数据的概括性度量.

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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,,,,*,,STAT,第 3章 数据的概括性度量,3.1 集中趋势的度量,,3.2 离散程度的度量,,3.3 偏态与峰态的度量,学 习 目 标,1.,集中趋势各测度值的计算方法,,2.,集中趋势各测度值的特点及应用场合,,3.,离散程度各测度值的计算方法,,4.,离散程度各测度值的特点及应用场合,,偏态与峰态的测度方法,,用,Excel,计算描述统计量并进行分析,数据分布的特征,集中

2、趋势,,,(位置),偏态和峰态,,（形状）,离中趋势,,,(分散程度),数据分布特征的测度,数据特征的测度,分布的形状,集中趋势,离散程度,众 数,中位数,均 值,离散系数,方差和标准差,峰 态,四分位差,异众比率,偏 态,集中趋势,(central tendency),一,组数据,向其中心值靠拢,的倾向和程度,,测度集中趋势就是寻找数据水平的,代表值或中心值,,不同类型的数据用不同的集中趋势测度值,,低层次数据的测度值适用于高层次的测量数据，但高层次数据的测度值并不适用于低层次的测量数据,,测度值的选用取决于所掌握的数据的类型,3.1 集中趋势的测度,3.1 集中趋势的测度

3、,一. 分类数据：,众数,,二. 顺序数据：,中位数,和,分位数,,三. 数值型数据：,均值,,四. 众数、中位数和均值的比较,一. 分类数据：,众数,(,mode,),集中趋势的测度值之一,,出现次数最多,的,变量值,,不受极端值的影响,,可能,没有众数,或有,几个众数,,主要用于分类数据，也可用于顺序数据和数值型数据,众数,(不唯一性),无众数,,原始数据: 10 5 9 12 6 8,一个众数,,原始数据: 6 5 9 8 5 5,多于一个众数,,原始数据: 25 28 28 36 42 42,分类数

4、据的众数(例题分析),某城市居民关注广告类型的频数分布,,,,广告类型,人数,,(人),比例,频率(%),商品广告,,服务广告,,金融广告,,房地产广告,,招生招聘广告,,其他广告,112,,51,,9,,16,,10,,2,0.560,,0.255,,0.045,,0.080,,0.050,,0.010,56.0,,25.5,,4.5,,8.0,,5.0,,1.0,合计,200,1,100,解：这里的变量为“广告类型”，这是个分类变量，不同类型的广告就是变量值,,在所调查的,200,人当中，关注商品广告的人数最多，为,112,人，占总被调查人数的,56%,，因此众数为“商品广告”这一类别，即

5、,,,M,o,＝商品广告,顺序数据的众数,(例题分析),解：这里的数据为顺序数据。变量为“回答类别”,,甲城市中对住房表示不满意的户数最多，为,108,户，因此众数为“不满意”这一类别，即,,M,o,＝不满意,,甲城市家庭对住房状况评价的频数分布,,,回答类别,甲城市,,,户数 (户),百分比 (%),,非常不满意,,,不满意,,,一般,,,满意,,,非常满意,24,,108,,93,,45,,30,8,,36,,31,,15,,10,合计,300,100.0,顺序数据：中位数和分位数,,中位数,(,median,),集中趋势的测度值之一,,排序后处于中间位置上的值,M,e,50%,50%

6、,不受极端值的影响,,主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能用于分类数据,,各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即,中位数,(位置的确定),未分组数值型数据：,顺序数据：,未分组数据的中位数,,(计算公式),顺序数据的中位数,解：中位数的位置为 300/2＝150,,从累计频数看，中位数在“一般”这一组别中。因此,,,M,e,=一般,甲城市家庭对住房状况评价的频数分布,,,回答类别,甲城市,,,户数 (户),累计频数,,非常不满意,,,不满意,,,一般,,,满意,,,非常满意,24,,108,,93,,45,,30,24,,132,,225,,270,,300,合计

7、,300,—,数值型未分组数据的中位数,(9个数据的算例),【例】：,9个家庭的人均月收入数据,,原始数据:,1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630,,排序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000,,位置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9,中位数,,1080,,数值型未分组数据的中位数,(10个数据的算例),【例】：10个家庭的人均月收入数据,,原始数据: 1500 750 780 660 10

