自动控制原理与应用(第二版)(章-课件4

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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,第,4,章 控制系统的频域分析法,第,4,章 控制系统的频域分析法,4.1,频率特性的概念,,4.2,典型环节的伯德图,,4.3,系统开环对数频率特性曲线的绘制,,4.4,系统稳定性的频域分析,,4.5,动态性能的频域分析,,4.6,系统频率特性的,MATLAB,仿真,,4.1,频率特性的概念,,4.1.1,频率特性的基本概念,,,频率特性又称频率响应，是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性。 ,,设某线性系统结构图如图,4-1,所示。若在该系统的输入端加上一正弦信号，设该正弦信

2、号为,r,(,t,)=,A,sin,ωt,，,如图,4-2(a),所示，则其输出响应为,c,(,t,)=,MA,sin(,ωt,+,φ,),，,即振幅增加了,M,倍，相位超前（滞后）了,φ,角。响应曲线如图,4-2(b),所示。,,图,4-1,系统结构图,,,图,4-2,线性系统的输入输出曲线,,,这些特性表明，当线性系统输入信号为正弦量时，其稳态输出信号也将是同频率的正弦量，只是其幅值和相位均不同于输入量，并且其幅值和相位都是频率,ω,的函数。对于一个稳定的线性系统，其输出量的幅值与输入量的幅值对频率,ω,的变化称幅值频率特性，用,A,(,ω,),表示； 其输出相位与输入相位对频率,ω,的变

3、化称相位频率特性，用,φ,(,ω,),表示。 两者统称为频率特性或幅相频率特性。,,对于线性定常系统，也可定义系统的稳态输出量与输入量的幅值之比为幅频特性；定义输出量与输入量的相位差为相频特性。 即,,幅值频率特性：,A,(,ω,)=|,G,(j,ω,)|,,相位频率特性：,φ,(,ω,)=∠,G,(j,ω,),,将幅值频率特性和相位频率特性两者写在一起，,,可得频率特性或幅相频率特性为,,,频率特性是一个复数，可以表示为指数形式、直角坐标和极坐标等几种形式。频率,特性的几种表示方法如下：,,（直角坐标表示式）,,（极坐标表示式）,,（指数表示式）,,上式中,:,U,(,ω,),称为

4、实频特性,;,V,(,ω,),称为虚频特性,;,A,(,ω,),称为幅频特性,;,φ,(,ω,),称为相频特性,;,G,(j,ω,),称为幅相频率特性。其中：,,4.1.2,由传递函数求频率特性,,,对于同一系统（或元件），频率特性与传递函数之间存在着确切的对应关系。若系统（或元件）的传递函数为,G,(,s,),，,则其频率特性为,G,(j,ω,),。,也就是说,,,只要将传递函数中的复变量,s,用纯虚数,j,ω,代替，就可以得到频率特性。即,,,例,1,：,已知,RC,电路的传递函数为 ，,求该电路的频率特性,。,,,解：

5、令,RC,=,T,，可得,,,,令,s,=,j,ω,，则频率特性为,,幅值频率特性为,,相位频率特性为,,,4.1.3,频率特性的几点说明,,① 频率特性只适用于线性系统，且在假定线性微分方程是稳定的条件下推导出来的。,,② 频率特性包含了系统或元部件的全部结构和参数。,,③ 频率特性和微分方程及传递函数一样，也是系统或元件的动态数学模型。,,④ 利用频率特性法可以根据系统的开环频率特性分析闭环系统的性能。,,⑤ 频率特性可以通过实验的方法测得。,,4.1.4,频率特性的图形表示方法,,,1,．,幅相频率特性曲线,,幅相频率特性曲线又称为极坐标图或奈奎斯特（,Nyquist,）,曲

6、线。它是根据频率特性的表达式,,，计算出当,ω,从,0→∞,变化时，对应于每一个,ω,值的幅值,A,(,ω,),和相位,φ,(,ω,),，将,A,(,ω,),和,φ,(,ω,),同时表示在复平面上所得到的图形。惯性环节的幅相频率特性曲线如图,4-3,所示。,,图,4-3,惯性环节的幅相频率特性曲线,,,,2,． 对数频率特性曲线,,,对数频率特性曲线又称为伯德（,Bode,）,图，包括对数幅频特性和对数相频特性曲线。 在介绍对数频率特性曲线之前， 先给出对数频率特性的定义。 ,,,1),定义,,将幅频,A,(,ω,),取常用对数后再乘以,20,， 称之为对数幅频特性,20,lg,A,(,ω

7、,),，用,L,（,ω,）,表示。,,,2,） 伯德图,,对数幅相特性曲线的纵轴为,L,(,ω,),，以等分坐标来标定，单位为分贝（,dB,），其值为,20,lg,A,(,ω,),。,,对数幅频特性曲线的横轴标为,ω,，但实际表示的是,lg,ω,。,lg,ω,和,ω,间存在如下关系：,lg,ω,每变化一个单位长度，,ω,将变化,10,倍（称为十倍频程，记为,dec,）。横轴对,lg,ω,是等分的，对,ω,是对数的（不均匀的），两者的对应关系见图,4-4,的横轴对照表。例如,ω,=1,，对应,lg,ω,=0,；,ω,=10,，对应,lg,ω,=1……,,,L,(,ω,),和,A,(,ω,),

