电路分析第07章-一阶电路的时域分析

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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,*,*,*,10V,R,＋,－,S,(,t,=0),1,2,R,1,2,,4,,R,2,4,,当开关在,t=0,时从1切换到2，灯泡,R,1,和,R,2,的亮度会怎么变化？,10V,＋,－,＋,－,u,C,S,(,t,=0),1,2,R,1,4,,R,2,4,,C,1F,1,,,,第七章 一阶电路的时域分析,7.1 动态电路的方程 及其初始条件,（△）,,,7.2 一阶电路的零输入响应,（△）,,,7.3 一阶电路的零状态响应,（△）,,,7.4 一阶电路的全响应,（,△,★

2、,）,,暂态和初值求解,三种响应,2,,重点,,(1).,动态电路方程的建立和初始条件的确定；,,(2).,一阶电路时间常数的概念 ；,,(3).,一阶电路的零输入响应和零状态响应和全响应求解；,(4).,求解一阶电路的三要素方法；,(5).,自由分量和强制分量、暂态分量和稳态分量的概念；,,,2.,难点,,(1).,应用基尔霍夫定律和电感、电容的元件特性建立动态电路方程。,,(2).,电路初始条件的概念和确定方法。,,本章重点和难点,3,,7.1 动态电路的方程及其初始条件,1、动态电路,包含至少一个动态元件（电容或电感）的电路为,动态电路,。,,电路方程为一阶常系数微分方程为,一阶电路,

3、。（含有,一个,独立,的动态元件）,,电路方程为二阶常系数微分方程。（含有,二个,独立,的动态元件为,二阶电路,）,,电路方程为高阶常系数微分方程。（含有,三个或三个以上,独立,的动态元件为,高阶电路,）,4,,稳态,暂态,暂态,换路：电路结构或参数发生突然变化。,稳态：有两类稳态电路，,直流稳态电路：,电路中电流电压均为恒定量。,正弦稳态电路：,电路中电流电压均为正弦交流量。,换路、暂态与稳态的概念,U,S,+,-,K,R,(t=0),C,+,-,u,C,(t=t,1,),1,2,5,,暂态：电路换路后从一种稳态到另一种稳态的过渡过程。,过渡过程产生的原因：,,外因,,换路；内因,,有储

4、能元件。,电路内部含有储能元件,L,、,C,，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。,6,,例:,电阻电路,过渡期为0,+,-,u,S,i,R,1,R,2,(t=0),7,,电容电路,K未动作前，电路处于稳定状态,,i,=0,,u,c,=0,K接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态,,i,=0,,u,c,=,U,S,+,-,u,S,R,(t=∞),C,+,-,u,C,i,u,S,+,-,K,R,(t=0),C,+,-,u,C,i,1,2,8,,电感电路,K未动作前，电路处于稳定状态,,i,=0,,u,L,=0,K接通电源后很长时间，电感充电完毕，电

5、路达到新的稳定状态,,i,=,U,S,/,R,,,u,L,=0,+,-,u,S,R,(t= ∞),L,+,-,u,L,i,+,-,u,S,K,R,(t=0),L,+,-,u,L,i,1,2,9,,（1）根据KCL、KVL和支路的VCR建立描述电路的方程；（建立的方程是以时间为自变量的线性常微分方程）,,2）求解常微分方程，得到电路所求变量（电压或电流）。,动态电路的分析方法 (经典法),10,,动态电路的方程,应用KVL和电容的VCR得：,若以电流为变量:,u,S,+,-,K,R,(t=0),C,+,-,u,C,i,1,2,11,,若以电感电压为变量:,应用KVL和电感的VCR得:,+,-,u

6、,S,K,R,(t=0),L,+,-,u,L,i,1,2,12,,一阶电路列出的方程是一阶微分方程，那么求解的时候需要知道一阶微分方程的初始值（初始条件），也就是电路中的响应在换路后的最开始一瞬间的值。,一阶电路,13,,2. 电路的初始条件,(1),t,= 0,＋,与,t,= 0,－,的概念,认为换路在,t,=0时刻进行,,,0,－,：,换路前一瞬间,,,0,＋,：,换路后一瞬间,初始条件：,电路中所求变量（电压或电流）及其1至(n－1)阶导数在,t,= 0,＋,时的值，也称,初始值。,独立初始条件,：,u,C,(0,+,),,i,L,(0,+,),14,,对于线性电容，在任何时刻,t,时，

