《微积分》课后答案第2章(复旦大学版)-PPT

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1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,微积分课后答案第2章(复旦大学版),n,(1),lim,2 2 2,=0,；,x,n,1,x,n n,),0,(,n,1)(2,n,),n n,n n n,(,x,n,(,x,n,2,2 2 2 2 2 4,0,，,lim,1 3 1 3,x,n,2,),1 1 1,n,n,(,n,1)(2,n,),(2),lim,n,2,n,!,=0.,证：（,1,）因为,1 1 1 1,n,1,n,n,2,2 2 2 2 2 2,而

2、且,1,2,lim,n,2,n,n,0,，,所以由夹逼定理，得,n,n,（,2,）,因为,0,n,!,1 2 3,n,1,n,n,4,，而且,lim,n,n,0,，,所以，由夹逼定理得,2,n,lim,n,n,!,0,5.,利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在,.,(1),x,1,0,x,n,+1,=,1,3,2,x,n,),，,n,=1,2,；,(2),x,1,=,2,x,n,+1,2,x,n,n,=1,2,；,(3),设,x,n,单调递增，,y,n,单调递减，且,lim,(,x,n,-,y,n,)=0,证明,x,n,和,y,n,的极限均存在,.,n,1,3,2,x,n,证：（,1

3、,）由,x,1,0,及,x,n,),知，有,x,n,0,（,n,1,2,）即数列,x,n,有下界。,1,3,1,(,x,n,2,x,n,2,x,n,2,3,x,n,3,又,x,n,1,(,n,1,2,),(,x,2,x,n,2,x,n,即,x,n,1,x,n,所以,x,n,为单调递减有下界的数列，故,x,n,有极限。,（,2,）因为,x,1,2,2,，不妨设,x,k,2,，则,此文档由天天,learn,（）为您收集整理。,x,k,1,2,x,k,2 2,2,故有对于任意正整数,n,，有,x,n,2,，即数列,x,n,有上界，,2,天天,learn,（）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在

4、线浏览及下载。,2,又,x,n,1,x,n,x,n,(2,x,n,),，而,x,n,0,x,n,2,，,所以,x,n,1,x,n,0,即,x,n,1,x,n,，,n,即数列是单调递增数列。,综上所述，数列,x,n,是单调递增有上界的数列，故其极限存在。,（,3,）由数列,x,n,单调递增，,y,n,单调递减得,x,n,x,1,，,y,n,y,1,。,又由,lim(,x,n,y,n,),0,知数列,x,n,y,n,有界，于是存在,M,0,，使,x,n,y,n,M,由,x,n,y,n,M,及,y,n,1,得，,x,n,y,n,M,y,1,M,，,由,x,n,y,n,M,及,x,n,x,1,得，,y

5、,n,x,n,M,x,1,M,，,于是，数列,x,n,是单调递增有上界的数列，,y,n,是单调递减有下界的数列，所以它,们的极限均存在。,习题,2-2,1.,证明：,lim,f,(,x,)=,a,的充要条件是,f,(,x,),在,x,0,处的左、右极限均存在且都等于,a,.,x,x,0,x,x,0,x,x,0,x,x,0,x,x,0,x,x,0,0,1,0,当,0,x,0,x,1,时，有,f,(,x,),a,，,2,0,当,0,x,x,0,2,时，有,f,(,x,),a,。,取,min,1,2,，则当,0,x,0,x,或,0,x,x,0,时，有,f,(,x,),a,，,而,0,x,0,x,或,

6、0,x,x,0,就是,0,x,x,0,，,于是,0,0,，当,0,x,x,0,时，有,f,(,x,),a,，,所以,lim,f,(,x,),a,.,x,x,0,x,x,0,x,x,0,x,x,0,x,x,0,由,0,x,x,0,就 是,0,x,0,x,或,0,x,x,0,，于 是,0,0,，当,此文档由天天,learn,（）为您收集整理。,3,天天,learn,（）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。,3,lim,f,(,x,),lim,f,(,x,),a,lim,f,(,x,),lim(,x,2,a,),lim(,x,2,a,),a,，,所以,0,x,x,x,x,0,综上

7、所述，,lim,f,(,x,)=,a,的充要条件是,f,(,x,),在,x,0,处的左、右极限均存在且都等于,a,.,x,x,0,2.,证明：若,lim,f,(,x,)=,a,则,lim,f,(,x,)=|,a|,.,并举例说明该命题之逆命题不真,.,x,x,0,x,x,0,x,x,0,0,0,，当,0,x,x,0,时，,f,(,x,),a,，而,f,(,x,),a,f,(,x,),a,，,于是,0,0,，当,0,x,x,0,时，有,f,(,x,),a,f,(,x,),a,由函数极限的定义知,lim,f,(,x,),a,。,x,x,0,例,f,(,x,),sin,x,，,lim,sin,x,1

8、,，而,lim,sin,x,1,3,3,2,2,故逆命题不真。,1,x,0,1,x,2,x,0,2,2,x,0,1 1,x,x,x,0,f,(,x,),lim,x,0,x,0,x,0,由（,1,）知,x,0,x,0,x,0,x,0,x,0,此文档由天天,learn,（）为您收集整理。,0,x,0,x,或,0,x,x,0,时，有,f,(,x,),a,.,1,lim,f,(,x,),lim e,x,0,所以，当,a,0,时，,lim,f,(,x,),存在。,x,0,4.,利用极限的几何意义说明,lim,sin,x,不存在,.,x,解：因为当,x,时，,sin,x,的值在,-1,与,1,之间来回振摆