8、的对应关系如图,4-4,所示。,,图,4-4,伯德图的横坐标和纵坐标,,,4.2,典型环节的伯德图,,4.2.1,比例环节,,,比例环节又称放大环节，,,其传递函数为,,对数频率特性,,则频率特性为,,,根据对数频率特性可知，比例环节的对数幅频特性,L,(,ω,),是高度为,20,lg,K,的水平直线；对数相频特性,φ,(,ω,),为与横轴重合的水平直线。 其对数频率特性曲线如图,4-5,所示。,,图,4-5,比例环节的伯德图,,,4.2.2,积分环节,,,积分环节的传递函数为,,其频率特性为,对数频率特性为,,,由对数频率特性可知，积分环节的对数幅频特性,L,(,ω,),为斜率是,-20

9、dB/,dec,的斜直线；对数相频特性,φ,(,ω,),为一条,-90,°,的水平直线。其伯德图如图,4-6,所示。 ,,图,4-6,积分环节的伯德图,,,4.2.3,微分环节,,,微分环节的传递函数为,,频率特性为,,对数频率特性为,,微分环节的对数频率特性与积分环节相比，两者仅差一个负号，可知微分环节的对数频率特性曲线与积分环节的对数频率特性曲线关于横轴对称。所以微分环节的对数幅频特性曲线为斜率是,+20dB/dec,的斜直线；对数相频特性,φ,(,ω,),为一条,+90°,水平直线。伯德图如图,4-7,所示。,,图,4-7,微分环节的伯德图,,,4.2.4,惯性环节,,,惯性环节的传

10、递函数为,,频率特性为,,对数频率特性为,,,由此可以看出惯性环节的对数幅频特性是一条曲线，若逐点描绘将很繁琐，通常采用近似的绘制方法。方法如下。,,① 先绘制低频渐近线：低频渐近线是指当,ω,→0,时的,L,(,ω,),图形（一般认为,ω,<<1/,T,）。,此时有,,因此惯性环节的低频渐近线为零分贝线。 ,,② 再绘制高频渐近线：高频渐近线是指当,ω,→∞,时的,L,(,ω,),图形（一般认为,ω,1,/,T,）。,此时有,,，,,因此惯性环节的高频渐近线为在,ω,=1/,T,处过零分贝线的、斜率为,-20 dB/,dec,的斜直线。,,③ 计算交接频率：交接频率是指高、低频渐近线交接

11、处的频率。高、低频渐近线的幅值均为零时，,ω,=1/T,，,因此交接频率为,ω,=1/T,。 ,,④,计算修正量（又称误差）：以渐近线近似表示,L,(,ω,),，,必然存在误差，分析表明，其最大误差发生在交接频率,ω,=1/T,处。在该频率处,L,(,ω,),的实际值为,所以其最大误差（亦即最大,修正量）约为,-3 dB,。,由此可见，若以渐近线取代实际曲线，,,引起的误差是不大的。,,,综上所述，惯性环节的对数幅频特性曲线可用两条渐近线近似，低频部分为零分贝线，高频部分为斜率为,-20dB/dec,的斜直线，两条直线相交于,ω,=1/,T,的地方。 ,,惯性环节的对数相频特性曲线也采用近

12、似的作图方法。当,ω,→0,时，,φ,(,ω,)→0,,因此，其低频渐近线为,φ,(,ω,)=0,的水平线； 当,ω,→∞,时，,，,因此，其高频渐近线为 水平线,;,当 　　时，,,。,,惯性环节的伯德图如图,4-8,所示。,,图,4-8,惯性环节的伯德图,,,4.2.5,比例微分环节,,,传递函数为,,频率特性为,对数频率特性为,,一阶微分环节与惯性环节的对数幅频特性和对数相频特性仅相差一个负号，这意味着它们的图形也是对称于横轴的。因而，可采用绘制惯性环节对数频率特性的方法，绘制出一阶微分环节的对数频率特性曲线，如图,4-9,所示。,,图,4-9,比例微分环节的伯德图,,,4.2.6,

13、振荡环节,,,振荡环节的传递函数为,,频率特性为,,对数频率特性为,,,由上式可见，振荡环节的频率特性不仅与,ω,有关， 而且还与阻尼比,ξ,有关。同惯性环节一样，振荡环节的对数幅频特性也可采用近似的方法绘制，方法如下。,,① 首先求出其低频渐近线： 当,ω,1,<<1/,T,时，即,Tω,<<1,，,1-,T,2,ω,2,≈1,，,于是,振荡环节的,L,(,ω,),的低频渐近线是一条零分贝线。,,,② 再求出其高频渐近线：当,ω,>>1/,T,时，即,Tω,>>1,，,1-,T,2,ω,2,≈-,T,2,ω,2,，,于是,当,Tω,>>1,，,且,0<,ξ,<1,时，显然，,T,ω,>>,

