【必备】课标通用中考数学总复习优化设计第17讲直角三角形与锐角三角函数课件

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1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,,,‹#›,考点必备梳理,考法必研突破,考题初做诊断,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,单击此处编辑母版标题样式,Page,,,‹#›,第,17,讲　直角三角形与锐角三角函数,1,考点一,考点二,考点一,直角三角形的性质及判定,,,,,,,考点一,考点二,考点二,解直角三角形,,1,.,锐角三角函数,(1),三角函数的定义及,关系,,,考点一,考点二,(2),特殊角的三角函数的值,:,考点一,考点二,2,.,解直角三角形及其应用,(1),解直角三角形的类型,:,考点一,考点二,(2),解直角三

2、角形的实际应用,:,考点一,考点二,考法,1,考,法,2,考,法,3,考,法,4,考,法,5,考,法,6,30,°,角所对直角边是斜边的一半,含,30,°,角的直角三角形具有特殊的性质,:,在直角三角形中,,30,°,角所对的直角边等于斜边的一半,.,此结论是由等边三角形的性质推出,,,它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数,.,注意,:,①,该性质是直角三角形中含有特殊度数的角,(30,°,),的特殊性质,,,在非直角三角形或一般直角三角形中不能应用,;,②,应用时,,,要注意找准,30,°,的角所对的直角边,,,以及斜边,.,考法,1,考,法,2,考,法,3,考,法,4,考

3、,法,5,考,法,6,例,1(2018,广西,),如图,,,从甲楼底部,A,处测得乙楼顶部,C,处的仰角是,30,°,,,从甲楼顶部,B,处测得乙楼底部,D,处的俯角是,45,°,,,已知甲楼的高,AB,是,120 m,,则乙楼的高,CD,是,,m(,结果保留根号,),,解析,:,由题意可得,:,∠,BDA=,45,°,,,则,AB=AD=,120,,m,,又,∵,∠,CAD=,30,°,,,∴,在,Rt,△,ADC,中,,,考法,1,考,法,2,考,法,3,考,法,4,考,法,5,考,法,6,方法点拨,在直角三角形中,,,如果一个锐角等于,30,°,,,那么它所对的直角边等于斜边的一半,.,

4、本性质适用的大前提是,“,在直角三角形中,”,.,在题中如果有一个,30,°,的角,,,而无直角时,,,必须依条件构造符合性质特征的直角三角形,,,才能由角的大小关系,,,得出边的倍分关系,.,考法,1,考法,2,考,法,3,考,法,4,考,法,5,考,法,6,直角三角形,的性质和判定,例,2(2018,广西柳州,),如图,,,在,Rt,△,ABC,中,,,∠,C=,90,°,,,BC=,4,,AC=,3,,则,sin,B,= =,(,,),答案,:,A,,解析,:,∵,∠,C=,90,°,,,BC=,4,,AC=,3,,∴,AB=,5,,故选,A.,,,考法,1,考法,2,考,法,

5、3,考,法,4,考,法,5,考,法,6,方法点拨,直角三角形中线段和角之间的数量关系,(1),边,:,直角三角形的三边满足勾股定理,,,是计算线段长度的重要工具,,,有时也用于证明线段相等,;(2),角,:,直角三角形的两锐角互余,,,可用来计算角的大小,,,也是证明角相等的重要工具,;(3),斜边中线,:,直角三角形斜边的中线等于斜边的一半也是几何证明或计算的重要工具,.,直角三角形的判定方法主要利用定义,,,即证明一个角是直角,.,另外还有两种方法,:,一是勾股定理的逆定理,,,即证明,“,a,2,+b,2,=c,2,”,,则,∠,C=,90,°,;,二是利用,“,若三角形一边上的中线等于

6、这边的一半,,,则这个三角形是直角三角形,”,这一判定方法,,,但这一方法不常用,.,考法,1,考,法,2,考法,3,考,法,4,考,法,5,考,法,6,锐角,三角函数值的求法,例,3(2018,山东德州,),如图,,,在,4,×,4,的正方形方格图形中,,,小正方形的顶点称为格点,,,△,ABC,的顶点都在格点上,,,则,∠,BAC,的正弦值是,,.,,解析,:,∵,AB,2,=,3,2,+,4,2,=,25,,AC,2,=,2,2,+,4,2,=,20,,BC,2,=,1,2,+,2,2,=,5,,∴,AC,2,+BC,2,=AB,2,,,∴,△,ABC,为直角三角形,,,且,∠,ACB=

7、,90,°,,,考法,1,考,法,2,考法,3,考,法,4,考,法,5,考,法,6,方法点拨,格点图中求某个角的三角函数值的方法,通常的做法是构造合适的直角三角形,,,然后根据格点来表示出各边的长,,,从而求出相应的三角函数值,.,在构造直角三角形时需注意,,,通常我们要去求的边或角不要分割,,,另外就是构造的直角三角形的边尽可能的是整个的格点数,,,这样便于我们求值,.,考法,1,考,法,2,考,法,3,考法,4,考,法,5,考,法,6,有关,特殊角三角函数值的,计算,,=,5,.,,方法点拨,1,.,本题考查实数的运算、指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值,,,解答本题的关键是明确它们各自的