8、80 850 960 2000 1250 1630,,排 序: 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000,,位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,,四分位数,(quartile),1. 集中趋势的测度值之一,,2. 排序后处于25%和75%位置上的值,,3.,,不受极端值的影响,,4. 主要用于顺序数据，也可用于数值型数据，但不能用于分类数据,Q,L,Q,M,Q,U,25%,25%,25%,25%,四分位数,(位置

9、的确定),未分组数据：,顺序数据的四分位数,,(例题分析),解：,Q,L,位置,=,(300)/4,=,75,,Q,U,位置,=,(3×300)/4,,,=,225,,从累计频数看，,Q,L,在“不满意”这一组别中；,Q,U,在“一般”这一组别中。因此,,Q,L,,,=,不满意,,,Q,U,,,=,一般,甲城市家庭对住房状况评价的频数分布,,,回答类别,甲城市,,,户数 (户),累计频数,,非常不满意,,,不满意,,,一般,,,满意,,,非常满意,24,,108,,93,,45,,30,24,,132,,225,,270,,300,合计,300,—,数值型未分组数据的四分位数,(9个数据的算

10、例),【例】：9个家庭的人均月收入数据,,原始数据: 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630,,排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000,,位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9,,,数值型未分组数据的四分位数,(10个数据的算例),【例】：10个家庭的人均月收入数据,,原始数据: 1500 750 780 660 1080 850 960

11、2000 1250 1630,,排 序: 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000,,位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,,,数值型数据：均值,,均值,(,mean,),1.集中趋势的测度值之一,,2.最常用的测度值,,一组数据的均衡点所在,,体现了数据的必然性特征,,易受极端值的影响,,用于数值型数据，不能用于分类数据和顺序数据,简单均值,(simple mean),设一组数据为：,x,1,，,x,2,，… ，,x,n

12、,（,x,N,）,,样本均值,总体均值,加权均值,(weighted mean),设各组的组中值为：,M,1,，,M,2,，… ，,M,k,,,相应的频数为：,f,1,，,f,2,，… ，,f,k,样本加权均值,总体加权均值,已改至此！！,某电脑公司销售量数据分组表,,,,按销售量分组,组中值（M,i,）,频数（f,i,）,M,i,f,i,140,-,150,,150,-,160,,160,-,170,,170,-,180,,180,-,190,,190,-,200,,200,-,210,,210-220,,220-230,,230-240,145,,155,,165,,175,,185,,1

13、95,,205,,215,,225,,235,4,,9,,16,,27,,20,,17,,10,,8,,4,,5,580,,1395,,2640,,4725,,3700,,3315,,2050,,1720,,900,,1175,合计,—,120,22200,加权均值,,(例题分析),加权均值,(权数对均值的影响),,甲乙两组各有10名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下,,甲组： 考试成绩（,x,）: 0 20 100,,人数分布（,f,）： 1 1 8,,,乙组： 考试成绩（,x,）: 0 20 100,,人数分布

14、（,f,）： 8 1 1,均值,(数学性质),1.,各变量值与均值的离差之和等于零,,2.,各变量值与均值的离差平方和最小,调和平均数,,(,harmonic mean,),1.,集中趋势的测度值之一,,2.均值的另一种表现形式,,易受极端值的影响,,计算公式为,,原来只是计算时使用了不同的数据！,调和平均数,,(例题分析),某日三种蔬菜的批发成交数据,,,,蔬菜,,名称,批发价格(元),,,M,i,成交额(元),,M,i,f,i,成交量(公斤),,f,i,甲,,乙,,丙,1.20,,0.50,,0.80,18000,,12500,,6400,15000,,2

15、5000,,8000,合计,—,36900,48000,【例】某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交数据如表，计算三种蔬菜该日的平均批发价格,几何平均数,(,geometric mean,),1. 集中趋势的测度值之一,,2.,n,个变量值乘积的,n,次方根,,3. 适用于对比率数据的平均,,4. 主要用于计算平均增长率,,5. 计算公式为,6.,,可看作是均值的一种变形,几何平均数,(例题分析),【例】一位投资者持有一种股票，1996年、1997年、1998年和1999年收益率分别为4.5%、2.0%、3.5%、5.4%。计算该投资者在这四年内的平均收益率。,平均收益率＝103.84%-1=