14、2,ξ,，,,［,Tω,2,+(2,ξ,),2,］≈,T,2,ω,2,。,于是,,,,,可见，振荡环节的,L,(,ω,),的高频渐近线是一条在,ω=1/T,处过零分贝线的、斜率为,-40 dB/,dec,的斜直线。,,,③ 计算交接频率：当,ω,=1/,T,时，高、低频渐近线的,L,(,ω,),均为零，即两直线在此相接。 ,,④ 修正量：当,ω,=1/,T,时,由此可见，在,ω,=1/,T,时，,L,(,ω,),的实际值与阻尼系数,ξ,有关。,L,(,ω,),在,ω,=1/,T,时的实际值见表,4-1,。,,表,4-1,振荡环节对数幅频特性最大误差和,ξ,的关系,,,由,表,4-1,可

15、知，当,0.4<,ξ,<0.7,时，误差小于,3dB,，,这时可以允许不对渐近线进行修正。但当,ξ,<0.4,或,ξ,>0.7,时，误差是很大的，必须进行修正。 ,,振荡环节的对数相频特性曲线也可采用近似的作图方法。,,当,ω,=0,时,,即其低频渐近线是一条,φ,(,ω,)=0,的水平直线； 当,ω,→∞,时,,即其高频渐近线是一条,φ,(,ω,)=-,π,=-180,°,的水平直线；当,ω,=1/,T,振荡环节的伯德图如图,4-10,所示。,,,图,4-10,振荡环节的伯德图,,,4.2.7,一阶不稳定环节,,,传递函数为,,频率特性为,,对数频率特性为,,,图,4-11,一阶不稳定环节

16、的伯德图,,,4.2.8,延迟环节,,,延迟环节的传递函数为,式中，,τ,为延迟时间。,,,频率特性为,,,G,(j,ω,)=e,－,j,τω,,对数频率特性为,,,延迟环节伯德图如图,4-12,所示，延迟环节可以不失真的复现任何频率的输入信号，但输出滞后于输入，,τ,越大，则滞后角,φ,(,ω,),就越大，对控制系统不利。因此要尽量避免含有较大滞后时间的延迟环节。,,图,4-12,延迟环节伯德图,,,4.3,系统开环对数频率特性曲线的绘制,,对于单位负反馈系统，其开环传递函数为回路中各串联传递函数的乘积，,,即,,以,j,ω,代替,s,，,则其开环频率特性为,,所以，系统的幅频特性,；,

17、相频特性,。,故系统的对数幅频特性为,由此可以看出，系统总的开环对数幅频特性等于各环节对数幅频特性之和；总的开环相频特性等于各环节相频特性之和。,,,运用“对数化”，变,相乘为相加，且各典型环节的对数幅频特性又可近似表示为直线，对数相频特性又具有奇对称性， 再考虑到曲线的平移和互为镜像等特点，故系统的开环对数频,率特性曲线是比较容易绘制的。,,,4.3.1,利用叠加法绘制系统开环对数频率特性曲线,,由上述分析表明，串联环节的对数频率特性，为各串联环节的对数频率特性的叠加。叠加法绘制对数频率特性图的步骤如下： ,,① 首先写出系统的开环传递函数； ,,② 将开环传递函数写成各个典型环节乘积

18、的形式； ,,③ 画出各典型环节的对数幅频特性和相频特性曲线； ,,④ 在同一坐标轴下， 将各典型环节的对数幅频特性和相频特性曲线相叠加， 即可得到系,统的开环对数频率特性。,,,,例,2,：,,已知某单位反馈系统的框图如图,4-13,所示， 试利用叠加法绘制该系统,的开环对数频率特性曲线。,,图,4-13,某单位反馈系统框图,,,解：,,由图,4-13,可见，系统的开环传递函数为,,由上式可见，,,该系统包含有三个典型环节，,,分别为,,比例环节,,积分环节,,惯性环节,,,先分别绘制出以上三个典型环节的对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线，如图,4-14,中的①②③所示，然后，将以上环节

19、的幅频和相频特性曲线相叠加，即可得到系统的开环对数频率特性曲线，如图,4-14,中的,L,(,ω,),和,φ,(,ω,),所示。,,图,4-13,例,2,的对数频率特性曲线,,,4.3.2,对数频率特性曲线的简便画法,,,利用上述叠加法绘制系统开环对数频率特性图时，要先绘制出各典型环节的对数频率特性，再进行叠加，比较麻烦。 下面介绍一种简便画法，其步骤如下： ,,① 根据系统的开环传递函数分析系统是由哪些典型环节串联组成的，将这些典型环节的传递函数都化成标准形式。,,② 计算各典型环节的交接频率，将各交接频率按由小到大的顺序进行排列。 ,,③,,根据比例环节的,K,值，计算,20,lg,K