8、计算方法,.,这是核心素养中数学运算的基本要求,.,2,.,特殊角的锐角三角函数值要记熟,,,或者把特殊角放置到直角三角形中利用相关定理与性质直接推导计算也可,;,考法,1,考,法,2,考,法,3,考,法,4,考法,5,考,法,6,锐角三角函数的应用,例,5(2018,重庆,),如图,,,AB,是一垂直于水平面的建筑物,,,某同学从建筑物底端,B,出发,,,先沿水平方向向右行走,20,米到达点,C,,,再经过一段坡度,(,或坡比,),为,i=,1,∶,0,.,75,、坡长为,10,米的斜坡,CD,到达点,D,,,然后再沿水平方向向右行走,40,米到达点,E,(,A,,,B,,,C,,,D,,,

9、E,均在同一平面内,),.,在,E,处测得建筑物顶端,A,的仰角为,24,°,,,则建筑物,AB,的高度约为,(,参考数据,:sin 24,°,≈0,.,41,cos 24,°,≈0,.,91,tan 24,°,=,0,.,45)(,,),,,,,A.21,.,7,米,B.22,.,4,米,C.27,.,4,米,D.28,.,8,米,考法,1,考,法,2,考,法,3,考,法,4,考法,5,考,法,6,答案,:,A,,解析,:,作,BM,⊥,ED,交,ED,的延长线于点,M,,,CN,⊥,DM,于点,N.,在,Rt,△,CDN,中,,,∵,CD=,10,,∴,(3,k,),2,+,(4,k,),

10、2,=,100,,∴,k=,2,,∴,CN=,8,,DN=,6,,∵,四边形,BMNC,是矩形,,,∴,BM=CN=,8,,BC=MN=,20,,EM=MN+DN+DE=,66,,考法,1,考,法,2,考,法,3,考,法,4,考法,5,考,法,6,方法点拨,求直角三角形中某锐角的三角函数值,,,常需利用勾股定理求出有关边长,,,有时还要通过作高把非直角三角形中的边和角转化到直角三角形中,.,考法,1,考,法,2,考,法,3,考,法,4,考,法,5,考法,6,解,直角三角形的实际应用,例,6(2018,山东烟台,),汽车超速行驶是交通安全的重大隐患,,,为了有效降低交通事故的发生,,,许多道路在

11、事故易发路段设置了区间测速,,,如图,,,学校附近有一条笔直的公路,l,,,其间设有区间测速,,,所有车辆限速,40,千米,/,小时,.,数学实践活动小组设计了如下活动,:,在,l,上确定,A,,,B,两点,,,并在,AB,路段进行区间测速,,,在,l,外取一点,P,,,作,PC,⊥,l,,,垂足为点,C.,测得,PC=,30,米,,,∠,APC=,71,°,,,∠,BPC=,35,°,.,上午,9,时测得一汽车从点,A,到点,B,用时,6,秒,,,请你用所学的数学知识说明该车是否超速,.,(,参考数据,:sin 35,°,≈0,.,57,cos 35,°,≈0,.,82,tan 35,°,≈

12、0,.,70,sin 71,°,≈0,.,95,cos 71,°,≈0,.,33,tan 71,°,≈2,.,90),考法,1,考,法,2,考,法,3,考,法,4,考,法,5,考法,6,解,:,在,Rt,△,APC,中,,,AC=PC,tan,,∠,APC=,30tan,,71,°,≈30,×,2,.,90,=,87,,在,Rt,△,BPC,中,,,BC=PC,tan,,∠,BPC=,30tan,,35,°,≈30,×,0,.,70,=,21,,则,AB=AC-BC=,87,-,21,=,66,,又,∵,40,,km/h≈11.1,,m/s,,∴,该车没有超速,.,,考法,1,考,法,2,考,

13、法,3,考,法,4,考,法,5,考法,6,方法点拨,1,.,解决此类问题要了解角之间的关系,,,找到与已知和未知相关联的直角三角形,,,当图形中没有直角三角形时,,,要通过作高或垂线构造直角三角形,,,当问题以一个实际问题的形式给出时,,,要善于读懂题意,,,把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决,.,2,.,一般过程是,:(1),将实际问题抽象为数学问题,(,画出平面图形,,,构造出直角三角形,,,转化为解直角三角形问题,),.,(2),先根据题目已知特点选用适当锐角三角函数,(,或边角关系,),去解直角三角形,,,得到数学问题的,答案,,,再转化得到实际问题,的,答案,.,,22

