数学教学中要关注学生能力的培养111

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1、Click to edit Master text styles,,Second level,,Third level,,Fourth level,,Fifth level,,*,Click to edit Master title style,,,数学教学中要关注 学生能力的培养,,要让学生学会用数学的思维去思考数学问题,第一部分,2,,一、函数的思维方式,3,,,函数的本质特征是什么呢？它怎样来指导我们看待函数问题呢？,,,深刻体会函数思维的本质特征,.,,对函数概念的认识,4,,,我们研究函数，就是要了解函数在自变量的变化下，函数值的相应变化！,5,,研

2、究函数性质时，要掌握以下的思维和方法,,首先看看自变量是如何变化的，再看看它们对应的函数值之间有什么关系，用语言及图形把这个关系说清楚，并能用符号语言表示出来，或能够读懂符号语言,.,6,,函数就是解析式？,7,,,例,,看图说故事。 如图，设计两个不同问题情境，使情境中出现的一对变量，满足图示的函数关系。结合图象，讲出这对变量的变化过程的实际意义。,,,,8,数形结合的思想,8,,,[,说明,],,通过这个活动，激发学生自己思考并构造出满足特定关系的函数实例，以加深对函数概念的理解。 学生可以设计多种情境，比如，把这个图看成,“,小王跑步的,s-t,图,”,，可以说出下面的故

3、事：小王以常速度,400,米,/,分，跑了,5,分钟，在原地休息了,6,分钟，然后以常速度,500,米,/,分，跑回出发地。,9,9,,,[,说明,],,通过这个活动，激发学生自己思考并构造出满足特定关系的函数实例，以加深对函数概念的理解。 再比如：有一个容积为,2,升的开口空瓶子，小王以常速度,0.4,升,/,秒，向这个瓶子注水，灌了,5,秒后停水，等待,6,秒，然后以常速度,0.5,升,/,秒，倒空瓶中水。 老师可以鼓励学生，创设不同的符合函数关系和实际情况的情境。,10,10,,函数的思想,,例,,某书定价,8,元。如果一次购买,10,本以上，超过,10,本的部分打,8,

4、折。分析并表示购书数量与付款金额之间的函数关系。,,[,说明,],这是一个,分段函数,，函数的三种表示法均适用于这个例子。一般来说，,列表法,适用于变量取值是离散的情况；分段函数应当画图，并且关注分段点处函数的变化情况。可以分组讨论三种方法，然后让学生分析比较。,11,11,,,例,,小明的父母出去散步，从家走了,20,分钟到一个离家,900,米的报亭，母亲随即按原速返回。父亲在报亭看了,10,分钟报纸后，用,15,分钟返回家。下面的图形中哪一个表示父亲离家后的时间与距离之间的关系？哪一个图形是表示母亲的行走过程？,12,数形结合的思想,12,,二、数学教学要能够揭示数学概念的本质,,13,

5、,,数学课堂教学最重要的目标就是要启迪学生的智慧，让学生,理解数学问题的本质,.,只有通过我们的教学，学生会思考数学问题，学生的思维越来越有逻辑性，这才是我们进行教学的乐趣,.,,14,,,数学课堂是教给学生观念的，这样的数学课能够让学生感受到数学的快乐！这种快乐是思维的快乐，是逻辑的快乐！,,真正有意义的教学是观念性的教学,15,,,怎样上好一节有意义、能给学生带来观念转变的课呢？,,16,,,,,要上好一节课，特别是要上出自己的特色，教师对所教的学科，对教材、对知识结构一定要有自己的思考和理解,.,要能把你学习这段知识的感受讲出来,.,,,17,,,那么怎样才能讲出你的感受呢？,,这就需要

6、教师深入的研究所教授的内容,.,研究的越深，教师本人的感触就越深,.,我们要教给学生的、要学生看到的是，你是怎样学习的，你是怎样提出问题，思考问题，解决问题的，也就是你是怎样做学问的,.,18,,,因此，从这一角度说，要上好一节课，是需要下很大的工夫的，需要教师长期的积累，要对所教学科的每一门课程的特点，整体的知识的脉络、结构有着完整的把握,.,教师既要能以学生的角度去认识理解所教知识，感受学生可能遇到的问题；又要能站在较高的角度认识看待教材,.,19,,,就象我们常常教育学生那样：好的学习方法，关键是要动脑筋，勤思考一样，我们作为教师，不能把我们每天的上课看成是机械的、重复性的、简单的体力劳

7、动，而是要研究知识的内在规律，研究教学的内在规律，研究学生的学习规律,.,20,,,总之，图解知识的教学、表演型的教学，对学生的学习兴趣的培养是一种严重的损害；只有真实的教学，用知识的力量来征服学生的教学，才能真正激发学生的学习热情,,,才是学生需要的,.,21,,,教学研究,《,三角形,》------,,三角形的边,22,,教学目的：,,从边的角度认识和研究三角形,,23,,三角形的高、中线与角平分线,,24,,教学目的：,,从与三角形有关的线段的角度认识和研究三角形,.,25,,本节课可以提出探索性问题启发学生从三角形与其高线、中线和角平分线的位置关系的角度来理解问题,.,如：在三角形,B

8、C,边上的高的教学时，可以先从锐角三角形分析，此时，点,D,在线段,BC,上,.,然后问学生，对于任何△,ABC,来说，其边上的高都在其内部吗？或者这样问：三角形的高线、中线与角平分线与三角形的位置关系是怎么样的呢？,,26,,三角形的内角,,27,,,“,三角形的内角和等于,180,度,”,在学生小学阶段已经知道结论并加以验证的前提下，初中再讲这部分内容，教学的落脚点是什么呢？,,28,,证明,“,三角形的内角和等于,180,度,”,似乎成为教学的唯一目标，如何做出那条辅助平行线成为教学中要突破的唯一的难点,.,就象教材所安排的探究活动,“,在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下来拼合在一起

9、，就得到一个平角,.,从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗,”,那样，证明结论的急迫心情昭然若揭,.,29,,其实，上述探究中的,“,将它的内角剪下来拼合在一起,”,是如何想到的呢？小学学习的时候如果不讲，那么，到了初中，教师是不是要引导学生去思考呢？我们知道，,在课堂教学中，教师的任务不是教给学生一个又一个结论，而是要引导学生去理解问题、分析问题及解决问题,.,任何操作行为的背后都有思维活动，教师就是要让这种思维活动能在课堂教学中展示出来，并不断地引向深入,.,,30,,定理证明的引入除了从学生熟悉的验证方法展开外，也可以从平面几何内部知识的逻辑关系去思考,.,31,,三角形的外角,,32