20、,。,,,,④ 低频段，找到横坐标为,ω,＝,1,、,纵坐标为,L,(,ω,)=20,lg,K,的点，过该点作斜率为,-ν20dB/dec,的斜线，其中,ν,为积分环节的数目。 ,,⑤ 从低频渐近线开始，每经过一个转折频率，按下列原则依次改变,L,(,ω,),的斜率。 ,,经过惯性环节的交接频率，斜率减去,20 dB/,dec,； ,,经过微分环节的交接频率，斜率增加,20 dB/,dec,； ,,经过振荡环节的交接频率，斜率减去,40 dB/,dec,。 ,,如果需要， 可对渐近线进行修正， 以获得较精确的对数幅频特性曲线。,,例,3,：已知某随动系统框图如图,4-15,所示，试画

21、出该系统的伯,德图。,,图,4-15,某随动系统组成框图,,,将该开环传递函数写成标准形式,,解,：,由图,4-15,可得该系统的开环传递函数为,,由上式可见，它包含五个典型环节，分别为：一个比例环节、两个积分环节、一个惯,性环节和一个微分环节。,,,,1,） 计算交接频率,,微分环节的交接频率为,ω,1,=1/0.1=10,rad/s,；,惯性环节的交接频率为,ω,2,=1/0.02=50rad/s,。 ,,,2,）,绘制对数幅频特性曲线的低频段,,由于,K,=150,，,所以,L,(,ω,),在,ω,＝,1,处的高度为,20lg,K,=20lg150=43.2dB,；,系统含有两个

22、积分环节，故其低频段斜率为,2×(-20dB/dec)=-40 dB/,dec,。,因此低频段的,L,(,ω,),为过点,ω,=1,，,L,(,ω,)=43.2dB,,斜率为,-40 dB/,dec,的斜线。,,,3,）中、高频段对数幅频特性曲线的绘制 ,,在,ω,1,=10,处，遇到了微分环节，因此将对数幅频特性曲线的斜率增加,20 dB/,dec,，,即,-40 dB/dec+20 dB/,dec,=-20 dB/,dec,，,成为,-20 dB/,dec,的斜线；在,ω,2,=50,处，又遇到了惯性环节， 则应将对数幅频特性曲线的斜率降低,20 dB/,dec,，,即,-20 dB/

23、dec-20 dB/,dec,=-40 dB/,dec,，,于是,L,(,ω,),又成为斜率为,-40 dB/,dec,的斜线。因此该系统的对数幅频特性如图,4-16(a,）,所示。,,图,4-16,例,3,所示系统的开环对数频率特性（伯德图）,,,,4,） 对数相频特性曲线的绘制,,比例环节的相频特性为,φ,1,(,ω,)=0,；,两个积分环节的相频特性为,φ,2,(,ω,)=180°,；,微分环节的相频特性为,φ,3,(,ω,)=arctan0.1ω,，,其低频段渐近线为,φ,(,ω,)=0,，,高频渐近线为,φ,(,ω,)=+90°,，在,ω,=10,rad/s,处，,φ,3,(ω)=

24、45°,；,惯性环节的相频特性为,φ,4,(,ω,)=arctan0.02ω,，,其低频段渐近线为,φ,(,ω,)=0,，,高频渐近线为,φ,(ω)=-90°,，在,ω,=50rad/s,处，,φ,4,(,ω,)=-45°,。,以上环节的相频特性曲线分别如图,4-16,中的①②③④所示。该系统的对数相频特性,φ,(,ω,),为四者的叠加。 即,故系统的相频特性曲线,φ(ω),为①、②、③、④图形的叠加，如图,4-16(b,）,所示。,,,例,4,：已知系统的开环传递函数为,，,试绘制系统的开环对数幅频渐近特性。 ,,,解,：,系统的开环传递函数为,，,将开环传递函数写成标准形式,由上式可

25、见，它包含四个典型环节，分别为：一个比例环节、 一个积分环节、一个惯性环节和一个微分环节。 ,,计算交接频率：微分环节的交接频率,ω,1,=1/0.2=5,rad/s,，,惯性环节的交接频率,ω,2,=1/2=0.5rad/s,。,,对数幅频特性曲线的绘制： ,,由于,K,=10,，,所以,L,(,ω,),在,ω,＝,1,处的高度为,20lg,K,=20lg10=20dB,；,系统含有一个积分环节，故其低频段斜率为,-20 dB/,dec,。,因此低频段的,L,(ω),为过点,ω,=1,,L,(,ω,)=20 dB,点，斜率为,-20 dB/,dec,的斜线。 ,,在,ω,1,=0.5,

26、处，遇到了惯性环节，因此要将对数幅频特性曲线的斜率降低,20 dB/,dec,，,成为,-40 dB/,dec,的斜线；在,ω,2,=5,处， 又遇到微分环节，将对数幅频特性曲线的斜率增加,20 dB/,dec,，,于是,L,(,ω,),又成为斜率为,-20 dB/,dec,的斜线。因此该系统的对数幅频特性如图,4-17,所示。,,图,4-17,例,4,系统的开环对数频率特性（伯德图）,,,4.3.3,最小相位系统,,,1,．最小相位系统的概念,,在系统开环传递函数中，其分母多项式的根称为极点，分子多项式的根称为零点。,,若系统开环传递函数中所有的极点和零点都位于,s,平面的左半平面，则