7、它的,u,c,和,i,c,之间的关系为：,令,t,0,=0,-,、,t,=0,+,则得：,(2) 电容的初始条件,换路瞬间，若电容电流保持为有限值，,,则,电容电压（电荷）换路前后保持不变,。,当,i,C,(,x,)为有限值时：,电荷守恒,结论:,15,,对于线性电感，在任何时刻,t,，它的,u,和,i,L,之间的关系为：,令,t,0,=0,-,、,t,=0,+,则得：,(3) 电感的初始条件,换路瞬间，若电感电压保持为有限值，,,则,电感电流（磁通链）换路前后保持不变,。,当,u,L,(,x,)为有限值时：,磁通链守恒,结论,16,,如何根据换路定则求其它的电量？？？,(3) 换路定则,

8、换路前后瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压换路前后保持不变。,换路前后瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流换路前后保持不变。,（1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。,,（2）换路定律反映了能量不能跃变。,17,,1. 求 ：,,① 给定,；,,② 时，原电路为直流稳态：,C,—开路,L,—短路,,③ 时，电路未进入稳态,： ，,,2. 根据换路定则确定独立初始条件,,,3. 求非独立初始条件，画 时的等效电路：,,C,—电压源,（,u,C,(0,+,)有关）,，,L,

9、—电流源,（,i,L,(0+)有关）,,,特殊情况 ：,,C—短路,，,L,—开路,,再利用直流电阻电路的计算方法求出其他非独立初始条件。,(4) 初始值的计算,18,,例1：电路如图，已知,,电路换路前已达稳态，,,求,u,c,(0,＋,) 和,i,c,(0,＋,)。,解：,由换路定则，可得,由0,＋,等效电路可求得,19,,例2：电路如图，已知电路换,,路前已达稳态，求,u,L,(0,＋,) 、,,,i,,(0,＋,)、,i,1,(0,＋,) 和,i,L,(0,＋,)。,解：,由换路定则得：,由0,＋,等效电路可求得,20,,,例7–1,如图7-1(,a,)所示电路中直流电压源的电压为

10、U,0,。当电路中的电压和电流恒定不变时打开开关S。试求,u,C,(0,+,)，,i,L,(0,+,)、,i,C,(0,+,)、,u,L,(0,+,)和,u,R2,(0,+,) 。,图 7-1,R,2,U,O,R,1,i,L,＋,－,L,＋,－,u,C,i,C,S,(,t,=0),(a),＋,－,u,R2,＋,－,u,L,21,,,（2）根据换路定则得：,,R,2,u,L,(0,+,),＋,－,＋,－,i,C,(0,+,),＋,－,(3) 画t=0,＋,时的等效电路图:,解,: (1) 求,,电容相当于开路，电感相当于短路,,所以：,22,,作业 P190，191,7－1 ( a ),,

11、7－2 （b）,,要求在图中标出各电压、电流的符号以及参考方向,,23,,动态电路,无外施激励电源,，仅由动态元件的初始储能所产生的响应（电流和电压），称为动态电路的,零输入响应,。,图 7–2,RC,电路的零输入响应,u,R,＋,－,＋,－,u,C,U,0,S,(,t,=0),R,i,一、,RC,电路的零输入响应,7.2 一阶电路的零输入响应,24,,在图6-2所示,RC,电路中，开关,S,闭合前，电容,C,已充电，其电压,u,C,=,U,0,，如图所示。开关闭合后，电容储存的能量将通过电阻以热能形式释放出来。现把开关动作时刻取为计时起点(,t,=0) 。开关闭合后，即,t,,0,＋

12、,时，根据KVL可得,而,u,R,=,Ri,， 代入上述方程，有,25,,这是一阶齐次微分方程，初始条件,u,C,(0,+,)=,u,C,(0,－,)=,U,0,，令此方程的通解为,u,C,=,Ae,p,t,，代入上式后有,特征根为,相应的特征方程为,根据,u,C,(0,+,)=,u,C,(0,－,)=,U,0,，以此代入,u,C,=,Ae,p,t,，则可求得积分常数,A,=,u,C,(0,+,)=,U,0,。,26,,这样求得满足初始条件的微分方程的解为,电路中的电流为,————,放电过程中电容电压,u,C,的表达式,电阻上的电压,27,,这三者都是按同样的

13、指数规律衰减的。它们衰减的快慢取决于指数中 的大小,仅取决于电路的结构和元件的参数。,(b),(a),图6-3,u,C,,,u,R,和,i,随时间变化的曲线(,,=,RC,),t,u,C,,,u,R,O,U,0,,2,,0.135,U,0,0.368,U,0,t,i,O,U,0,/R,,2,,0.135,0.368,28,,时间常数,t,的大小反映了电路过渡过程时间的长短,RC电路的,时间常数,（time constant）:,=,RC,t,大→过渡过程时间长,,,t,小→过渡过程时间短,物理含义,,电压初值一定：,C,大（,R,一定）,W,＝,Cu,2,/2 储能大