10、,,研究方法：,,（,1,）从几何的图形入手，观察外角的几何特征：从定义看，是三角形的一边与另一边的延长线组成的角,.,由此可以分析出外角与其对应的内角之间的几何关系；,,（,2,）从数量关系进行进一步的分析：从外角与相对应的内角之间的互补关系及三角形内角和为定值，可以得出和外角有关的哪些数量关系,.,33,,在教学中可以提出一些问题，启发学生进行思考和探究：,,问题,1,：一个三角形有几个外角？,,问题,2,：三角形的外角与内角有什么关系呢？,,问题,3,：三角形的内角和是一个定值，那么，,,三个外角的和是不是也是确定的值,,呢？如何计算三角形的任意一个外,,角呢？,34,,,,用细胞分裂作

11、为情境，提出问题：一个细胞分裂,1,次变,2,个，分裂,2,次变,4,个，分裂,3,次变,8,个,……,那么，一个细胞没有分裂时呢？ 观察数轴上表示,2,的正整数次幂,16,、,8,、,4,、,2,，等等点的位置变化，可以发现什么规律？,,,,,,,,,35,零指数,35,,,再观察下列式子中指数、幂的变化，可以发现下面的规律,,,2,4,=16,,2,3,=8,,2,2,=4,,2,1,=2,,2,( ),=1,,,,这样，在学生感受,“,2,0,=1,”,的合理性的基础上，做出零指数幂意义的,“,规定,”,，即,ɑ,0,=1(,ɑ≠,0,),。,,,在规定的基础上，再次验证这个规定与

12、原有,“,幂的运算性质,”,是无矛盾的，原有的幂的运算性质可以扩展,到,零指数。例如，计算,,ɑ,5,÷,,ɑ,0,：,,,,运用幂的运算性质,ɑ,5,÷,,ɑ,0,,=,,ɑ,5-0,=,,ɑ,5,；,,,根据零指数幂意义的规定,ɑ,5,÷,,ɑ,0,,=,ɑ,5,÷,1,=,,ɑ,5,。,36,36,,,学生在学习,“,零指数,”,时将经历如下的过程： 面对挑战进行思考,——,提出,“,规定,”,的猜想,——,通过各种途径说明,“,规定,”,的合理性,——,做出,“,规定,”,——,验证这种,“,规定,”,与原有知识体系无矛盾,——,指数概念和性质得到扩展。 这样的过程较充

13、分地体现了数学自身发展的轨迹，有助于学生感悟指数概念是如何扩展的，他们借助学习,“,零指数,”,所获得的经验，可以进一步尝试对负整指数幂的意义做出合理的,“,规定,”,。这样的过程较充分地展示了,“,规定,”,的合理性，有助于发展学生的理性思维。,37,数学推理的思想,37,,抽样统计的思想,,设计调查方法。 了解本年级的同学是否喜欢某电视剧。调查的结果适用于学校的全体同学吗？适用于全地区的电视观众吗？如果不适用，应当如何改进调查方法？,[,说明,],对于许多问题，不可能、有时也不必要得到与问题有关的所有数据，只要得到一部分数据（样本）就可以对于总体的情况进行估计。很显然，如果得到的样

14、本能够客观地反映问题，则估计就会准确一些，否则估计就会差一些。因此，我们希望寻找一个好的抽取样本的方法，使得样本能够客观地反映问题。在本学段，主要学习简单随机抽样方法，这是收集数据中通用的方法，在一般情况下，我们都假定样本是通过随机的方法得到的。,38,38,,,因为同一个年级的学生差异不大，采用简单随机抽样方法比较合适。可以在上学时在学校门口随机问询，也可以按学号随机问询。为了分析方便可以把问题数字化，如喜欢这部电视剧的记为,1,，不喜欢的记为,0.,,,对于这样的问题，问询学生数不能少于,20,人，取,40-50,人比较合适，取更多的学生当然更好，但需要花费更多的精力。由此可见，一个好的抽

15、样方法不仅希望,“,精度高,”,，还希望,“,花费少,”,。,,假设问询的学生数记为,n,,记录数据的和为,m,，（显然，,m,为喜欢这部电视剧的人数），则调查结果说明，学生中,喜欢这部电视剧的比例为,m/n,。我们依此估计本年级的同学中喜欢这部电视剧的比例。,39,,,用这个数据估计全地区的电视观众喜欢这部电视剧的比例是不合适的，因为学生、成年人、老年人喜欢的电视剧往往不同。为了对全地区的电视观众喜欢这部电视剧的情况进行估计，可以采用分层抽样方法，比如依据年龄分层，需要知道各年龄段人口的比例，按照比例数分配样本数，而在各个层内则采取随机抽样；或者依据职业分层，等等。教师应该了解分层抽样，在本

16、学段学生只需学习简单随机抽样方法。,40,40,,41,,数学推理的思想,,探索并了解：过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等,[,说明,],通过探索和了解此结论的证明，帮助学生体验发现结论到验证结论的过程。 教学中可以参考安排如下的过程： （,1,）发现结论。,在透明纸上画出,如图,19 - 1,的图：设,PA,，,PB,,是⊙,O,的两条切线，,A,，,B,是切点。让学生操作：,沿直线,OP,将图形对折,，启发学生思考，或者组织学生交流。学生可以发现：,PA,,=,PB,，,,∠,APO,=,∠,BPO,。 这是通过实例发现图形性质,,的过程。启发学生由特殊到一般，

17、,,通过合情推理推测出切线长定理的,,结论。,42,42,,,2,）,证明结论的正确性,。如图,19 - 2,，,连接,OA,和,OB,。,因为,PA,和,PB,是,⊙,O,的切线,，,则,∠,PAO,=,∠,PBO,=90,º,,，,即,△,POA,,和,△,POB,均为直角三角形。又因为,OA,=,OB,和,OP,=,OP,,，,则,△,POA,与,,△,POB,,全等,。,于是有,,PA,,=,PB,，,,∠,APO,=,∠,BPO,。,这是通过演绎推理证明图形性质的过程。 由此可见，,合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式,，都是研究图形性质的有效工具。 上