27、这样的系统称为最小相位系统。反之，若开环传递函数中含有,s,右半平面上的极点或零点的系统则称为非最小相位系统。例如前面介绍过的惯性环节属于最小相位环节，而一阶不稳定环节则是属于非最小相位环节。,,,2,． 最小相位系统的特点,,最小相位系统重要的一个特点就是：其对数幅频特性与对数相频特性之间存在着唯一的对应关系。也就是说，如果确定了系统的对数幅频特性，则其对应的对数相频特性也就被唯一的确定了，反之也一样。并且最小相位系统的相位角范围将是最小的。,,,例,5,,已知控制系统的开环传递函数分别为　　　　　　，,,，　　　　　　　　　。 求它们的对数幅频特性和对数相频特性。,,解：,,由,G,

28、1,(,s,),、,G,2,(,s,),、,G,3,(,s,),可得它们的对数幅频特性为,,,,,,其对数幅频特性曲线如图,4-18,（,a,）所示。,,图,4-18,例,5,系统的伯德图,,,它们的对数相频特性为,,φ,1,(,ω,)=arctan0.05,ω,－,arctan0.5,ω,,,φ,2,(,ω,)=,－,arctan0.05,ω,－,arctan0.5,ω,,,φ,3,(,ω,)=arctan0.05,ω,+arctan0.5,ω,,对数幅相频特性曲线如图,4-18,（,b,）所示。,,,例,6,,已知图,4-19,为三个最小相位系统的伯德图，试写出各自的传递函数，其斜率分

29、别为－,20 dB/,dec,、－,40 dB/,dec,、－,60 dB/,dec,，它们与零分贝线的交点均为,ω,。,,解：,,由图,4-19,（,a,）可知，这是一个积分环节，设其传递函数为,G,(,s,)=,K,/,s,，,K,可以由下式求出,,,图,4-19,例,6,三个最小相位系统的伯德图,,,即图,4-19,（,a,）的传递函数为,,,,图,4-19,（,b,）代表的是两个积分环节的串联，设其传递函数为,G,(,s,)=,K,/,s,2,，,K,可以由下式求出,,,,,,即图,4-19,（,b,）的传递函数为,,,图,4-19,（,c,）代表的是三个积分环节的串联，设其传递函数为

30、,G,(,s,)=,K,/,s,3,，,K,可以由下式求出,,,,,,即图,4-19,（,c,）的传递函数为,,,,例,7,,已知某最小相位系统的开环对数幅频特性曲线如图,4-20,所示。试写出系统的开环传递函数,G,(,s,),。图中，,ω,1,=2,、,ω,2,=50,、,ω,c,=5,。,,图,4-20,例,7,最小相位系统的开环对数频率特性（伯德图）,,,解：,,根据,L,(,ω,),在低频段的斜率和高度，可知,G,(,s,),中含有一个积分环节和一个比例环节，再根据,L,(,ω,),在,ω,1,=2,处斜率由－,20 dB/,dec,变为－,40 dB/,dec,，表明有惯性环节存在

31、，且此惯性环节的时间常数为转折频率的倒数，即　　　　　　　　　　；,L,(,ω,),在,ω,2,=50,处斜率由－,40 dB/,dec,变为－,60 dB/,dec,，表明还有一个惯性环节，时间常数　　　　　　　　　　。根据以上分析，,G,(,s,),可写成如下形式,,上式中开环增益,K,可用已知的截止频率,ω,c,=5,来求。在图上作低频渐近线的延长线与横轴交于一点，由例,6,可知，该点的坐标值即为,K,。列出下列两式,,,,,,,联立消去,x,，可得　　　　　　　　　故例,7,题中系统的开环传递函数为,,4.4,系统稳定性的频域分析,,4.4.1,对数频率稳定判据,,,1.,对数频率判据

32、的基本概念,,对数频率稳定判据，是根据开环对数幅频与相频曲线的相互关系来判别闭环系统的稳定性的。因为伯德图绘制方便，所以，对数频率稳定判据应用较广。 ,,首先定义两个基本概念。,,正穿越：在,L,(,ω,)>0dB,的频率范围内，其相频特性曲线,φ,(,ω,),由下往上穿过,-π,线一次（相角向增加方向穿越），称为一个正穿越，正穿越用,N,+,表示。从,-π,线开始往上称为半,个正穿越。,,,负穿越：在,L,(,ω,)>0dB,的频率范围内，其相频特性曲线,φ,(,ω,),由上往下穿过,-π,线一次（相角向减小方向穿越）， 称为一个负穿越，负穿越用,N,-,表示。从,-π,线开始往下称为半