16、3.84%,众数、中位数和均值的比较,众数、中位数和均值的关系,左偏分布,均值,,中位数,,众数,对称分布,,均值,=,中位数,=,众数,右偏分布,众数,,中位数,均值,众数、中位数和均值的特点和应用,众数,,不受极端值影响,,具有不唯一性,,数据分布偏斜程度较大时应用,,中位数,,不受极端值影响,,数据分布偏斜程度较大时应用,,平均数,,易受极端值影响,,数学性质优良,,数据对称分布或接近对称分布时应用,数据类型与集中趋势测度值,数据类型和所适用的集中趋势测度值,,,,,数据类型,分类数据,顺序数据,间隔数据,比率数据,适,,用,,的,,测,,度,,值,※众数,※中位数,※均值,※均值,,—

17、,四分位数,众数,调和平均数,,—,众数,中位数,几何平均数,,—,—,四分位数,中位数,,—,—,—,四分位数,,—,—,—,众数,3.2 离散程度的测度,分类数据：异众比率,,顺序数据：四分位差,,数值型数据：方差及标准差,,相对位置的测量：标准分数,,相对离散程度：离散系数,离中趋势,数据分布的另一个重要特征,,反映各变量值远离其中心值的程度（离散程度）,,从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度,,不同类型的数据有不同的离散程度测度值,分类数据：异众比率,,异众比率,(,variation ratio,),1. 离散程度的测度值之一,,2. 非众数组的频数占总频数的比率,,3. 计

18、算公式为,,,4. 用于衡量众数的代表性,异众比率,(例题分析),某城市居民关注广告类型的频数分布,,,广告类型,人数(人),频率(%),商品广告,,服务广告,,金融广告,,房地产广告,,招生招聘广告,,其他广告,112,,51,,9,,16,,10,,2,56.0,,25.5,,4.5,,8.0,,5.0,,1.0,合计,200,100,解：,,,,,,,在所调查的200人当中，关注非商品广告的人数占44%，异众比率还是比较大。因此，用“商品广告”来反映城市居民对广告关注的一般趋势，其代表性不是很好,顺序数据：四分位差,,四分位差,(,quartile deviation,),1.,离散

19、程度的测度值之一,,2. 也称为内距或四分间距,,3. 上四分位数与下四分位数之差,,,Q,D,,=,Q,U,-,Q,L,,4. 反映了中间50%数据的离散程度,,不受极端值的影响,,用于衡量中位数的代表性,四分位差,(顺序数据的算例),解：,设非常不满意为1,不满意为2, 一般为3, 满意为 4, 非常满意为5,已知,,,Q,L,=,不满意,=,2,,,Q,U,=,,一般,=,,3,,四分位差：,,,Q,D,=,Q,U,=,,Q,L,,,=,3 – 2,,=,1,甲城市家庭对住房状况评价的频数分布,,,回答类别,甲城市,,,户数 (户),累计频数,,非常不满意,,,不满意,,,一般,,,满

20、意,,,非常满意,24,,108,,93,,45,,30,24,,132,,225,,270,,300,合计,300,—,数值型数据：方差和标准差,,极差(,range,),1. 一组数据的最大值与最小值之差,,2. 离散程度的最简单测度值,,3. 易受极端值影响,,未考虑数据的分布,,计算公式为,,,R,,= max(,x,i,) - min(,x,i,),,平均差,(,mean deviation,),1.,,离散程度的测度值之一,,2. 各变量值与其均值离差绝对值的平均数,,3. 能全面反映一组数据的离散程度,,4. 数学性质较差，实际中应用较少,5.,计算公式为,未分组数据

21、,组距分组数据,平均差,,(例题分析),某电脑公司销售量数据平均差计算表,,,,,按销售量分组,组中值(,M,i,),频数(,f,i,),,,140—150,,150—160,,160—170,,170—180,,180—190,,190—200,,200—210,,210—220,,220—230,,230—240,145,,155,,165,,175,,185,,195,,205,,215,,225,,235,4,,9,,16,,27,,20,,17,,10,,8,,4,,5,40,,30,,20,,10,,0,,10,,20,,30,,40,,50,160,,270,,320,,270,

22、,0,,170,,200,,240,,160,,250,合计,—,50,—,2040,平均差,,(例题分析),,,,含义：每一天的销售量平均数相比，,,平均相差17台,方差和标准差,,(,variance,and,standard deviation,),1.,离散程度的测度值之一,,2.最常用的测度值,,3.反映了数据的分布,,反映了各变量值与均值的平均差异,,根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差；根据样本数据计算的，称为样本方差或标准差,总体方差和标准差,,,(population,variance,and,standard deviation,),未分组数据：,组距分组数据：,未分组