18、述证明过程没有采用形式化的,,三段论，但有利于初学者把握证明的,,条理和说理的逻辑。,43,43,,,例,,直觉的误导。 有一张,8 cm,×,8 cm,的正方形的纸片，面积是,64 cm,2,。把这张纸片按图,25 - 1,所示剪开，把剪出的,4,个小块按图,25 - 2,所示重新拼合，这样就得到了一个长为,13cm,，宽为,5cm,的长方形，面积是,65 cm,2,。这是可能的吗？,44,44,,,[,说明,],这是一个直觉与逻辑不符的例子，希望学生通过学习体会到：对于数学的结论，完全凭借直觉判断是不行的，还需要通过演绎推理来验证。 一般来说，学生应当是不会相信图,25 -

19、2,中纸片的面积是,65 cm,2,，但又无法说明为什么观察的结果是错误的。进一步引导学生思考，如果观察是错误的，那么错误可能出在哪里呢？学生通过逻辑思考，可以推断只有一个可能：图,25 -2,中纸片所示图形不是长方形，因此不能用长方形的面积计算公式来计算面积。然后，可以引导学生实际测量图形左上角或者右下角，发现确实不像是直角。可以告诉学生，这个想法是正确的，但最好能够给出证明，引导学生经历一个由合情推理到演绎推理的过程。 在实际教学中可以引导学生先看图、再让学生分组将图剪开，动手操作发现矛盾（,64=65,？）。然后，尝试找出理由并尝试证明，最后表达收获。,45,45,,46,数学推

20、理的思想； 综合与实践,可以采用如下反证法的证明，在证明过程中加深对相似图形的理解,46,,三、课堂教学设计,47,,课堂教学设计是什么？,1.,课堂教学设计的通俗概念,,课堂教学设计是为了达成课堂教学目标，教师在课堂教学之前针对学生、针对教学内容，从教师个人的教学个性特点出发，预设的一种教学实施方案。,48,,课堂教学设计是什么？,2.,进行课堂教学设计前关注的几个问题,,（,1,）充分研读教材内容，能从数学本质上领悟教学内容。,,（,2,）充分研究学生学情，能从学生学习已有的知识水平、认知经验等方面预测学生学习中的难点，预测学生顺利掌握教学内容所经历的途径；能发现学生学习新知的最近

21、发展区，并合理运用最近发展区设计问题。,,49,,课堂教学设计是什么？,2.,进行课堂教学设计前关注的几个问题,,（,3,）准确制定教学目标,.,,课堂教学目标是教学应当达到的底线；课堂教学目标明确是教学设计思路清晰的前提；,,课堂教学目标制定要具体、可实施、可度量,.,,目标明确才能方向明确,.,,50,,课堂教学设计是什么？,2.,进行课堂教学设计前关注的几个问题,,（,4,）教师能从自身教学基本功和掌握教学方法与策略情况出发，选择教学策略设计教学环节，设计教学活动,.,51,,课堂教学设计是什么？,3.,设计过程中关注的因素,,（,1,）准确制定教学目标,.,影响教学目标制定的主要因素是

22、内容和学情,.,,（,2,）准确定位教学重点；准确预测教学难点,.,52,,课堂教学设计是什么？,教学难点主要产生于：,,内容的抽象性和学生思维的形象性特点之间的矛盾；,,内容的复杂性与学生思维的局限性之间的矛盾；,,知识的综合性与学生的知识面狭窄之间的矛盾；,,知识的不断深化与学生的思维定势之间的矛盾；,53,,课堂教学设计是什么？,3.,设计过程中关注的因素,,（,3,）从整个初中数学知识体系、方法体系看待本节课教学内容；从学生认知发展过程思考教学活动设计；能从学生能力发展角度看待本节教学内容所承载的任务,.,54,,课堂教学设计是什么？,3.,设计过程中关注的因素,,（,4,）用正确的教

23、育教学理念指导设计各个环节；思考各个环节为达成教学目标所起到的作用,.,,（,5,）设计教学过程呈现的策略和逻辑思路,.,55,,课堂教学设计是什么？,4.,课堂教学设计的评价,,课堂教学设计的优劣只有通过课堂教学实践才能得到检验，没有最好，只有更好；,56,,中学九年级上学期第,68,课,圆周角,57,,,圆心角定义：顶点在圆心的角叫圆心角,.,问题,1:,当角的顶点在圆心时,,,如,∠,AOB,这样的角,叫什么角？,,,A,B,O,58,,问题,2,：,当角的顶点运动到圆周时如,∠,ACB,这样的角叫什么角？,,是不是顶点在圆周上的角就是圆周角呢？,,,A,B,C,O,学生进行知识迁移时容

24、易出现的问题,59,,问题,3,：顶点在圆,周,上的角与圆的位置可能会出现的情况？,O,60,,,通过,观察,:,,角的两条边都不,与,圆相交；,,角,的,一条边与圆相交；,,角的两条边都,与,圆相交；,,,我们把第三类角称为圆周角,.,61,,,圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．,,,A,B,C,O,62,,判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？,,,,o,A,B,,,o,A,B,,,o,A,B,,,o,A,B,C,,,o,A,B,C,,,o,A,B,C,,,o,A,B,C,C,C,,,A,B,C,o,A,B,C,,,,概念辨析,63,,问题,4:,为什么圆心角的概念

25、中对角的两边没有要求呢？,,,凡是顶点在圆心的角，两边一定与圆相交而顶点在圆周上的角则不然,;,因此，学习圆周角的概念，一定注意,“,两边都与圆相交,”,这一条件,.,,如何提出问题也是需要教的,64,,,问题,5,：圆心角的度数等于它所对的弧的度数，而圆周角与圆心角都是与圆有关的角，那么圆,周,角和它所对的弧的度数有没有关系？如果有是什么关系呢,?,,·,B,O,A,C,·,A,B,O,C,65,,,当,AB,弧的度数分别是,180,o,、,90,o,时，图中的圆心角分别为,180,o,、,90,o,我们进一步观察，,AB,弧所对的圆周角,∠,A,CB,又分别是多少度？通过测量，我们得出这些