14、,,R,大（,C,一定）,i,＝,u,/,R,放电电流小,放电时间长,0,U,0,u,C,t,τ大,τ小,29,,,的物理意义:,U,0,衰减到,0.368,U,0,所需时间.,将,不同时刻的电容电压值列于表6-1中。,,t,0,τ,2,τ,3,τ,4,τ,5,τ,….,∞,u,c,U,0,0.368 U,0,0.135 U,0,0.05 U,0,0.018 U,0,0.007U,0,….,0,理论上： t=,∞时u,c,才衰减为零。,,工程上认为：经过3,τ～5τ的时间过渡过程结束，因为经历,5,τ的时间u,c,已衰减为初始值的0.7%）。所以，电路的时间常数决定了零输入响应衰减的快慢，时

15、间常数越大，衰减越慢，放电持续的时间越长。,30,,图7-4 时间常数,,的几何意义,,的,几何意义,:,u,C,曲线上任意一点的切线所得的次切距,*,。,t,u,C,O,U,0,,u,C,(,t,0,+,,),,u,C,(,t,0,),B,C,A,备注：次切距是指切点在定直线（通常为x轴）上的垂足到切线与定直线交点间的距离。,31,,例： 如图 (,a,)所示电路中开关S原在位置1，且电路已达稳态。,t,=0时开关由1合向2，试求,t,,0,＋,时的电流,i,(,t,)。,(b),＋,－,u,C,R,1,4,,R,2,4,,C,1F,i,(a),10V,R,＋,－,＋,－,

16、u,C,S,(,t,=0),1,2,R,1,2,,4,,R,2,4,,C,1F,i,32,,解： 首先求出：,换路后，电路如图 (b)所示，,电容通过电阻,R,1,、,R,2,放电，,由于,R,1,、,R,2,为并联，设等效电阻为,R,´,，有：,所以,t,,0,+,时,33,,图7-5所示电路在开关S动作之前电压和电流已恒定不变，电感中有电流 。在,t,=0时开关由1合到2，具有初始电流,I,0,的电感,L,和电阻,R,相连，构成一个闭合回路，如图7-5(b)。在,t,>0时，根据KVL，有,图 7–5,RL,电路的零输入响应,U,

17、O,R,1,i,＋,－,u,L,S,(,t,=0),1,2,＋,－,L,R,i,u,L,＋,－,L,R,u,R,－,+,(b),(a),二、,RL,电路的零输入响应,34,,而,u,R,=,Ri,， ，电路的微分方程为,这也是一阶齐次微分方程。令,i,=,Ae,p,t,，代入上式后有,特征根为,相应的特征方程为,35,,故电流为,根据,i,(0,+,)=,i,(0,－,)=,I,0,，代入上式可求得,A,=,i,(0,+,) =,I,0,,，而有,电阻和电感上的电压分别为：,36,,t,i,,,u,R,,,u,L,O,RI,0,I,0,-,RI,0,u,R,u

18、,L,i,图 6–7,RL,电路的零输入响应曲线,令时间常数,，,当电阻的单位为，电感的单位为H，,,的单位为s，它称为,RL,电路的时间常数。,37,,经典法解题步骤：,,根据换路后的电路列写微分方程；,,求对应齐次方程的通解；,,由初始条件确定积分常数；,,写出,f(t,),。,求解RC、RL电路的零输入响应方法：,经典法和列标准式法,列标准式法步骤：,,求初始值,f,0,；,,求电路的时间常数；,,响应为,;,,更简洁方便、推荐用此方法,38,,例7–3 图7-8所示是一台300kW汽轮发电机的励磁回路。已知励磁绕组的电阻,R,=0.189,，电感,L,=0.398H，直流电压,

19、U,=35V。电压表的量程为50V，内阻,R,v,=5k。开关未断开时，电路中电流已经恒定不变。在t=0时，断开开关。,图 7-8 例7-3图,求,：(1)电阻、电感回路的时间常数；(2)电流,i,的初始值 ;,,(3)电流,i,和电压表处的电压,u,v,；(4)开关断开时，电压表处的电压。,i,u,V,＋,－,L,R,U,＋,－,V,S,R,V,39,,解 (1) 时间常数,(2) 开关断开前，由于电流已恒定不变，电感,L,两端电压为零，故,由于电感中电流不能跃变，电流的初始值,,,i,(0,+,)=,i,,(0,－,)=185.2 A。,(3) 按