23、数据：,组距分组数据：,方差的计算公式,标准差的计算公式,总体标准差,,(例题分析),某电脑公司销售量数据平均差计算表,,,,,按销售量分组,组中值(,M,i,),频数(,f,i,),,,140—150,,150—160,,160—170,,170—180,,180—190,,190—200,,200—210,,210—220,,220—230,,230—240,145,,155,,165,,175,,185,,195,,205,,215,,225,,235,4,,9,,16,,27,,20,,17,,10,,8,,4,,5,40,,30,,20,,10,,0,,10,,20,,30,,40,

24、,50,160,,270,,320,,270,,0,,170,,200,,240,,160,,250,合计,—,120,—,55400,总体标准差,,(例题分析),,,,,,,含义：,每一天的销售量与平均数相比，,,平均相差21.49台,样本方差和标准差,,(simple variance and standard deviation),未分组数据：,组距分组数据：,未分组数据：,组距分组数据,：,方差的计算公式,标准差的计算公式,注意：,,样本方差用自由度n-1去除!,样本方差,自由度,(degree of freedom),一组数据中可以自由取值的数据的个数,,当样本数据的个数为,n,时，

25、若样本均值,,x,确定后，只有,n,-1,个数据可以自由取值，其中必有一个数据则不能自由取值,,例如，样本有,3,个数值，即,x,1,=2,，,x,2,=4,，,x,3,=9,，,则,,x,= 5,。,当,,x,= 5,确定后，,x,1,，,x,2,和,x,3,有两个数据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如,x,1,=6,，,x,2,=7,，,那么,x,3,则必然取,2,，而不能取其他值,,样本方差用自由度去除，其原因可从多方面来解释，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差去估计总体方差,σ,2,时，它是,σ,2,的无偏估计量,样本方差与标准差,,(例题分析),原始数据:,,1

26、0 5 9 13 6 8,方差,标准差,相对位置的测量：标准分数,,标准分数,(,standard score,),1.,,也称标准化值,,2. 对某一个值在一组数据中相对位置的度量,,3. 可用于判断一组数据是否有离群点,,4. 用于对变量的标准化处理,,5. 计算公式为,,标准分数,,(,性质,),均值等于,0,,,,2.,方差等于,1,,标准分数,,(,性质,),,z,分数只是将原始数据进行了线性变换，它并没有改变一个数据在改组数据中的位置，也没有改变该组数分布的形状，而只是将该组数据变为均值为,0,，标准差为,1,。,,,标准化值,,(例题分析),9,个

27、家庭人均月收入标准化值计算表,,,家庭编号,人均月收入（元）,标准化值,z,,1,,2,,3,,4,,5,,6,,7,,8,,9,1500,,750,,780,,1080,,850,,960,,2000,,1250,,1630,0.695,,-1.042,,-0.973,,-0.278,,-0.811,,-0.556,,1.853,,0.116,,0.996,经验法则,,经验法则表明：当一组数据对称分布时,,约有,68%,的数据在平均数加减,1,个标准差的范围之内,,约有,95%,的数据在平均数加减,2,个标准差的范围之内,,约有,99%,的数据在平均数加减,3,个标准差的范围之内,,切比雪

28、夫不等式,,(,Chebyshev’s inequality,),如果一组数据不是对称分布，经验法则就不再使用，这时可使用切比雪夫不等式,，,它对任何分布形状的数据都适用,,切比雪夫不等式提供的是“下界”，也就是“所占比例至少和多少”,,对于任意分布形态的数据，根据切比雪夫不等式，至少有 的数据落在,k,个标准差之内。其中,k,是大于,1,的任意值，但不一定是整数,切比雪夫不等式,(,Chebyshev’s inequality,),,对于,k,=,2,，,3,，,4,，该不等式的含义是,,至少有,75%,的数据落在平均数加减,2,个标准差的范围之内,,至少有,89%,的数