26、圆周角分别是,9,0,o,、,45,o,,.,66,,,问题,6,：通过特例，你发现了什么？大胆的猜想得出，,一条,弧所对的圆周角和圆心角之间有什么关系？,猜想是否正确，还有待证明,.,得出,猜想,:,,一条,弧所对的圆周角的度数等于,它所对的,圆心角度数的一半,.,,67,,命题：一条,弧所对的圆周角的度数等于,它所对的,圆心角度数的一半,.,,,已知：在,⊙,O,中，,A,C,弧,所对的圆周角是,∠,A,BC,,圆心角是,∠,A,OC,．,,求,证,:,.,68,,(1),当圆心,O,在,∠ABC,的一边,BC,上时,,,圆周角,∠,ABC,与圆心角,∠,AOC,的大小关系会怎样,?,∵

27、,∠AOC,是△,ABO,的外角,,,∴,∠AOC=∠B+∠A.,∵,OA=OB,,∴,∠A=∠B.,∴,∠AOC=2∠B,,即,,.,,●,O,B,C,A,69,,(2),当圆心,O,在圆周角,∠ABC,的内部时,,,圆周角,∠,ABC,与圆心角,∠,AOC,的大小关系会怎样,?,【,提示,】,能否转化为（,1,）的情况,?,过点,B,作直径,BD,.,由（,1,）可得,:,,●,O,A,B,C,D,∠ABD = ∠AOD,,,,∴,∠ABC = ∠AOC.,∠,CBD,=,∠COD,,,,●,O,B,C,A,,∴,∠ABD,+,∠DBC,,,,=,(,∠AOD+,∠,COD,)

28、,.,70,,,(3),当圆心,O,在圆周角,∠ABC,的外部时,,,圆周角,∠,ABC,与圆心角,∠,AOC,的大小关系会怎样,?,【,提示,】,能否也转化为（,1,）的情况,?,过点,B,作直径,BD,.,由（,1,）可得,:,D,B,,●,O,A,C,,●,O,B,C,A,∠CBD = ∠COD,,∠ABD = ∠AOD,,,∠ABC = ∠AOC.,,,∴,,∠ABD-,∠,DBC,,,=,(,∠AOD-,∠,COD,),.,71,,圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半,.,,●,O,B,C,A,B,,●,O,A,C,,●,O,A,B,C,72,,问题

29、串,问题,1:,当角的顶点在圆心时,,,如,∠,AOB,这样的角,叫什么角？,问题,2,：,当角的顶点运动到圆周时如,∠,ACB,这样的角叫什么角？,,是不是顶点在圆周上的角就是圆周角呢？,问题,3,：,顶点在圆,周,上的角与圆的位置可能会出现的情况？,问题,4:,为什么圆心角的概念中对角的两边没有要求呢？,73,,,问题,5,：,圆心角的度数等于它所对的弧的度数，而圆周角与圆心角都是与圆有关的角，那么圆,周,角和它所对的弧的度数有没有关系？如果有是什么关系呢,?,,问题,6,：,通过特例，你发现了什么？大胆的猜想得出，,一条,弧所对的圆周角和圆心角之间有什么关系？,74,,学以致用,1.,如

30、图,,,在,⊙,O,中,,,∠,ABC,=50°,，,,,则,∠,AOC,等于,,,.,100°,,A,C,B,O,75,,学以致用,2.,如图，在,⊙,O,中,，∠,AOB,=70°,，,,,则,∠,ACB,等于,,.,35°,B,A,O,,.,C,76,,学以致用,3.,如图,，,在,⊙,O,中,，∠,BCD,=120°,，,,,则,∠,AOB,等于,,.,120°,A,O,,.,120°,A,O,,.,,C,,D,,B,77,,学以致用,4,.,在,⊙O,中,，,∠,CBD,=30°，,,∠,BDC,=20°，则∠,A,等于,,.,50°,,,A,B,D,C,O,40°,60°,78,,

31、学以致用,,,O,A,B,C,5.,如图，,A,，,B,是,⊙,O,上的两点，,∠,AOB,=70,°,,，,C,是,⊙,O,,上不与点,A,，,,B,重合的任一点，则,∠,ACB,等于,,.,,,O,A,B,C,35°,或,145°,79,,,6.,如图，,OA,，,OB,，,OC,都是,⊙,O,的半径，,,∠,AOB=2∠ BOC,，,∠,,ACB,与,∠,,BAC,的大小有什么关系？为什么？,解：,∠,ACB=,2,∠BAC.,理由是,:,,∵,∠AOB=,2,∠ACB,,,∠BOC=,2,∠BAC,,,∠AOB=,2,∠BOC,,,∴2,∠ACB =,2,（,2,∠BAC,）,.,,∴

32、,∠,ACB=,2,∠BAC.,,A,B,C,O,80,,知识上：学习了圆周角的概念和定理；,,方法上：回顾本节课中体现的转化、特殊与一般和分类讨论的思想方法，以及探究问题的方法（观察、试验、归纳、猜想、证明），体会到数学知识的简单应用．,,,这节课我们的收获,81,,本节课的主线,由问题引入回顾圆心角定义,由问题深入引出圆周角的问题,概括出圆周角的定义,“,精细,”,概念,,对概念进行辨析,概念教学部分的处理方法,82,,本节课的主线,由问题引出圆周角的度量,类比圆心角猜想出圆周角定理,给出圆周角定理的证明,定理的应用,,将圆周角定理纳入知识系统中,定理教学部分的处理方法,83,,教学设计,

33、1.,教学目标是底线,.,,2.,教学重点和教学难点不能随意说,.,,3.,教学方法策略要选择,,4.,教学过程设计不是越新颖越好,,5.,教学设计要明确几条,“,线,”,,5.,数学教学设计的,“,根,-,味,-,魄,”,,84,,让教学设计植根于数学学科知识的本质才能实现,有根；,,让教学设计立足于领悟和掌握学科思想才能实现,有味；,,让教学设计向着努力培养具有数学素养的人才能实现,有魄,.,,教学设计,85,,课题名称：平均数,,怎样写教学设计,86,,教学背景分析,,（一）本课时教学内容的功能和地位,,本节课是,《,数据的分析,》,中,《,数据的代表,》,第一课时．数据分析是统计的重要