9、动，即,sin,x,不无限接近某一,定直线,y,A,，亦即,y,f,(,x,),不以直线,y,A,为渐近线，所以,lim sin,x,不存在。,x,4,天天,learn,（）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。,4,（,5,）,错误，例如当,x,0,时，,与,(,),0,不,f,(2,k,+),(2,k,+)sin(2,k,+),2,k,+,sin,x,tan,x,cos,x,（当,x,0,时，,解：例,1,：当,x,0,时，,tan,x,sin,x,都是无穷小量，但由,cos,x,1,）不是无穷大量，也不是无穷小量。,例,2,：当,x,时，,2,x,与,x,都是无穷大量，

10、但,2,x,x,2,不是,无穷大量，也不是无穷,小量。,是无穷大量，也不是无穷小量。,2.,判断下列命题是否正确：,(1),无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量；,(2),有界函数与无穷小量之积为无穷小量；,(3),有界函数与无穷大量之积为无穷大量；,(4),有限个无穷小量之和为无穷小量；,(5),有限个无穷大量之和为无穷大量；,(6),y,=,x,sin,x,在,(-,，,+),内无界，但,lim,x,sin,x,；,x,(7),无穷大量的倒数都是无穷小量；,(8),无穷小量的倒数都是无穷大量,.,解：（,1,）错误，如第,1,题例,1,；,（,2,）正确，见教材,2.3,定理,3,；,（,

11、3,）错误，例当,x,0,时，,cot,x,为无穷大量，,sin,x,是有界函数，,cot,x,sin,x,cos,x,不是无穷大量；,（,4,）正确，见教材,2.3,定理,2,；,1,x,1,x,都是无穷大量，但它们之和,1,1,x,x,是无穷大量；,2,（,6,）,正 确，因 为,M,0,，,正,整 数,k,，,使,2,k,+,M,，从,而,2 2 2 2,M,，即,y,x,sin,x,在,(,),内无界，,此文档由天天,learn,（）为您收集整理。,习题,2-3,1.,举例说明：在某极限过程中，两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与,无穷大量之积,都不一定是无穷小量，也不一定是

12、无穷大量,.,又,M,0,，无论,X,多么大，总存在正整数,k,，使,k,X,，使,f,(2,k,),k,sin(,k,),0,M,，,即,x,时，,x,sin,x,不无限增大，即,lim,x,sin,x,；,x,（,7,）正确，见教材,2.3,定理,5,；,（,8,）错误，只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。零是无穷小量，但其倒数无意,义。,3.,指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量，哪些是该极限过程中的无穷大量,.,5,天天,learn,（）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。,5,x,4,（,4,）,lim,(,解：（,1,）,因为,lim(,x,4),0,，即

13、,x,2,时，,x,4,是无穷小量，所以,x,4,x,4,x,是无穷小量，,1,2,是有界变量，,1,(1),f,(,x,)=,2,3,x,2;,(2),f,(,x,)=ln,x,，,x,0,+,，,x,1,x,+,；,1,(3),f,(,x,)=,e,x,x,0,+,，,x,0,-,；,(4),f,(,x,)=,2,-arctan,x,x,+;,(5),f,(,x,)=,1,x,sin,x,x,;,(6),f,(,x,)=,1,x,2,1,x,2,1,，,x,.,x,2,2 2,2,1,是无穷,小量，因而,2,3,也是无穷大量。,x,1,x,x,0,x,0,x,0,（,2,）从,f,(,x,

14、),ln,x,的图像可以看出，,lim ln,x,lim ln,x,0,lim ln,x,，,当,x,1,时，,f,(,x,),ln,x,是无穷小量。,1 1 1,（,3,）从,f,(,x,),e,x,的图可以看出，,lim,e,x,lim e,x,0,，,1,x,1,x,2,arctan,x,),0,，,2,（,5,）,当,x,时，,1,x,是无穷小量，,sin,x,是有界函数，,1,x,sin,x,是无穷小,量。,（,6,）,当,x,时，,1,2,1,x,1 1,x,2,x,2,是无穷小量。,此文档由天天,learn,（）为您收集整理。,习题,2-4,1.,若,lim,f,(,x,),存在

15、，,lim,g,(,x,),不存在，问,lim,f,(,x,),g,(,x,),lim,f,(,x,),g,(,x,),是否存在，,x,x,0,x,x,0,x,x,0,x,x,0,为什么,?,解：若,lim,f,(,x,),存在，,lim,g,(,x,),不存在，则,x,x,0,x,x,0,6,天天,learn,（）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。,6,lim sin,x,0,，,lim,不存在，但,lim,f,(,x,),g,(,x,),=,lim sin,x,0,存在。,x,0,x,x,0,x,，则,lim sin,x,1,，,lim,cos,x,x,x,a,1,a

16、,2,a,m,=,A,A,n,n,a,1,a,2,a,m,n,m A,n,，即,1,x,，则,x,0,x,x,0,（,2,）,lim,f,(,x,),g,(,x,),可能存在，也可能不存在，如：,f,(,x,),sin,x,，,g,(,x,),x,x,0,1 1,1,cos,x,又 如：,f,(,x,),sin,x,，,g,(,x,),2,2,1,不存在，而,lim,f,(,x,),g,(,x,),lim,tan,x,不存在。,2,2.,若,lim,f,(,x,),和,lim,g,(,x,),均存在，且,f,(,x,),g,(,x,),，证明,lim,f,(,x,),lim,g,(,x,).,x,x,0,x,x,0,x,x,0,x,x,0,x,x,0,x,x,0,0,x,x,0,1,时，有,A,f,(,x,),，当,0,x,x,0,2,时，有,g,(,x,),B,令,min,1,2,，则当,0,x,x,0,时，有,A,f,(,x,),g,(,x,),B,从而,A,B,2,，由,的任意性推出,A,B,即,lim,f,(,x,),lim,g,(,x,),.,x,x,0,x,x,0,3.,利