20、 ，可得,i,u,V,＋,－,L,R,U,＋,－,V,S,R,V,40,,电压表处的电压,(4) 开关刚断开时，电压表处的电压,在这个时刻电压表要承受很高的电压，其绝对值将远大于直流电源的电压U，所以在切断电流时必须考虑磁场能量的释放。,41,,例7-3 图7-8(a)所示电路，开关S合在位置1时电路已达稳态，,t,＝0时开关由位置1合向位置2，试求,t,≥0,＋,时的电流,i,(t)。,＋,－,2,i,1,2,S,2,W,6,W,6,W,3,W,＋,－,9V,0.25F,i,(a),i,2,i,6V,＋,－,2,W,6,W,＋,－,(b),i,1,i,2,+,-,u,C,42,,零状

21、态响应:,电路在零初始状态下（动态元件的初始储能为零）由外施激励引起的响应。,图7-10,RC,电路的零状态响应,,u,R,＋,－,＋,－,u,C,S,(,t,=0),R,i,C,＋,－,U,S,一、,RC,电路的零状态响应,7.3 一阶电路的零状态响应,43,,在图7-9的,RC,串联电路中，开关,S,闭合前电路处于零初始状态，即,u,C,(0,-,)=0。在,t,=0时刻，开关,S,闭合，电路接入直流电压源,U,S,。根据KVL可得,而,u,R,=,Ri,， 代入上述方程，有,这是一阶线性非齐次方程。方程的解由两个分量组成，即非齐次方程的特解 和对

22、应的齐次方程的通解 ，即,44,,不难求得特解为,而齐次方程 的通解为,代入初始值，可求得,其中,,=,RC,。因此,45,,而：,t,u,C,,,i,O,u,C,i,u,C,以指数形式趋近于它的最终值,U,S,，到达该值后，电压和电流不再变化，电容相当于开路，电流为零。,46,,47,,i,L,u,L,＋,－,L,R,I,S,,S,(,t,=0),i,R,图7-12,RL,电路的零状态响应,图7-12所示为,RL,电路，直流电流源的电流为,I,S,，在开关打开前电感中的电流为零。开关打开后

23、 ，电路的响应为零状态响应。电路的微分方程为,二、,RL,电路的零状态响应,48,,初始条件为 。电流,i,L,的通解为,式中 为时间常数。,特解为 ，积分常数 ，所以,49,,习 题 P191-193,7-4,,7-8,,7-11,50,,当一个,非零初始状态,的一阶电路,受到激励,时，电路的响应称为一阶电路的,全响应,。,图7-14 一阶电路的全响应,,u,R,＋,－,＋,－,u,C,S,(,t,=0),R,i,C,＋

24、,－,U,S,＋,－,U,0,7.4 一阶电路的全响应,51,,图7-14所示电路为已充电的电容经过电阻接到直流电压源,U,S,。设电容原有电压为,U,0,，开关,S,闭合后，根据KVL可得,初始条件,方程的通解,取换路后达到稳定状态的电容电压为特解，则,52,,代入初始条件 ，可求得,其中,,=,RC,。因此,为上述方程对应的齐次方程的通解,所以电容电压,电容电压在t,0时的全响应,53,,电路的稳态分量,电路的瞬态分量,全响应＝稳态分量+瞬态分量,全响应的分解,,54,,可写作,电路的零输入响应,电路的零状态响

25、应,全响应＝零输入响应+零状态响应,55,,全响应可以由初始值、特解和时间常数三个要素决定。若初始值为,f,(0+)、特解为稳态解,f,(,,)，时间常数为,，则全响应,f,(,t,)可写为,,只要知道,f,(0,+,)、,f,(,,)和,这三个要素，就可以根据上式写出直流激励下一阶电路的全响应，这种方法为三要素法。,三要素法不仅可以求一阶,RC,电路的,u,C,(t,),,以及一阶,RL,电路的,i,L,(t,),，它可以求解一阶电路的其他任何响应（,i,c,,,i,R,,,u,L,,,u,R,）。,,三要素法不仅适用于一阶电路的全响应，而且适用于一阶电路的零输入响应和零状态响应。,

26、三要素法,56,,例7–4 图7-15(a)所示电路中,U,s,=10V，,I,s,=2A，,R,=2，,L,=4H。试求S闭合后电路中的电流,i,L,和,i,。,t,/,s,i,L,/A,O,3,-2,(c),(a),,i,L,L,R,U,S,＋,－,S,(,t,=0),,a,b,I,S,i,57,,解: (1) 求初始值,i,L,(0+),按照三要素方法，解得,i,L,,i,L,L,R,U,S,＋,－,S,(,t,=0),,a,b,I,S,i,(2) 求稳态解,i,L,(∞),(3) 求时间常数,τ,由KCL，解得：,58,,例 如图所示，开关合在1时已达稳定状态。,t,=0

