同济大学微积分课件

《同济大学微积分课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济大学微积分课件（46页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,预备知识,1.,集合的概念,在数学中，把具有某种特定性质的事物组成的总体称,,否则，记为,,一、集合,如果元素,,在集合,,中，记为,为一个,集合,.,集合中的事物称为该集合的,元素,.,只有有限个元素的集合称为,有限集,，否则称为,无限集,.,常用数集,:,自然数集,:,整数集,:,有理数集,:,复数集,:,,,,2.,集合的运算,集合的,交,:,集合的,并,:,集合的,差,:,,,,,设 是两个集合，由此定义如下几个集合：,,集合的运算满足如下运算率：,交换率,:,结合率

2、,:,分配率,:,,3.,区间和邻域,开区间,:,闭区间,:,,,,设,,是实数，且,,,,,半开半闭区间,:,,,,,,,,无穷区间,:,注意：无穷端不能写成闭的记号,,,,,,设,是实数，且 则定义,点,,的 邻域,为集合：,邻域,：,,,,,,,如果把邻域的中心去掉，所得到的集合称为,点,,的空,心邻域,：,,,,1.,映射的概念,,,二、映射,,设,,是两个非空集合，如果存在一个,法则,使得,而元素,,称为,,的象，记作,，,即,,对,,中的每个元素 按此法则在,,中有唯一的元素,与之对应，那么称,,为,从,,到,,的映射,，记作,,,,,,,,,,,,,

3、例,,设,则,,是,,到 的映射,.,例 设,则,,是,,到 的映射,.,2.,几类重要映射,一一对应,：既单又满的映射称为一一对应,.,例,,在前面的两例中，例,2,是一一对应，而例,1,则不是,.,,,,,设,,是,,到 的映射,.,满射,：若 即,使得,单射,：若,则必有,3.,逆映射与复合映射,,则,：,,,,逆映射：设,,是,,到 的一一映射，则对,,中任一元素,例,,设,可以确定,,中的唯一元素 满足 称此对应,关系为映射,,的,逆映射,，记为,,复合映射,：设有映

4、射,其中,称此映射为由 构成的复合映射，记为,,,,,,,由此可以确定一个从,,到,,的映射,,,,例：设,则复合映射 为,1.,概念,,,三、一元函数,,,从数集 到实数集,,的任一映射,,称为定义在,,上的,称为 的图象,.,而数集,,则称为函数,一元函数,，通常记为 而,中的集合,的,定义域,.,注：在以后的讨论中，更多的是函数的定义域以默认的,例 则定义域为,,,,例

5、 则定义域为,方式给出，即定义域为使,表达式有效的一切实数,.,以下例中函数的定义域均为实数集。,,,,例,3,,符号函数,,,,,,,例,,取整函数,,1 2 3 4 5,,-,2,-,4,-4 -3 -2 -1,,,4,,3 2 1,,-,1,-,3,,,,,,,,,,2.,函数的几种特性,,,有界,,,无界,,有界性,设函数 的定义域为 数集,如果 都有 就

6、称,,在 上有界,,,否则称为无界函数,.,,,,,,,,,,例,,在,上是有界函数，,在 上无界,.,域内是无界函数,.,例 试说明函数 在 的任何空心邻,解 设 ，取 ，,其中,则,所以 无界,.,,,,,,,单调性,设函数,,的定义域为 区间,如果对任意的 当 时，总有,则称函数,,为区间,,上的单调增加函

7、数；,如果,时，总有,则称函数,,为区间,,上的单调减少函数,.,图形特征：,,,,单调增加函数图形,单调减少函数图形,,,,奇偶性,设函数,,的定义域为,,关于原点对称，,如果对任意的,都有,就称,,,为偶函数；,如果对任意的,都有,就称,,,为奇函数,.,图形特征：,,偶函数,奇函数,,,,,,,,,使得对任意的,当 总有,通常我们说的周期指的是最小正周期,.,周期函数,设函数 的定义域为 如果存在数,就称,,,为周期函数，,,称为 的周期,.,例如， 的最小正周期是,

8、,,,,,,,,例：狄利克雷函数,则任何非零有理数都是其周期，但没有最小正周期,.,,,,3.,反函数和复合函数,,反函数,设函数,是一一对应， 则其逆映,注：习惯上用,,表示为自变量，所以函数 的,射 为 的反函数,.,的反函数 仍表示为,,,,注：函数,,与它的反函数 的图形,关于 对称,.,,,,,复合函数,复合函数本质上是复合映射在函数上的推广,.,,当复合映射定义中的几个集合均为数集时，即

9、得到复合,函数的定义,.,4.,基本初等函数,,⑴,幂函数 （,是常数）,,,,,,,,,⑵,指数函数,,,,⑶,对数函数,,,,⑷,三角函数,①,正弦函数,,,,,,,,,②,余弦函数,,,,,,,,,,③,正切函数,,,,,,,,,,,④,余切函数,,,,,,,,,,,,,,③,正割函数,④,余割函数,,,,,,,,,,,,,⑸,反三角函数,①,反正弦函数,,,②,反余弦函数,,,,③,反正切函数,,,,,③,反余切函数,,5.,初等函数,,由常数函数及基本初等函数经有限次的四则运算和,有限次的复合运算所得到的函数称为初等函数,.,,6.,双曲函数,,最后再简单介绍在工程技术中经常用到的一类函数,⑴,双曲正弦函数,⑵,双曲余弦函数,——,双曲函数,.,,