34、环节，平均数是衡量一组数据的重要统计量，它反映了一组数据的平均水平，当一组数据中各个数据重要程度不同时，加权平均数能更好地反映对某些数据的侧重．本节内容是小学学过的平均数的深化，是学习方差的基础，它也将为高中概率的学习作铺垫，起到了承前启后的作用．,87,,教学背景分析,,,（二）学生情况分析,,学生在小学已经掌握了算术平均数的计算方法，有了初步的数据分析观念． 由于生活经验的局限，同时受认知水平的影响，学生对权的意义和作用的理解可能会有困难，对于归纳加权平均数的公式也存在困难．同时，算术平均数学习经验对加权平均数学习也有一定的负迁移．,88,,教学背景分析,,（三）教学准备,,多媒体课件,8

35、9,,教学目标,知识技能：,会计算加权平均数，理解权的意义．,,数学思考：,通过对加权平均数的学习，体会统计的思想方法，发展数据分析观念．,,问题解决：,会利用加权平均数解决简单实际问题，增强应用意识．,,情感态度：,通过加权平均数的学习，进一步认识数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的热情．,,90,,教学重点和难点分析,,（一）教学重点：掌握加权平均数的计算方法．,,（二）教学难点：理解权及加权平均数的意义．,91,,92,,93,,教学,,环节,教师活动,学生活动,设计意图,二、,,归纳,,概括，形成,,概念,讨论：学生会干部,A,提出，应该招一名口语能力较强的主持人．,,按照这个

36、要求，用算术平均数解决这个问题合理吗？如果不合理，你有什么建议？,,,问题,2,如果听、说、读、写成绩按照,3︰3︰2︰2,的比确定，应该录取谁？这个比说明在计算中比较侧重哪些成绩？,,,讨论：学生会干部,B,提出，应该招一名笔译能力较强的主持人．按照这个要求应该侧重哪些分项成绩？,,,问题,3,如果听、说、读、写成绩按照,2︰1︰3︰4,的比确定两人的测试成绩，那么谁将被录取？,,教师提出权的概念，引导学生对算式进行变形．,,,追问 回顾问题,2,与问题,3,，请你说说权重对计算结果有什么影响？,学生讨论各种解决方案．,,,,,,学生利用已学过的按比分配的方法解决问题．,,,,学生交流讨论

37、．,,,,,学生仿照解决问题,2,的方法计算并解决问题．,,,,,学生讨论并体会权重对计算结果的影响．,引导学生从生活经验入手分析，明白各个数据具有不同的“重要程度”，体验权的产生是自然的、必须的．,,,让学生自主研究怎样将数据连同其“重要程度”一起纳入平均数的计算，获得解决问题的方案．,,进一步体验权重对结果的影响．,,,,继续举例说明，熟悉计算方法，为归纳公式作铺垫．,,,,,体会权的作用．,94,,，,，,，,，,，,95,,96,,97,,教学,,环节,教师活动,学生活动,设计意图,五、,,小结反思，课后延伸,（二）课后延伸,,必做题：,,P139,练习,1,，,P141,练习,1,．

38、,,课后思考：,,将学生代表打的平均分换算成百分制，则甲、乙的得分分别为,78,分和,80,分，如果按这个成绩占,40%,，甲和乙的听、说、读、写四项成绩分别占,15%,的比例，计算选手的综合成绩（百分制）． 谁将被录取？,学生课后完成．,将学习延伸到课后，继续以“体会权的意义和不同表现形式”为目标，提高学生独立分析问题、解决问题的能力．,,98,,99,,数据的代表,平均数,100,,教学过程设计,,形成概念,,,归纳概括,,引入课题,,创设情境,,理解新知,,,比较辨别,,,,课后延伸,,,小结反思,一,二,,三,四,五,,,应用新知,,,展开活动,归纳概括,,形成概念,,创设情境,,引入

39、课题,,一,二,101,,,学校英文广播电台打算招聘一名,,主持人，对甲、乙两名候选人进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们各项的成绩（百分制）如下：,探究活动,应试者,听,说,读,写,甲,85,78,84,73,乙,73,80,82,83,102,,问题,1,,综合考虑四项成绩，你认为该录用谁？录用依据是什么？,应试者,听,说,读,写,甲,85,78,84,73,乙,73,80,82,83,答：因为甲的平均成绩比乙高，所以应该录取甲,.,解：,103,,,日常生活中，我们常用,平均数,表示一组数据的,“,平均水平,”,.,,,一般地，对于,n,个数,x,1,，,x,2,，,…,，,x,n,

40、，我们把,,叫做这,n,个数的,算术平均数,，简称,平均数,.,104,,学生会干部,A,提出，,应该招一个,口语,能力较强的主持人,.,按照这个要求，用算术平均数解决这个问题合理吗？,应试者,听,说,读,写,甲,85,78,84,73,乙,73,80,82,83,105,,应试者,听,说,读,写,甲,85,78,84,73,乙,73,80,82,83,问题,2,,如果听、说、读、写成绩按照,,3︰3︰2︰2,的比确定，应该录取谁？,106,,应试者,听,说,读,写,甲,85,78,84,73,乙,73,80,82,83,问题,2,,如果听、说、读、写成绩按照,,3︰3︰2︰2,的比确定，应该

41、录取谁？,乙：,因为甲的综合成绩比乙高，所以应该录取甲,.,甲：,107,,学生会干部,B,提出，,应该招一名,笔译,能力较强的主持人,.,按照这个要求应该侧重哪些分项成绩？,应试者,听,说,读,写,甲,85,78,84,73,乙,73,80,82,83,108,,应试者,听,说,读,写,甲,85,78,84,73,乙,73,80,82,83,问题,3,,如果听、说、读、写成绩按照,,2︰1︰3︰4,的比确定，谁将被录取？,109,,应试者,听,说,读,写,甲,85,78,84,73,乙,73,80,82,83,问题,3,,如果听、说、读、写成绩按照,,2︰1︰3︰4,的比确定，谁将被录取？,

