常见的随机过程或随机模型

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1、,,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,,,,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,1,最常见的随机过程或随机模型,,,2,,Brown,运动或,Wiener,过程,,,二项过程,,Poission,过程,,白噪声过程,,自回归过程,,移动平均过程,,混合自回归移动平均过程,,利率期限结构或均值回复模型,,ARCH,类模型,主要内容,3,,1979,年,Cox,、,Ross,和,Rubinstein,利用二项过程提出了二叉树期权定价模型，用以构造股票价格运动过程

2、，进行股票期权定价分析。,,目前，二叉树模型已被广泛应用于金融资产定价领域，并为直观理解金融资产价格的复杂随机行为提供了最佳认识工具，为金融计算提供了可行的数值方法。,二项过程,4,二项分布是指随机变量满足概率分布,,,,,其中，,k=1,2, …,，,01),，要么以概率,q,下降到,dS(d<1),；时间为,t+2,,t,时有三种可能：,u2S,、,udS,、,d

3、2S,，以此类推，见树型结构,,,,,,uS,u S,2,s,dS,d S,2,p,duS,udS,图,3.1,股票价格的树型结构,1-p,p,1-p,1-p,p,6,显然，在,t +,,t,时刻，股票的期望价格为,,,E(St+,,t)=puS+(1-p)dS,，,,,在,t +2,,t,时刻，股票的期望价格为：,,,,,,,在,t + n,,t,时刻，股票的期望价格为：,,,,,，,,,7,引言：,,Brown,运动是用以描述连续时间下金融资产价格运动的，但金融资产价格并不都是随时间而连续变化的，有时会出现跳跃，,Poission,过程就是经常用以模拟跳跃的一类随机过程。,Pois

4、sion,过程,,8,计数过程：,,如果用,,t,表示,[0,t],内随机事件发生的总数，则随机过程,{,,t,},t≥0,称为计数过程，且满足：,,(a),,t,0,；,,(b),,t,是整数值；,,(c),对于任意两个时刻,0,,s

5、,=0,；对于任意的时刻,0,,s

6、知，,E,,t,=V,,t,=,,t,，即，所以,,表示单位时间内事件出现的平均次数，因而,,也常被称为发生率或强度。,定义,9,泊松过程,,,11,随机过程,{,,t,},t≥0,称为白噪声过程，若,E,,t,=0,，且,,,,,,,显然，白噪声过程一个平稳的纯粹随机过程，在金融研究中主要用于模型无法解释的波动。,,白噪声过程,,,,,12,按时间次序排列的随机过程,{,,t,}( t=1,，,2,，,…),称为时间序列。,,若时间序列是相互独立的，则说明事件后一刻的行为与前一刻毫无关系，即系统无记忆性。,,若情况相反，则前后时刻事件之间就有一定的依存性。其中最简单的关系就是

7、事件后一刻的行为只与前一刻的行为有关，而与其前一刻以前的行为无直接联系，即,ξ,t,主要与,,t -1,相关。从记忆的角度理解，是最短的记忆，即一期记忆，描述这种关系的模型称为一阶自回归过程，记为,AR,（,1,），即,,,t,=a,,t-1,+,,t,，,t=1,2, …,，,,,其中，,a,为常数，,,t,为白噪声过程，称为扰动项。当,|a|<1,时为平稳过程；,a=1,时称为随机游走过程；,|a|>1,为非平稳过程。,自回归过程,,,,,13,更一般地，,m,阶自回归过程,{,t,}( t=1,，,2,，,…),,记为,AR,（,m,）,,,满足：,,,,t,=a,1,,