14、,2,.,(,2014,甘肃天水,),如图,,,方格纸中的每个小方格都是边长为,1,个单位长度的正方形,,,每个小正方形的顶点叫格点,.,△,ABC,的顶点都在方格的格点上,,,则,cos,A,=,,,.,,,23,3,.,(,2017,甘肃武威,),如图是一张三角形纸片,ABC,,,∠,C=,90,°,,,AC=,8 cm,,BC=,6 cm,.,现将纸片折叠,:,使点,A,与点,B,重合,,,则折痕长,等于,___cm,.,解析,:,取,AB,的中点,M,,,过点,M,作,MN,⊥,AB,交,AC,于点,N,,,因为,AC=,8,,cm,,BC=,6,,cm,,所以,AB=,10,,cm,

15、,,24,4,.,(2017,甘肃天水,),一艘轮船位于灯塔,P,南偏西,60,°,方向的,A,处,,,点,A,与灯塔,P,的距离为,20,海里,,,它向东航行到达灯塔,P,南偏西,45,°,方向上的,B,处,,,求轮船航行的距离,A,B.(,结果保留根号,),25,解,:,如图,,,过,P,作,PC,⊥,AC,交,AB,延长线于点,C,,,则,∠,APC=,60,°,,,∠,BPC=,45,°,,,AP=,20,,在,△,PBC,中,,,∵,∠,BPC=,45,°,,,∴,△,PBC,为等腰直角三角形,,,∴,BC=PC=,10,,26,5,.,(,2018,甘肃,),随着中国经济的快速发展

16、以及科技水平的飞速提高,,,中国高铁正迅速崛起,.,高铁大大缩短了时空距离,,,改变了人们的出行方式,.,如图,,,A,,,B,两地被大山阻隔,,,由,A,地到,B,地需要绕行,C,地,,,若打通穿山隧道,,,建成,A,,,B,两地的直达高铁可以缩短从,A,地到,B,地的路程,.,已知,∠,CAB=,30,°,,,∠,CBA=,45,°,,,AC=,640,公里,,,求隧道打通后与打通前相比,,,从,A,地到,B,地的路程将约缩短多少公里,?(,参考数据,:,27,解,:,过点,C,作,CD,⊥,AB,于点,D,,,在,Rt,△,ADC,和,Rt,△,BCD,中,,,∴,1,,088,-,86

17、4,=,224(,公里,),,答,:,隧道打通后与打通前相比,,,从,A,地到,B,地的路程将约缩短,224,公里,.,,28,6,.,(2015,甘肃甘南州,),如图,,,从热气球,C,上测得两建筑物,A,,,B,底部的俯角分别为,30,°,和,60,°,.,如果这时气球的高度,CD,为,90,米,.,且点,A,,,D,,,B,在同一直线上,,,求建筑物,A,,,B,间的距离,.,29,解,:,由已知,,,得,∠,ECA=,30,°,,,∠,FCB=,60,°,,,CD=,90,,EF,∥,AB,,,CD,⊥,AB,于点,D.,∴,∠,A=,∠,ECA=,30,°,,,∠,B=,∠,FCB=

18、,60,°,.,30,7,.,(2015,甘肃白银,),如图,①,所示,,,将直尺摆放在三角板,ABC,上,,,使直尺与三角板的边分别交于点,D,,,E,,,F,,,G,,,量得,∠,CGD=,42,°,.,,,,,,(1),求,∠,CEF,的度数,;,(2),将直尺向下平移,,,使直尺的边缘通过三角板的顶点,B,,,交,AC,边于点,H,,,如图,②,所示,.,点,H,,,B,在直尺上的读数分别为,4,13,.,4,,求,BC,的长,(,结果保留两位小数,),.,(,参考数据,:sin 42,°,≈0,.,67,cos 42,°,≈0,.,74,tan 42,°,≈0,.,90),31,解,

19、:,(1),∵,∠,CGD=,42,°,,,∠,C=,90,°,,,∴,∠,CDG=,90,°,-,42,°,=,48,°,,,∵,DG,∥,EF,,,∴,∠,CEF=,∠,CDG=,48,°,.,(2),∵,点,H,,,B,的读数分别为,4,13,.,4,,∴,HB=,13,.,4,-,4,=,9,.,4,,∴,BC=HB,cos,,42,°,≈9,.,4,×,0,.,74≈6,.,96,答,:,BC,的长为,6,.,96,.,,32,8,.,(2016,甘肃白银,),如图,①,是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景,.,图,②,是小明锻炼时上半身由,ON,位置运动到与地面垂直的,OM,

20、位置时的示意图,.,已知,AC=,0,.,66,米,,,BD=,0,.,26,米,,,α,=,20,°,(,参考数据,:sin 20,°,≈0,.,342,cos 20,°,≈0,.,940,tan 20,°,≈0,.,364,),.,,,,,,,,(1),求,AB,的长,;(,精确到,0,.,01,米,),(2),若测得,ON=,0,.,8,米,,,试计算小明头顶由,N,点运动到,M,点的路径,33,解,:,(1),过点,B,作,BF,⊥,AC,于点,F.,∴,AF=AC-BD=,0,.,4(,米,),,∴,AB=AF,÷,sin,,20,°,≈1,.,17(,米,),.,(2),∵,∠,MON=,90,°,+,20,°,=,110,°,,,34,