33、个负穿越。 ,,当开环传递函数含有积分环节时，对应在对数相频曲线上,ω,为,0,+,处，用虚线向上补画　　　角。在计算正、 负穿越时， 应将补上的虚线看成对数相频曲线的一部分。,,２,.,对数频率稳定判据叙述,,在开环对数幅频特性曲线,L,(,ω,)>0,,dB,的频率范围内，对应的开环对数相频特性曲线,φ,(,ω,),对－,π,线的正、负穿越之差等于,P,/2,，,则闭环系统稳定。 即,式中：,P,为开环正极点的个数。,,,,例,8,：已知某系统结构图如图,4-21,所示，试判断该系统闭环的,稳定性。,,图,4-21,例,8,系统结构图,,,,解,：,由传递函数绘制出系统的开环对数频率特

34、性曲线如图,4-22,所示。由于系统开环传递函数中含有一个积分环节， 所以，需要在相频曲线,ω,=0,+,处向上补画,π/2,角。,,,由开环传递函数可知，该系统开环正极点个数,P,=0,。,因此，由图,4-31,可看出，在,L,(,ω,)>0 dB,的频率范围内，对应开环对数相频曲线,φ,(,ω,),对,-π,线没有穿越。即,N,+,=0,,N,-,=0,。,则根据对数稳定判据,所以系统闭环稳定。,,,图,4-22,例,8,系统开环数频率特性,,,例,9,：,,已知系统开环传递函数为,,试利用对数稳定判据判断系统在闭环时的稳定性。 ,,,解,：,由开环传递函数绘制出系统的开环频率特性如图

35、,4-22,所示。由于系统的开环传递函数中含有一个积分环节，所以， 需要在相频曲线,ω,=0,+,处向上补画,π/,2,角。,,,根据系统开环传递函数可知，该系统开环正极点个数,P,=0,。,因此，由图,4-23,可知，在,L,(,ω,)>0 dB,的频率范围内，对应开环对数相频曲线,φ,(,ω,),对,-π,线由上往下穿过,-π,线一次（负穿越），没有正穿越。即,N,+,=0,,N,-,=1,。,则根据对数稳定判据,故系统在闭环时不稳定。,,,图,4-23,例,11,系统开环对数频率特性,,,4.4.2,稳定裕量,,,控制系统必须稳定，这是它赖以正常工作的必要条件。 除此之外，系统还有相对稳

36、定性的问题，即系统的稳定程度。 系统的稳定程度利用稳定裕量来进行判断，稳定裕量是衡量一个闭环系统稳定程度的指标。常用的稳定裕量有相位稳定裕量,γ,和幅值稳定裕量,K,g,。,这些指标是根据系统开环对数频率特性来定义的。 ,,由对数稳定判据可知，若开环正极点的个数,P,=0,，,则在开环对数幅频特性曲线,L,(,ω,)>0dB,的频率范围内，对应的开环对数相频特性曲线,φ,(,ω,),对,-π,线没有穿越或正、负穿越之差等于,0,，则闭环系统稳定。如图,4-24,所示的系统均为稳定的系统。 而图,4-25,所示系统则为不稳定的系统。,,图,4-24,稳定系统分析图,,,图,4-25,不稳定系统

37、分析图,,,若系统的开环对数频率特性如图,4-26,所示，即在,L,(,ω,),＝,0 dB,时，对应的开环对数相频特性曲线,φ,(,ω,),正好穿越－,π,线，则系统的稳定性又如何呢？我们说这种系统处于临界稳定状态。,,图,4-26,临界稳定系统示意图,,,,,1,． 相位稳定裕量,γ,,,在开环对数频率特性曲线上，对应于幅值,L,(,ω,)=0,的角频率,ω,称为穿越频率，或称剪切频率，也称为截止频率，用,ω,c,表示。 ,,相位稳定裕量的描述为：当,ω,等于剪切频率,ω,c,（,ω,c,>0,）,时，对数相频特性曲线距－,180°,线的相位差叫做相位裕量， 用,γ,表示。,,图,4-2

38、7,所示为具有正相位裕量的系统。该系统不仅稳定， 而且还有相当的稳定储备,，它可以在,ω,c,的频率下，允许相位再增加,γ,度才达到临界稳定条件。,,,图,4-27,系统的相位稳定裕量和幅值稳定裕量,,,对于稳定的系统，,φ,(,ω,),线必在伯德图－,180°,线以上， 这时称为正相位裕量；对于不稳定系统，,φ,(,ω,),线必在伯德图－,180°,线以下，这时称为负相位裕量。,,因此， 相位裕量的定义为,利用相位稳定裕量,γ,判断系统稳定性的描述如下： ,,若,γ,＜,0°,，,相应的闭环系统不稳定；反之，,γ,＞,0°,，,则相应的闭环系统稳定。 ,,一般，,γ,值越大，系统的相对