42、甲：,乙：,因为乙的综合成绩比甲高，所以应该录取乙,.,110,,甲,乙,数据,85,78,84,73,权,,,,,权,,,,,数据,73,80,82,83,权,,,,,权,,,,,3,3,2,2,80.3,1,2,4,3,78.9,3,3,2,2,79.2,1,2,4,3,80.4,111,,问题,4,如果听、说、读、写四项成绩分别是 ， ， ， ，它们的,权,,分别是 ， ， ， ，如何计算综合成绩？,112,,若 呢？,问题,5,如何将这种计算加权平均数的方法推广到,n,个数据的情形,?,1

43、13,,若,n,个数,的权分别是,，则：,叫做这,n,个数的,加权平均数,.,114,,第二部分,,探究式教学和学习,115,,案例 中点四边形,探究式教学和学习,外围四边形,引入：如图，判断四边形的形状,给出中点四边形的概念,116,,案例 中点四边形,探究式教学和学习,画出下图中的中点四边形,117,,案例,,中点四边形,教师提问：中点四边形的形状由什么决定？,,学生甲回答：,由外围四边形决定,,学生乙回答：,由面积决定,,学生丙回答：,全等三角形的位置不同,,,实质：由外围四边形的对角线决定,探究式教学和学习,118,,迷茫的探究：,垂线段最短性质探究,教师带领学生画图，由此归纳出性质,

44、,先画一条直线,,在直线外画一点,A,,过这点作直线的垂线,,标出垂足,H,,量一量线段,AH,的长度,,在直线上任取一点,B,,量一量线段,AB,的长度,,比较,AB,与,AH,的大小,A,H,B,119,,迷茫的探究：,垂线段最短性质探究,教师带领学生画图，由此归纳出性质,,先画一条直线,,在直线外画一点,A,,过这点作直线的垂线,,标出垂足,H,,量一量线段,AH,的长度,,在直线上任取一点,B,,量一量线段,AB,的长度,,比较,AB,与,AH,的大小,思考：,,1.,学生明白自己在做什么吗？,,2.,学生的思考空间有多大？,120,,迷茫的探究：,垂线段最短性质探究,改进建议：,,先

45、展示问题背景,,问题应体现学习的必要性,,学生在解决问题中思考、探究,121,,垂线段最短性质探究,教材中的思考与探究,,,回归自然,P,122,,案例,,三角形内角和,探究式教学和学习,123,,案例,,三角形内角和,探究式教学和学习,124,,案例,,三角形内角和,探究式教学和学习,125,,案例,,多边形内角和,多边形的内角和,,首先复习三角形的内角和（引入开门见山）,,问：多边形是几边形？你会求几边形的内角和？,,探究：学生动手画，在求的过程中互相交流，学生参与教学，,,从四边形开始研究，有的学生用量角器量，有的学生提出了不同的方案。,探究式教学和学习,126,,案例,,多边形内角和,

46、探究式教学和学习,127,,案例,,多边形内角和,探究式教学和学习,2×180°,3×180°- 180°,4×180°- 360°,3×180°- 180°,128,,案例,,多边形内角和,探究式教学和学习,129,,案例,,多边形内角和,学生画出来了，算式也列出来了,,四边形内角和是,360,度，五边形内角和是,540,度，六边形内角和是,720,度，,100,边形怎么计算，要求学生归纳出公式。你会求,n,边形的内角和吗？,,探究式教学和学习,130,,案例,,多边形内角和,归纳：,,（,n-2,）,×180°,,（,n-1,）,×180°- 180°,,n×180°-360°,探究式教学

47、和学习,公式,（,n-2,）,×180°,131,,三角形全等条件的探究,132,,三角形全等条件的探究,提出问题：,满足什么条件两个三角形才能全等呢？,,,根据定义：,两个三角形能够,“,完全重合,”,,,制订方案：,每人在练习本上任意画一个三角形,ABC,，然后画一个和它全等的三角形。,,,实验猜想：,学生动手画，并鼓励他们用不同的方法。,133,,方法,①,,我们认为最容易的方法就是把这个三角形剪下来，放在纸上比着就能画一个和它全等的三角形。,134,,方法,②,,我们的第二种方法是用直尺量出,AB,，,AC,的长度，延长,BA,，,CA,使得,AE=AB,，,AF=AC,，再连结,EF

48、,，那么,△,AEF,与,△,ABC,全等（如图,1,）。,135,,方法,③,第三种方法：量出,BC,，,AB,的长度，再量出,∠,B,的度数，画出一条线段,MN,，使,MN=BC,，然后再作,∠,M=∠B,，并在,∠,M,的另一边上截取,DM=AB,，连结,DN,，则,△,DMN,也与,△,ABC,全等（如图,2,）。,,,136,,方法,④,我们的方法是：先做,△,ABC,的高,AD,，量出,BC,，,BD,，,AD,的长度，作线段,B,’,C,’,=BC,,,并在,B,’,C,’,上截取,B,’,D,’,=BD,,过,D,’,作,B,’,C,’,的垂线，在垂线上截取,A,’,D,’,=

49、AD,,，最后连结,A,’,C,’,，△,A,’,B,’,C,’,与,△,ABC,全等（如图,3,）。,137,,方法,⑤,,我们的方法是：过,A,点作,BC,的平行线，再过,C,点作,AB,的平行线，两线交于点,H,，,△,AHC,与,△,ABC,也是全等的（如图,4,）,138,,方法,⑥,我们的方法与前面有点类似，也过,A,作,BC,的平行线，在平行线上截取,AG=BC,，再连结,GC,，我们认为,△,AGC,与,△,ABC,是全等的（如图,5,）,139,,方法,⑦,,另外还有一种方法：可以先量出∠,B,，∠,C,的度数，同时也量出,BC,的长度，先作一个,∠,O =∠B,，并在,∠,

50、O,的一边上截取,OP=BC,，在点,P,处画一个角等于,∠,C,，与,∠,O,的另一边交于,Q,点，,△,OPQ,与,△,ABC,也应该是全等的（如图,6,）,,140,,得出猜想,七种方法有六种可以从边角关系判定,141,,验证或证明猜想的正确性,目前教材的公理系统中，许多都作为公理给出，对这些猜想不用推理证明，但需要验证。,,验证方法：把所画的三角形剪下来，看看是否能与原三角形重合。以上画法只要准确画图都没有问题。,,作为定理出现的必须给予严格的证明。,142,,优选方法,,需要两个三角形有特殊的位置关系,,,,需要添加辅助线,,,,直接从三角形的边角出发,√,,143,,三种语言表述,

