0,x,1,x,2,x,3,x,4,x,g,(,x,),,,f,(,x,),本章只讨论多项式的插值问题，即构造,n,次多项式,,P,n,(x,)=,a,0,+,a,1,x,+,a,2,x,2,+…+,a,n,x,n,,使满足,P,n,(,x,i,)=,y,i,,§2,插值函数的特点和寻求方法,插值函数的特点,,它是几个函数的线性组合，有几个已知函数值，则有几项，每项的系数为已知函数值。,,,已知函数值前的函数叫形（状）函数，或叫基函数

3、。,,(1)、形（状）函数值在节点处是“1”，在其它节点处 是“0”。,,(2)、形（状）函数之和等于1。,,(3)、形（状）函数只描述函数（图象）的形状，而函数值 则是形函数的幅值。,,,节点处的函数值是精确的，其它各点的值是近似的。,,Important！,,插值函数的寻求方法,,,,待定系数法,,,,,,试凑法,,,,,,混合法：试凑法和待定系数法相结合的方法。,,,,1.已知几个边界条件,插值函数就有几项.,,2.每一项由节点函数值和形函数构成.,,3.形函数在本节点的值为1,其它节点为0.,,,,§3,,拉格朗日插值,Lagrange Polynomial,n,,

4、,1,希望找到,l,i,(,x,)，,i =,0, …,,n,使得,,l,i,(,x,j,)=,,ij,；然后令,,=,=,n,i,i,i,n,y,x,l,x,P,0,),(,),(,，则显然有,P,n,(,x,i,) =,,y,i,,。,l,i,(,x,),每个,l,i,有,n,个根,x,0,…,,x,i,…,x,n,,=,-,=,-,-,-,=,n,j,j,,i,j,i,n,i,i,i,x,x,C,x,x,x,x,x,x,C,x,l,0,0,),(,),)...(,)...(,(,),(,,-,=,=,j,,i,j,i,i,i,i,x,x,C,x,l,),(,1,1,),(,

5、Lagrange Polynomial,与 有关，而与 无关,节点,f,,,插值余项,/* Remainder */,分子：哪个节点的形函数缺哪个坐标,,分母：哪个节点的形函数，哪个坐标在前,,,Important！,,n,= 1,已知,x,0,,,,x,1,,;,,y,0,,,,,y,1,,，求,使得,1,1,1,0,0,1,),(,,,),(,y,x,P,y,x,P,=,=,),(,),(,0,0,1,0,1,0,1,x,x,x,x,y,y,y,x,P,-,-,-,+,=,1,0,1,x,x,x,x,-,-,0,1,0,x,x,x,x,-,-,=,y,0,,+,y,

6、1,l,0,(,x,),l,1,(,x,),n,= 2,Important！,,§3 Lagrange Polynomial,定理,(,唯一性,) 满足 的,n,阶插值多项式是唯一存在的。,注：,若不将多项式次数限制为,n,，则插值多项式,不唯一,。,,例如 也是一个插值多项式，其中 可以是任意多项式。,,§4,埃尔米特插值,/* Hermite Interpolation */,不仅要求函数值重合

7、，而且要求若干阶,导数,也重合。,,即：要求插值函数,,(,x,),满足,,(,x,i,) =,f,(,x,i,),,’,(,x,i,) =,f ’,(,x,i,),,,…,,,(,mi,),(,x,i,) =,f,,(,mi,),(,x,i,).,注：,,,N,个条件可以确定 阶多项式。,N,, 1,,要求在,1,个节点,x,0,处直到,m,0,,阶导数都重合的插值多项式即为,Taylor多项式,其余项为,,一般只考虑,f,与,f ’,的值。2,n,+2个条件，可确定2,n,+1次多项式。,1,概念,/* Concept */,,§4 Hermite I

8、nterpolation,例：,设,x,0,,,x,1,,x,2,, 已知,f,(,x,0,),、,f,(,x,1,),、,f,(,x,2,),和,f ’,(,x,1,),, 求多项式,P,(,x,),满足,P,(,x,i,) =,f,(,x,i,),，,i,= 0, 1, 2，,且,P’,(,x,1,) =,f ’,(,x,1,),, 并估计误差。,模仿 Lagrange 多项式的思想，设,解：,首先，,P,,的阶数 =,3,,,+,=,2,1,3,),(,),(,),(,),(,),(,=,0,i,i,i,x,h,x,1,f ’,x,h,x,f,x,P,,h,0,(,x,),有根

9、,x,1,,,x,2,，,且,h,0,’,(,x,1,) = 0,,x,1,是重根。,),(,),(,),(,2,2,1,0,0,x,x,x,x,C,x,h,-,-,=,又:,h,0,(,x,0,) =,1 ,C,0,h,2,(,x,),h,1,(,x,),有根,x,0,,,x,2,,,),)(,)(,(,),(,2,0,1,x,x,x,x,B,A,x,x,h,-,-,+,=,由余下条件,h,1,(,x,1,) =,1,和,,h,1,’,(,x,1,) = 0,可解。,与,h,0,(,x,),完全类似。,,(,x,),,h,1,有根,x,0,,,x,1,,,x,2,,,,h,1,