8、t -1,+ a,2,,t -2,+…+a,m,,t -m,+,,t,,t=1,，,2,，,…,,,m,阶自回归过程具有,m,期记忆或者说,m,阶动态性。若滞后算子多项式,1a,1,z…-a,m,z,m,=0,的根在单位圆之外时，为平稳过程。否则，就是非平稳的。,,,,14,自回归过程表示在,t,时刻的事件,,t,,只与其以前的响应,,t -1,，,,t -2,，,…,，,,t -m,,有关，而与以前时刻的扰动无关。若时间序列,{,,t,},与其以前的冲击或扰动,,t -1,，,,t -2,，,…,，,,t -n,有关，而与以前时刻的响应无关，那就是,n,阶移动平均过

9、程，记为,MA(n),,即,,,,t,= b,0,+,,t,+b,1,,t -1,+ b,2,,t -2,+…+ b,n,,t –n,,,t=1,，,2,，,…,,当,|b,j,|<1,时，表示冲击在一段时间内会消失；,|b,j,|=1,表示冲击永远保持下去；,|b,j,|>1,表示冲击将放大，其中,i=1,，,2,，,…,n,。,移动平均过程,,,,,15,若时间序列,{,,t,},在,t,时刻，不仅与其以前的自身值有关，而且与以前时刻的冲击或扰动存在着一定的依存关系，则称为混合自回归,—,移动平均过程，其一般形式（记作,ARMA(m,，,n),）为,,,,t,=a,1,,t

10、 -1,+ a,2,,t -2,+…+ a,m,,t -m,+,,t,+b,1,,t -1,+,,b,2,,t -2,+…+ b,n,,,t –n,,混合自回归,—,移动平均过程,,,,16,在金融市场中，许多情况下的金融资产价格的变化，随着时间的推移常常趋于某个长期平均水平，称为均值回复现象，例如利率的变化就常常如此。具体的利率期限结构或均值回复模型定义为,,,,其中,λ>0,，,ε,服从标准正态分布。当股票价格,S,低于均值,μ,时，,μ-S,取正值，即,S,具有正的漂移率，,dS,将会变为正值。反之，当股票价格,S,高于均值,μ,时，,μ-S,取负值，即,S,具有负的漂移率，

11、,dS,将会变为负值。尽管变化过程中价格可能会偏离均值,μ,，但长期来看,S,都会向均值,μ,靠近。过程中偏离的程度由参数,λ>0,决定的。注意：资产价格表现出来的某种长期可预测性，与市场有效性的假定是不符合的。,利率期限结构或均值回复模型,,,,,,17,事实上，现实中的金融资产的收益变化和分布主要呈现出以下基本特征：,,金融资产的收益变化和分布表现出明显的非线性特点；,,与正态分布相比，金融资产的收益分布的尾部通常较厚，方差小的变量绝大多数集中在均值附近，而方差大的变量则多集中于分布的尾部；,,收益的波动性有时很大，有时却很小，而且有关波动性的冲击常常要持续一段时间才会消失，即同时呈现出集

12、聚性和持久性，这表明资产收益序列具有条件异方差的特性；,,金融资产收益呈现出明显的自相关性；,,金融市场尤其是股票市场，价格运动与波动性是常为负相关的，也就是负的回报要比正的回报导致更大的条件方差，即具有非对称的杠杆效应。,,ARCH,类模型,,,,,18,传统的随机过程和模型对金融资产收益的模拟和描述主要是线性的，不能很好处理上述特征，因而也常常无法准确估计和预测金融资产的收益及其波动性。,,,ARCH,类模型一般由条件均值方程和条件方差方程两个方程组成。但由于此类方程主要用于估计波动性和相关性，所以重点在条件方差方程，而条件均值方程常常比较简单,.,,,r,t,=μ+,,t,,,其中,μ,为由样本均值估计的无条件均值，扰动项,,t,表示非预期收益的平均偏差。扰动项,,t,常被假设为正态分布、,t,分布、混合正态分布和广义误差分布等，对应的模型就称为正态,GARCH,模型、,t,分布,GARCH,模型、混合正态分布,GARCH,模型和广义误差分布,GARCH,模型。,,,,,,