39、稳定性越好。在工程中，通常要求,γ,在,30°,～,60°,之间。,,,2,． 幅值稳定裕量,K,g,（,又称为增益裕量）,,,在开环对数频率特性曲线上，对应于幅值,φ,(,ω,)=,－,180°,时的角频率,ω,称为相位交界频率，用,ω,g,表示,,,如图,4-26,所示。,,幅值稳定裕量的描述为：当,ω,为相位交界频率时，开环幅频特性的倒数，称为幅值稳定裕量，用,K,g,表示。 ,,在对数频率特性曲线上，幅值稳定裕量,K,g,相当于∠,φ,(,ω,g,)=,－,180°,时，幅频值,20lg,A,(,ω,g,),的负值，即,,利用幅值稳定裕量,K,g,判断系统稳定性的描述如下： ,,

40、若,K,g,,＜,1,，,相应的闭环系统不稳定；反之，,K,g,＞,1,，,则相应的闭环系统,稳定。,,工程中，,,一般要求幅值稳定裕量,K,g,大于,6 dB,。,,,4.5,动态性能的频域分析,,4.5.1,三频段的概念,,在利用系统的开环频率特性分析闭环系统的性能时，通常将开环对数频率特性曲线分成低频段、中频段、高频段三个频段。三频段的划分并不是严格的。一般来说，第一个转折频率以前的部分称为低频段，穿越频率,ω,c,附近的区段称为中频段， 中频段以后的部分（,ω,＞,10,ω,c,）,为高频段,,,如图,4-28,所示。,,图,4-28,三频段示意图,,,,1,． 低频段,,,在伯德图中

41、，低频段通常指,L,(,ω,),曲线在第一个转折频率以前的区段。这一频段特性完全由系统开环传递函数中串联积分环节的数目,ν,和开环增益,K,来决定。积分环节的数目（型别）确定了低频段的斜率，开环增益确定了曲线的高度。而系统的型别以及开环增益又与系统的稳态误差有关，因此低频段反映了系统的稳态性能。,,由此，可写出对应的低频段的开环传递函数为,,则低频段对数幅频特性为,,,ν,为不同值时，低频段对数幅频特性的形状分别如图,4-29,所示。曲线为一些斜率不等的直线，斜率值为,ν,·,－,20dB/dec,。,,图,4-29,低频段对数幅频特性图,,,对于常见的,Ⅰ,型系统，要求开环有一个积分环节串联

42、， 即,ν,＝,1,。,同时，为了保证系统跟踪斜坡信号的精度，开环增益,K,应足够大，这就限定了低频段的斜率和高度，斜率应为－,20 dB,，,高度将由,K,值决定。 ,,开环增益,K,和低频段高度的关系可以用多种方法确定。例如将低频段对数幅频的延长线交于,0,分贝线， 则有,故,,或,,相交点的角频率即,K,的,ν,次方根。,,,若,ν,＝,1,，,则交点频率等于,K,。,故在对数坐标的,0,分贝线上找数值为,K,的,ω,点，过此点作－,20dB,斜率的直线，即为,Ⅰ,型系统的低频段特性,,,如图,4-28,所示。 ,,,Ⅱ,型系统的,ν,值为,2,，故低频段斜率为－,40 dB,，,低

43、频段延长线与,0,分贝线的交点频率则为,。 ,,可以看出，低频段的斜率愈小、位置愈高，对应于系统积分环节的数目愈多、开环增益愈大。 故闭环系统在满足稳定性的条件下， 其稳态误差愈小， 动态响应的最终精度愈高。,,,,2,． 中频段,,,中频段是指开环对数幅频特性曲线在穿越频率,ω,c,附近（或,0,分贝线附近）的区段，这段特性集中反映了系统的平稳性和快速性。下面假定闭环系统稳定的条件下，对两种极端情况进行分析。 ,,,(1),,中频段以,-20 dB,过零线，而且占据的频率区间足够宽,,如图,4-29(a),所示，我们只从系统平稳性和快速性着眼， 可近似认为开环的整个,特性为,-20 dB

44、,的直线，其对应的开环传递函数为,,,对于单位反馈系统，闭环传递函数为,,也就是说，其闭环传递函数相当于一阶系统，其阶跃响应按指数规律变化，没有振荡，即有较高的稳定程度。其调节时间,t,s,=3/,ω,c,，,显然，截止频率,ω,c,愈高，,t,s,愈小，系统的快速性愈好。,,图,4-30,中频段对数幅频特性曲线,,,,(2),中频段以－,40dB,过零线，而且占据的频率区间足够宽,,如图,4-30(b),所示，若我们只从系统平稳性和快速性着眼， 可近似认为开环的整个特性为－,40dB,的直线，其对应的开环传递函数为,对于单位反馈系统，闭环传递函数为,,,这相当于零阻尼,(,ξ,=0),时的二

45、阶系统。系统处于临界稳定状态， 动态过程持续振荡。因此，若中频段以,-40dB,过零线，所占的频率区间不宜过宽，否则，,σ,%,和,t,s,将显著增大。 且中频段过陡，闭环系统将难以稳定。 ,,由上述分析，中频段的穿越频率,ω,c,应该适当大一些， 以提高系统的响应速度；且斜率一般以－,20dB/dec,为宜，并要有一定的宽度，以期得到良好的平稳性，保证系统有足够的相位稳定裕度，使系统具有较高的稳定性。,,,,3,． 高频段,,,高频段是指,L,(,ω,),曲线在中频段以后（,ω,＞,10,ω,c,）,的区段。 这部分特性是由系统中时间常数很小、频带很高的部件决定的。 由于远离,ω,c,，,