10、),)(,)(,(,),(,2,1,0,1,x,x,x,x,x,x,C,x,-,-,-,=,,h,1,又:,’,(,x,1,) =,1 ,C,1,,可解。,其中,h,i,(,x,j,) =,,ij,,,h,i,’,(,x,1,) = 0,,,(,x,i,) = 0,,,’,(,x,1,) = 1,,h,1,,h,1,与 Lagrange 分析完全类似,2,,方法,/* Method */——,混合法,试凑,待定系数,,§4 Hermite Interpolation,一般地，已知,,x,0,,, …,,x,n,,处有,,y,0,,, …,,y,n,,和,,y,0,’,,, …,,

11、y,n,’,,，,求,,H,2,n,+1,(,x,),,,满足,,H,2,n,+1,(,x,i,) =,y,i,，,H’,2,n,+1,(,x,i,) =,y,i,’,。,解：,设,,+,=,n,i,),(,),(,),(,=,0,i,i,x,h,x,h,y,i,x,H,2,n,+1,,,n,=,0,i,y,i,’,其中,h,i,(,x,j,) =,,ij,,,h,i,’,(,x,j,) = 0,,,(,x,j,) = 0,,,’,(,x,j,) =,,ij,,,h,i,,h,i,h,i,(,x,),有根,x,0,,, …,,x,n,,,除了,x,i,,外都是,2,重根,,),(

12、,),(,),(,2,x,l,b,x,a,x,h,i,,,i,+,=,,,,由余下条件,h,i,(,x,i,) =,1,和,,h,i,’,(,x,i,) = 0,可解,a,和,b,,,,(,x,),,h,i,有根,x,0,,, …,,x,n,,,除了,x,i,,外都是,2,重根,,,h,i,),(,),(,i,,l,i,2,(,x,),x,x,c,x,-,=,,h,i,又:,’,(,x,i,) =,1 ,c,= 1,,h,i,),(,x,),(,i,l,i,2,(,x,),x,x,-,=,设,则,3,推广,/* Evolution */,,§5,分段低次插值,/* piece

13、wise polynomial approximation */,例：,在,[,5, 5,],上考察 的,L,n,(,x,)。取,,-,5,,-,4,,-,3,,-,2,,-,1,,0,,1,,2,,3,,4,,5,,-,0.5,,0,,0.5,,1,,1.5,,2,,2.5,,n,越大，,,端点附近抖动,,越大，称为,,Runge 现象,L,n,(,x,),,f,(,x,),,分段,低次,插值,,§5 Piecewise Polynomial Approximation,,,分段线性插值,,/* piecewise linear interpol

14、ation */,在每个区间 上，用,1阶多项式,(直线) 逼近,f,(,x,),:,记 ，易证：当 时，,一致,失去了原函数的光滑性。,,给定,在 上利用两点的,y,及,y’,构造,3次Hermite函数,导数一般不易得到。,,,分段Hermite插值,,/* Hermite piecewise polynomials */,,内容提要：,,,函数逼近的概念,,最小二乘原理,,,第三章,函数逼近与曲线拟合,,/* Approximation Theory */,,,用

15、简单的函数,P,（,x,）,近似地代替函数,f,（,x,），是数值分析最基本的概念和方法之一。近似代替又称逼近，函数,f,（,x,）叫做被逼近函数，,P,（,x,）,叫做逼近函数。,,插值法也是逼近的已知方法，不过，它要求逼近函数,P,（,x,）,与被逼近函数,f,（,x,）在节点处有相同的函数值（甚至导数值），但在非节点，误差可能很大，所谓龙格现象，就是一例。,,本章主要研究在逼近多项式次数确定为尽量低的情形下，使其逼近的误差在某种意义上达到最小。也就是要使计算简单，还有使逼近的精度尽可能地高。,,函数逼近的概念,/* Approximation Theory */,,第三章,曲线拟合与函数

16、逼近,,/* Approximation Theory */,仍然是已知,x,1,…,x,m,,;,y,1,…,y,m,, 求一个简单易算的近似函数,P,(,x,),,,f,(,x,)。,但是,①,,m,很大；,②,,y,i,本身是测量值，不准确，即,y,i,,,f,(,x,i,),这时没必要取,P,(,x,i,),=,y,i,, 而要使,P,(,x,i,),,y,i,总体上,尽可能小。,常见做法：,,,使 最小,/* minimax problem */,,太复杂,,,使 最小,不

17、可导，求解困难,,,使 最小,/* Least-Squares method */,,最小二乘原理,,对 为多项式情形,,定义：设f(x)在[a,b]上有函数表,,,,其中,,求一个m(

18、组为正则方程组，通过它可以求出,,求解步骤,,由观测数据表中的数值，点画出函数粗略的图形,,从粗略图形中确定近似公式的函数类型,,,通过最小二乘原理确定函数中的未知参数,,,第三章,曲线拟合与函数逼近,,/* Approximation Theory */,关键问题,选什么形式的函数进行拟合？主要凭经验。与问题的运动规律及所观测数据有关,幂函数,,指数函数,,对数函数,,三角函数,可选形式,在不好判断时，都可选幂级数，因为任何函数都可以展开成幂级数,,非线性曲线的数据拟合,,当 不是多项式时,,幂函数,,指数函数,,对数函数,,可以将自变量x和变量y看成其他变量的函数，原来是非线性的问题就转化为线性问题，如：,,,令 ，则经过变换后得,,,,,