27、时，开关由1合向2，试求,t,>,0时的,u,L,。,2A,S,2,1,4,,4,,i,L,0.1H,＋,－,u,L,2,,＋,－,8V,＋,－,2,i,1,i,1,解,59,,,,i,L,0.1H,＋,－,u,L,10,,＋,－,12V,＋,－,u,oc,R,eq,(b),,,,2A,,,S,,,2,1,4,,4,,,,i,L,0.1H,＋,－,u,L,,＋,－,2,i,1,i,1,(a),＋,－,u,oc,,,,2A,,,4,,4,,,,,＋,－,2,i,1,i,1,(c),,,,1A,,,4,,4,,,,,＋,－,2,i,1,i,1,(d),60,,换路后，应用戴维宁

28、定理得出等效电路如图7-16(b)所示，其中,u,oc,=12V，,R,eq,=10,。,所以：,61,,t,/,s,i,L,/A,O,1.2,-4,t,/,s,u,L,/V,O,52,(c),(d),电流,i,L,和电压,u,L,的波形见图 (c)、(d)。,62,,例7–5 图7-16所示电路中,开关S闭合前电路已达稳定状态，t=0时S闭合，求t >0时电容电压,u,c,的零状态响应、零输入响应和全响应，并定性绘出波形图。,1A,S,(t=0),4,,2,,0.5F,＋,－,u,c,＋,－,＋,－,1.5,u,1,0.5V,u,1,图7-16,63,,三要素法注意事项,如果求,u,

29、C,(,t,),（RC电路）或,,i,L,(,t,),（RL电路）,：,直接求对应的三要素即可。,,如果求,u,C,(,t,)或,i,L,(,t,)之外的,其他响应,：可以先求出,u,C,(,t,),或,,i,L,(,t,)，,然后根据元件的,伏安关系,，,KCL,，,KVL,等规律得到。也可以直接求其他响应量的三要素。,,64,,求初始值,f,(0,+,):,a.题目已知；b. 根据,换路前电路,求,u,C,(0,-,),或,,i,L,(0-),，再由,换路定则,得到,u,C,(0+),或,,i,L,(0+),；c. 其他初始值的计算在,换路后电路,中求得，此时C看成电压源（电压为,u,C,

30、(0+),），L看成电流源（电流为,i,L,(0+),）。,,求时间常数,,：, =R,eq,C,或,L,/,R,eq,,,R,eq,可通过求,动态元件以外部分的戴维宁等效电路的,R,eq,,得到。没有受控源，独立源置零，电阻串并联计算得到,R,eq,,；如有受控源，用外加电源法或开路短路法求得,R,eq,,。,,求稳态解,f,(,,):,在,换路后,电路中，,C—开路， L—短路,，求得,f,(,,)。,65,,电路如图(,a,)所示，已知,C,=0.5F,,R,=2,,,,R,1,=6,,,R,2,=3,,,U,s,1,=18V,,U,s,2,=9V,,,,i,CS,=0.5

31、,u,1,。,开关S打开前，电路已达稳态，,t,=0时将开关S打开。求S打开后电流,i(t),随时间变化的规律。,(a),附加例题,,U,S,2,＋,－,S,i,R,2,,U,S,1,＋,－,R,1,C,R,i,CS,－,＋,u,1,66,,＋,－,U,c,(0_),首先求换路前的u,c,(0,－,)，电路如图(,b,)所示:,,＋,－,i,,18V,＋,－,2,Ω,0.5u,1,－,＋,u,1,6,Ω,3,Ω,9V,i,2,i,1,i,3,解法一：,解法二：,67,,,＋,－,i,,18V,＋,－,0.5u,1,－,＋,u,1,6,Ω,3,Ω,9V,其次求换路后的i(0,＋,)，电路如图(,c,)所示:,由换路定律知,所以,再求i(,∞,)：,＋,－,u,c,68,,最后求时间常数,τ，所以要求出虚线框内二端网络的戴维南等效电路,。,开路电压u,oc,C,,＋,－,,18V,＋,－,0.5u,1,－,＋,u,1,6,Ω,3,Ω,9V,短路电流i,sc,所以,时间常数,τ＝R,eq,C＝0.5 S,求得R,eq,=1,Ω,69,,习 题 P195,7-19,,7-20,70,,