46、一般分贝值又较低，故对系统动态响应影响不大。 在开环幅频特性的高频段，,L,(,ω,)=20lg,A,(,ω,) << 0,，即,A,(,ω,)<<1,，,故有,由此可见，闭环幅频特性与开环幅频特性近似相等。,,,系统开环对数幅频特性在高频段的幅值，直接反映了系统对输入端高频干扰信号的抑制能力。高频特性的分贝值越低，表明系统的抗干扰能力越强。 ,,系统三个频段的划分并没有很严格的确定性准则，但是三频段的概念为直接运用开环特性,来判别稳定的闭环系统的动态性能指出了原则和方向。,,,4.5.2,典型系统,,,,1,．,典型,0,型系统,,典型,0,型系统的传递函数为,,通过前面的分析表明，,0

47、,型系统在稳态时是有静差的，通常为了保证稳定性和一定的稳态,精度，自动控制系统常用的是,Ⅰ,型系统和,Ⅱ,型系统。,,,,2,． 典型,Ⅰ,型系统,,,,1,）,典型,Ⅰ,型系统的开环传递函数,,典型,Ⅰ,型系统的开环传递函数为,,式中,:,，,典型,Ⅰ,型系统的伯德图如图,4-31,所示。图中,，,为了保证对数幅频曲线以,-20 dB/,dec,的斜率穿越,0 dB,线，必须使,ω,c,<1/,T,，即,KT,<1,。,,,图,4-31,典型,Ⅰ,型系统的伯德图,,,2,）典型,Ⅰ,型系统参数和性能指标的关系,,①,,γ,和,ξ,的关系,:,,,当,0,＜,ξ,≤0.707,时，,ξ,

48、=0.01γ,。,阻尼比,ξ,越大，则相位稳定裕量,γ,越大，系统稳定性,越好。,,,②,,σ,%,与,ξ,的关系,:,,,③,,γ,,,ω,c,与,t,s,之间的关系,:,由上式可知，调整时间,t,s,与相位稳定裕量,γ,和穿越频率,ω,c,有关。,γ,不,变时，穿越频率,ω,c,越大，调整时间,t,s,越短。,,,3,．典型,Ⅱ,型系统,,,1,）,典型,Ⅱ,型系统的开环传递函数,,典型,Ⅱ,型系统的开环传递函数为,,典型,Ⅱ,型系统的伯德图如图,4-32,所示。要使对数幅频曲线以－,20dB/dec,的斜率穿越,0dB,线，必须使,，,即应有,τ,>,T,。,,图,4-32,典型

49、,Ⅱ,型系统的伯德图,,,,2,）,K,和,τ,之间的关系,,为了得到,K,和,τ,之间的关系，定义中频宽,，,,可得,,,,3,） 典型,Ⅱ,型系统参数和性能指标的关系,,典型,Ⅱ,型系统在不同中频宽,h,时的跟随性能指标见表,4-2,。,,典型,Ⅱ,型系统是三阶系统，对于三阶及三阶以上的系统， 其时域指标和频域指标之间没有确定的数学关系。,,表,4-2,典型,Ⅱ,型系统在不同中频宽,h,时的跟随性能指标,,,4,．典型高阶系统,,,典型高阶系统的开环传递函数为,,其中,ν,≥3,，,当系统含有两个以上的积分环节时，系统不易稳定，所以实际应用中很少采用,Ⅱ,型以上的系统。,,,4.6,

50、系统频率特性的,MATLAB,仿真,,,,传统的频率分析是绘制频率特性曲线的渐近线，或者通过人工计算数据，绘制较为详细的伯德图、对数幅相频率特性图。方法复杂还不一定能够保证绘制的精度，应用,MATLAB,提供的相关函数，可以快速、精确地绘制出伯德图或对数幅相频率特性的准确曲线，并计算出频域性能指标，对系统进行分析与设计。,,,例,10,,已知控制系统的开环传递函数为,,分别判定开环放大系数,K,为,5,和,20,时闭环系统的稳定性，并求相位稳定裕量和幅值稳定裕量。,,解：,,首先打开,MATLAB,，在命令窗口输入指令如图,4-33,所示，当,K,=5,时，运行结果如图,4-34,所示，当,K,=20,时，运行结果如图,4-35,所示。,,从图中可以看出，当,K,=5,时，,γ,=13.6°,，,K,g,=6.85 dB,，闭环系统稳定，当,K,=20,时，,γ,=,－,9.66°,，,K,g,=,－,5.18 dB,，闭环系统不稳定。,,图,4-33 MATELAB,输入指令,,,图,4-34,K,=5,时，运行结果,,图,4-35,K,=20,时，运行结果,,