29、据落在平均数加减,3,个标准差的范围之内,,至少有,94%,的数据落在平均数加减,4,个标准差的范围之内,,相对离散程度：离散系数,离散系数,(,coefficient of variation,),1.,标准差与其相应的均值之比,,对数据相对离散程度的测度,,消除了数据水平高低和计量单位的影响,,4.,用于对不同组别数据离散程度的比较,,5.,计算公式为,离散系数,,(例题分析),某管理局所属8家企业的产品销售数据,,,企业编号,产品销售额（万元）,,x,1,销售利润（万元）,,x,2,1,,2,,3,,4,,5,,6,,7,,8,170,,220,,390,,430,,480,,650,,

30、950,,1000,8.1,,12.5,,18.0,,22.0,,26.5,,40.0,,64.0,,69.0,【 例 】某管理局抽查了所属的8家企业，其产品销售数据如表。试比较产品销售额与销售利润的离散程度,离散系数,,(例题分析),结论：,,计算结果表明，,v,1,<,v,2,，说明产品销售额的离散程度小于销售利润的离散程度,v,1,=,536.25,309.19,=,0.577,v,2,=,32.5215,23.09,=,0.710,数据类型与离散程度测度值,数据类型和所适用的离散程度测度,值,,,,数据类型,分类数据,顺序数据,数值型数据,适,,用,,的,,测,,度,,值,※异众比率,

31、※四分位差,※方差或标准差,,—,,异众比率,※离散系数（比较时用）,,—,—,,平均差,,—,—,,极差,,—,—,,四分位差,,—,—,,异众比率,4.3,偏态与峰态的测度,一. 偏态及其测度,,二. 峰态及其测度,偏态与峰态分布的形状,扁平分布,尖峰分布,偏态,峰态,左偏分布,右偏分布,与标准正态分布比较！,偏 态,,偏态,(,skewness,),统计学家,Pearson,于,1895,年首次提出,,数据分布偏斜程度的测度,,2.,偏态系数,=0,为对称分布,,3.,偏态系数,> 0,为右偏分布,,4.,偏态系数,< 0,为左偏分布,偏态系数,(,skewness coeff

32、icient,),根据原始数据计算,,,,,根据分组数据计算,偏态系数,,(例题分析),,某电脑公司销售量偏态及峰度计算表,,,,,按销售量份组(台),组中值(,M,i,),频数,,f,i,,,140—150,,150—160,,160—170,,170—180,,180—190,,190—200,,200—210,,210—220,,220—230,,230—240,145,,155,,165,,175,,185,,195,,205,,215,,225,,235,4,,9,,16,,27,,20,,17,,10,,8,,4,,5,-256000,,-243000,,-128000,,-270

33、00,,0,,17000,,80000,,216000,,256000,,625000,10240000,,7290000,,2560000,,270000,,0,,170000,,1600000,,6480000,,10240000,,31250000,合计,—,120,540000,,70100000,,偏态系数,(例题分析),结论：,偏态系数为正值，但与0的差异不大，说明电脑销售量为轻微右偏分布，即销售量较少的天数占据多数，而销售量较多的天数则占少数,偏态与峰态,(从直方图上观察),按销售量分组(台),结论,：,1. 为右偏分布,,2. 峰态适中,140,150,210,某电脑公司销售量

34、分布的直方图,190,200,180,160,170,频,,数,,(天),25,20,15,10,5,30,220,230,240,峰 态,,峰态,(,kurtosis,),统计学家,Pearson,于,1905,年首次提出,,数据分布扁平程度的测度,,峰态系数,=0,扁平峰度适中,,峰态系数,<0,为扁平分布,,峰态系数,>0,为尖峰分布,峰态系数,(,kurtosis coefficient,),根据原始数据计算,,,,,根据分组数据计算,峰态系数,(例题分析),结论：,偏态系数为负值，但与0的差异不大，说明电脑销售量为轻微扁平分布,用,Excel,计算描述统计量,用,Excel,计算描述统计量,,将120的销售量的数据输入到Excel工作表中，然后按下列步骤操作：,,第1步：选择“工具”下拉菜单,,第2步：选择“数据分析”选项,,第3步：在分析工具中选择“描述统计”，然后选择“确定”,,第4步：当对话框出现时,,在“输入区域”方框内键入数据区域,,在“输出选项”中选择输出区域,,选择“汇总统计”,,选择“确定”,,本章小节,1. 数据水平的概括性度量,,2. 数据离散程度的概括性度量,,数据分布形状的测度,,用,Excel,计算描述统计量,结 束,THANKS,