51、三种语言表示,SAS,，,ASA,公理，证明得到,AAS,定理,,144,,应用公理证明其他方法正确,作为例题，其他方法都可以划归为,SAS,和,ASA,，,,证明其正确性。,,145,,完善知识系统,既然直接从三角形的边和角出发判断最好，上面没有涉及到的边边边情况行不行呢？,,作图，验证，得出结论（,SSS,公理）,146,,课下探究,,“边边角” 能不能判断三角形全等？,147,,案例,,平行四边形的判定,,探究式教学和学习,平行四边形是一种应用十分广泛的图形，尤其是特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形）在实际问题中比比皆是，因此，学好平行四边形的性质和判定，对研究特殊四边形起着奠基作用。

52、,,在培养学生的逻辑推理能力方面，经过平行线，全等三角形部分的系统训练，已打好了坚实的基础，通过平行四边形部分的教学，使学生的逻辑推理能力得到巩固和提升，从而为后续知识相似形的研究做好了铺垫。,148,,案例,,平行四边形的判定,,探究式教学和学习,在平行四边形部分，没有增加多少新的内容和推理方法，它是在定义基础上已学过的方法的应用，因此，本节内容为学生的自主学习创造了难得的机会，也为教师进行教学方法的创新提供了机遇。,,根据平行四边形的知识层面和推理特点，在研究平行四边形的判定这一节的教学中如何进行教学设计呢？,149,,案例,,平行四边形的判定,,探究式教学和学习,分几个层次安排教学,:,

53、,基础怎样落实,,关注定理的发现过程,,规范定理的证明过程,,新定理纳入到原有知识体系中,,150,,案例,,平行四边形的判定,,落实基础,探究式教学和学习,151,,关注定理的发现过程,案例,,平行四边形的判定,,探究式教学和学习,在教学中，只重结论、忽视过程的做法是很不可取的，被动的接受不仅不利于学生数学思维的发展，也不利于基础知识的掌握。教师首先应该关注定理发现的过程。,合情推理能力,152,,探究活动,案例,,平行四边形的判定,,探究式教学和学习,用两长两短,4,根木条和,4,个图钉作材料，使等长的木条作为对边，用图钉连接，做成四边形。,,转动这个四边形，使它的形状改变，在图形变化的过

54、程中，观察图形有什么特点？,153,,探究活动,案例,,平行四边形的判定,,探究式教学和学习,用两根木条、图钉和,4,根橡皮筋作材料，将两根木条的中点重合，用图钉固定在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成四边形。,,转动两根木条，观察，四边形有什么特征？,154,,探究活动,案例,,平行四边形的判定,,探究式教学和学习,取,4,根木条，其中两根长度相等，将等长木条平行放置，再用另两根木条加固，成为四边形。,,转动这个四边形，有什么发现？,,155,,探究活动,案例,,平行四边形的判定,,探究式教学和学习,这个活动设计包含有两层抽象，一是从实物和操作中抽象出数学图形元素和元素间的关系，二是对制作完

55、成的四边形进行运动变化，丰富归纳概括的基础，为猜想做准备。,156,,规范定理的证明过程,案例,,平行四边形的判定,,探究式教学和学习,推理论证能力,157,,案例,,平行四边形的判定,,探究式教学和学习,规范证明过程并不是说要在课堂上对所有判定定理逐一进行证明，而是只要向学生示范一个文字命题如何经过具体化、符号化，经过逻辑证明，上升为定理,,,这样一个严谨的过程。,158,,将新定理融入体系中 解决问题能力,案例,,平行四边形的判定,,探究式教学和学习,159,,案例,,平行四边形的判定,,探究式教学和学习,值得注意的是，在教学实践中，很多老师不是让学生自主地梳理知识，而是将完美的知识

56、体系表直接赠送给学生，学生对教师的依赖总是难于摆脱，没有机会体验自己将知识串成线、织成网的过程，提炼概括的水平总是难于提高，而事实证明，这种水平与学生的学业成绩有着高度的相关性。教师要教知识、教知识之间的联系，更要教给学生获得知识、组织知识的方法，学法的指导应该渗透在日常的课堂教学之中。,160,,关注性质定理和判定定理的区别与联系,,案例,,平行四边形的判定,,探究式教学和学习,161,,案例,,平行四边形的判定,,探究式教学和学习,四边形是初中图形认识的重要对象之一，本节课平行四边形的判定是定理学习的一个代表，无论是定理本身还是定理学习的方法都对后继的学习有着重要的基础性作用,162,,解

57、决好三方面问题,,案例,,平行四边形的判定,,探究式教学和学习,163,,弧长与扇形面积公式,164,,弧长与扇形面积公式,,教材呈现（演绎思维）,165,,弧长与扇形面积公式,特殊到一般（归纳思维）,166,,问题的探究,167,,探究式教学和学习,折叠正五边形,背景,,,在某大学的一次报告会上，一位德国教授随手拿起一张,A4,纸，他说,:,“,我们用这样的方法（图,1,～图,3,）就折叠出了一个正五边形,”,。,168,,图,1,图,3,图,2,探究式教学和学习,169,,（一 ）提出质疑产生问题,,问题,1,,这个五边形是正五边形吗？,,探究式教学和学习,170,,探究,1,：动手实践回

58、答问题,用直尺去量五边形的边，发现图中,DM,和,MN,两条边并不相等,,用量角器度量五边形的内角角度，发现,∠,ADC,’,不是,108,°,,,结论,：用上述方法折叠出的,,不是正五边形．,探究式教学和学习,171,,继续提出问题,问题,2,,什么样的纸才能用这种方法折叠出正五边形？,探究式教学和学习,172,,（二）研究问题提出猜想探究,2,：寻找条件,∠,ADC,’,≠108,°,，,这个五边形就不可能是正五边形．,,∠,ADC,’,=108,°,，,这个五边形就有可能是正五边形．,,只有在,∠,ADC,’,=108,°,这个前提下，这个五边形才,,有可能是正五边形．,,,,猜想,1

