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1、理学院,极限存在准则,两个重要极限,小结,第六节 极限存在准则 两个重要极限,第一章 函数与极限,1.,夹逼准则,证,准则,满足下列条件,:,一、极限存在准则,极限存在准则 两个重要极限,如果数列,那末数列,的极限存在,且,n,n,n,z,y,x,及,上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到,函数,的极限,.,极限存在准则 两个重要极限,称为,如果,那末,存在,且等于,A,.,夹逼准则,.,有,准则,和,例,解,由,夹逼准则,得,极限存在准则 两个重要极限,注,利用夹逼准则是求极限的一个重要手段,将,复杂的函数,f,(,x,),做适当的放大和缩小化简,找出有共同极限值又容易求极限的函数
2、,g,(,x,),和,h,(,x,),即可,.,极限存在准则 两个重要极限,2.,单调有界准则,单调增加,单调减少,单调数列,几何解释,:,单调有界,数列必有极限,.,单调有界,有极限,有界,极限存在准则 两个重要极限,例,证,极限存在,.,显然,(1),是,单调增加的,;,(2),极限存在准则 两个重要极限,是,有界的,;,存在,.,(,舍去,),(3),极限存在,.,解得,极限存在准则 两个重要极限,(1),作为准则,的应用,极限存在准则 两个重要极限,二、两个重要极限,即,夹逼定理,该,极限的特点,:,极限存在准则 两个重要极限,例,极限存在准则 两个重要极限,解,由于,以及,夹逼定理,
3、极限存在准则 两个重要极限,.,lim,0,n,n,n,n,n,n,x,c,b,a,x,c,b,a,+,+,=,求,设,n,x,例,(2),作为准则,的应用,现证明数列,x,n,单调增加,按,牛顿二项公式,有,且,有界,.,极限存在准则 两个重要极限,类似地,显然,极限存在准则 两个重要极限,单调增加,;,无理数,单调有界数列必有极限,极限存在准则 两个重要极限,有界,;,当,x,取实数趋向 或 时,因此,中的底就是这个常数,从而,的极限都存在且等于,函数,可证明,指数函数,以及自然对数,极限存在准则 两个重要极限,“以,1,加非零无穷小为底,指数是无穷小的,倒数,其极限为数,e,”,.,该,极限的特点,:,(2),括号中,1,后的变量,(,包括符号,),与幂互为倒数,.,注,若,极限呈,但第二个特点不具备,通常,凑,指数幂使,(2),成立,.,这个重要极限应灵活的记为,:,则,极限存在准则 两个重要极限,一般有,例,极限存在准则 两个重要极限,例,例,解,原,式,=,极限存在准则 两个重要极限,2.,两个重要极限,夹逼准则,;,单调有界准则,.,极限存在准则 两个重要极限,三、小结,1.,极限存在准则,=,sin,lim,1,
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