59、,：,,,,当,∠,ADC,’,=108,°,时，这个五边形是正五边形．,探究式教学和学习,173,,继续探究进一步猜想,怎么才能保证,∠,ADC,’,=108,°,呢？,,猜想,2,：,用宽与长的比,=,tg,36,°,的长方形纸，可以保证,∠,ADC,’,=108,°,．,,36°,54°,探究式教学和学习,174,,明确阶段探究结果提出探究假设（猜想）,,用宽与长的比,=,tg,36,°,的长方形纸，按图,1,—,图,3,的方法，可以折叠出正五边形。,探究式教学和学习,175,,（三）说明猜想的正确性,利用已有的知识进行推理证明,,,,（或者举出反例说明猜想错误）,探究式教学和学习,1

60、76,,探究,3,：试证五个内角都相等,方法,1,,在,Rt△DMG,中（折叠）,,,,∠2=90,°,－,54,°,=36,°,，,,∠,3=,（,180,°,-∠2,）,/2=72,°,（折叠），,,所以,∠,DRQ=∠DMN=∠2+∠3= 108,°,．,,又由五边形内角和,=3,×,180,°,，,,得到,∠,RQN=,∠,MNQ=,(,3,×,180,°,－,3,×,108,°,),=108,°,．,,∴,五个内角都相等．,图,5,探究式教学和学习,177,,方法,2,,连结,BN,，∠,MNQ,是,R,t,△NBH,的外角，,MB,是∠,ABD,的平分线，,,所以，,∠,MNQ=∠

61、NBH+∠BHN=18°+90°=108°,图,6,探究,3,：试证五个内角都相等,探究式教学和学习,178,,探究,4,：试证五条边都相等,证明,DM=MN,,连结,DN,，,如图,7,．,,由折叠可知,ND=NB,，,,所以，,,∠,DNM=2∠DBN=2,×,18,°,=36,°,．,,∠,MDN=∠MDB-∠NDB,,=54,°,-18,°,=36,°,，,,,所以，,DM=MN,．,图,7,探究式教学和学习,179,,探究,4,：证明五条边都相等,证明,,DM=2NH,,过,D,作,HN,的平行线交,BM,的延长线与,P,，,又由于,H,是,BD,中点，,,所以,DP=2NH,．,,

62、∠,P=90,°,-18,°,=72,°,，,,∠,DMP=180,°,-108,°,=72,°,，,,所以,DP=DM,，故,DM=2,NH,．,图,8,P,结论：五条边都相等,探究式教学和学习,180,,探究,4,：证明五条边都相等,图,9,证明,探究式教学和学习,181,,结论,用宽与长的比,=,tg,36,°,的长方形纸，按图,1,—,图,3,的方法，可以折叠出正五边形。,,36°,54°,探究式教学和学习,182,,（四）制定方案、解决问题,问题,,怎样改造,A4,纸使之符合我们的要求？,探究式教学和学习,183,,探究,5,：改造,A4,纸,A4,纸的长宽分别是,21,cm,和,2

63、9,.7cm,，,,tanα=21/29.7≈0.71,，,,tan36,°,≈,0,．,73,，,,y=,tanx,是增函数,，,,,所以,α,＜,36,°,．,,图,10,探究式教学和学习,184,,探究,5,：改造,A4,纸,设∠,EBF=36,°,，,,则,= tan36,°,，,,DE≈0,．,8 cm,．,,结论：,把,A4,纸的长,裁掉,约,0,．,8 cm,，,,就,可以按图,1,～图,3,的方法折叠出正五边形．,,图,10,探究式教学和学习,185,,,（五）回顾反思、总结延伸,,以上探究经历了发现问题、提出问题、研究问题和给出解决问题方案的四个过程，这也是应用数学知识解决实

64、际问题的重要的四个步骤，我们还要积极观察身边的事物，学会自己发现问题．,探究式教学和学习,186,,（五）回顾反思、总结延伸,在研究问题的过程中，我们进一步认识了正五边形，综合运用了平面几何和三角函数的知识，体验了在解决实际问题的过程中，数学知识、方法和现代技术的重要作用．,探究式教学和学习,187,,（五）回顾反思、总结延伸,tan36°,的精确值是,．,,,,进一步思考,：,,怎样改造任意一张长方形的纸，使它可以用图,1,～图,3,的方法折叠出正五边形？,探究式教学和学习,188,,（五）回顾反思、总结延伸,tan36°,的精确值是,．,探究式教学和学习,189,,要求教师：要选好探究的内

65、容；设计好探究的问题；对学生可能出现的问题要有预见；要能处理突发事件；要总结提炼研究问题的策略，提高学生的思维能力。,,探究课：,探究式教学和学习,190,,为什么要开展探究学习,探究学习是一种主动学习的学习方式,,许多情况下，学生的学习与科学家的发现过程类似，而科学的发现过程需要探究,,探究学习的形式符合学生学习科学知识的规律,,自主探究能够极大地开发人的潜能用于学习,,学习的内驱力是很重要的,191,,数学探究学习的类型,课上探究,,课下探究,,,课本问题探究,,实际问题探究,,,微型探究,,系列探究,,知识探究,,方法探究,,,规范内容探究,,拓展内容探究,,,探究,——,发现,根据不同

66、分类标准得出不同类型,192,,数学探究学习的特征,提出问题,,观察实验（合情推理）,,形成猜想（研究假设）,,推理论证（演绎推理）,,表达交流,,探究活动,193,,问题的提出,“问题”适宜探究，具有探究价值．,,“问题”表述清楚，易于理解．,,“问题”有思考空间，整体提出任务．,,问题的提出方式,,从数学知识系统中提出问题,,从生产生活实际中提出问题,,从其他背景中提出问题,,注意,,背景在探究过程中的作用,194,,数学探究的基本方法,探究的类型,,,概念的探究,,公式、定理、法则的探究,,解题思路的探究,,实际问题的探究,探究的方法,,,抽象与概括,,猜想与证明,,,分析与综合,,建立数学模型,195,,表达交流,表达交流对深化认知的作用,,表达交流可以推动探究进程,,合作对探究活动的影响,,,探究成果的表达,,得出结论,196,,不适宜于探究的内容举例,概念名称，如,“,有理数,”“,无理数,”“,补角,”,,,,“,余角等；,,定义，代数式、两条直线平行的定义等；,,数学符号，如判别式,Δ,，全等≌，相似∽；,,某些复杂的定理，如勾股定理，只要理解,,意义，会证明，能应用；