《命题及其关系》

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1、,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,命题,及其关系,命题及其关系,1.1.1,命题,思考,下列语句的表述形式有什么特点,?,你能判断,它们的真假吗,?,（,1,）,125;,（,2,）,3,是,12,的约数,;,（,3,）,0.5,是整数,;,（,4,）对顶角相等,;,（,5,）,3,能被,2,整除,;,（,6,）若,x,2,=1,则,x=1.,语句都是陈述句，,并且可以判断真假。,命题的概念,用语言、符号或式子表达的，可以,判断真假,的,陈述句,叫做,命题,。,判断为真的语句叫做,真命题,。,判断为假的语句叫做,假命题,。,注意：,含有变

2、量且在未给定变量的值之前无法确定语句的真假。,（,1,）,125;,（,2,）,3,是,12,的约数,;,（,3,）,0.5,是整数,;,（,4,）对顶角相等,;,（,5,）,3,能被,2,整除,;,（,6,）若,x,2,=1,则,x=1.,今天天气如何？,你是不是作业没交？,这里景色多美啊！,-2,不是整数。,43,。,x4,。,看看下列语句是不是命题？,不是（疑问句）,不是（疑问句）,不是（感叹句）,是,是,不是,例,1,判断下面的语句是否为命题,?,若是命题，指出它的真假。,(1),空集是任何集合的子集,.,(2),若整数,a,是素数,则,a,是奇数,.,(3),指数函数是增函数吗,?,

3、(4),若平面上两条直线不相交,则这两条直线平行,.,(5),(6)x15.,（是，真）,（是，真）,（是，假）,（是，假）,（不是命题）,（不是命题）,练习,判断下列语句是否是命题,.,（,1,）求证 是无理数。,（,2,）,（,3,）你是高二学生吗？,（,4,）并非所有的人都喜欢苹果。,（,5,）一个正整数不是质数就是合数。,（,6,）,x+30.,(1)(3)(6),不是命题，,(2)(4)(5),是命题。,“,若,p,则,q,”,形式的命题,命题,“,若整数,a,是素数，则,a,是奇数。,”,具有,“,若,p,则,q,”,的形式。,q,p,通常,我们把这种形式的命题中的,p,叫做命题的

4、,条件,q,叫做命题的,结论,。,“若,p,则,q”,形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式,也可写成“,如果,p,那么,q,”“,只要,p,就有,q,”,等形式。,“若,p,则,q”,形式的命题的优点是条件与结论容易辨别,缺点是太格式化且不灵活,.,“,若,p,则,q,”,形式的命题的书写,了解命题的条件与结论。,对于一些条件与结论不明显的命题,一般采取先添补一些命题中省略的词句,确定条件与结论。,如命题,:,“,垂直于同一条直线的两个平面平行,”,。,写成,“,若,p,则,q,”,的形式为：,若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行。,例,2,指出下列命题中的条件,p,和结论,q,

5、：,若整数,a,能被,2,整除，则,a,是偶数；,菱形的对角线互相垂直且平分。,解：,1),条件,p,：整数,a,能被,2,整除，,结论,q,：整数,a,是偶数。,2),写成若,p,，则,q,的形式：若四边形是菱形，,则它的对角线互相垂直且平分。,条件,p,：四边形是菱形，,结论,q,：四边形的对角线互相垂直且平分。,例,3,把下列命题改写成,“,若,p,则,q,”,的形式,并判定真假。,(1),负数的平方是正数,.,(2),偶函数的图像关于,y,轴对称,.,(3),垂直于同一条直线的两条直线平行,(4),面积相等的两个三角形全等,.,(5),对顶角相等,.,真命题,真命题,假命题,假命题,真

6、命题,3,、把下列命题改写成“若,p,则,q”,的形式，并判断它们的真假,.,（,1,）等腰三角形两腰的中线相等；,（,2,）偶函数的图象关于,y,轴对称；,（,3,）垂直于同一个平面的两个平面平行。,(1),若三角形是等腰三角形，则三角形两边上的中线相等。这是,真命题,。,(2),若函数是偶函数，则函数的图象关于,y,轴对称，这是,真命题,。,(3),若两个平面垂直于同一平面，则这两个平面互相平行。这是,假命题,。,命题及其关系,1.1.2,四种命题,命题及其关系,思考,?,下列四个命题中，命题,(1),与命题,(2)(3)(4),的条件和结论,之间分别有什么关系,?,(1),若 是正弦函数

7、，则 是周期函数；,(2),若 是周期函数，则 是正弦函数；,(3),若 不是正弦函数，则 不是周期函数；,(4),若 不是周期函数，则 不是正弦函数；,命题,(1),与命题,(2),的条件和结论互换,.,发现,:,原命题为,:,逆命题为,:,命题,(1)(2),的关系,?,这两个命,题叫做,互逆命题,;,其中一个命题叫做,原命题,另,一个叫做原命题的,逆命题,.,思考,?,下列四个命题中，命题,(1),与命题,(2)(3)(4),的条件和结论,之间分别有什么关系,?,(1),若 是正弦函数，则 是周期函数；,(2),若 是周期函数，则 是正弦函数；,(3),若 不是正弦函数，则 不是周期函数

8、；,(4),若 不是周期函数，则 不是正弦函数；,发现,:,命题,(1)(3),的关系,?,命题,(3),把命题,(1),的条件和结论否定,.,这两个命,题叫做,互否命题,;,其中一个命题叫做,原命题,另,一个叫做原命题的,否命题,.,原命题为,:,否命题为,:,思考,?,下列四个命题中，命题,(1),与命题,(2)(3)(4),的条件和结论,之间分别有什么关系,?,(1),若 是正弦函数，则 是周期函数；,(2),若 是周期函数，则 是正弦函数；,(3),若 不是正弦函数，则 不是周期函数；,(4),若 不是周期函数，则 不是正弦函数；,发现,:,命题,(1)(4),的关系,?,命题,(4)

9、,把命题,(1),的条件和结论互换否定,.,这两,个命题叫做,互为逆否命题,;,其中一个命题叫做,原命题,另一个叫做原命题的,逆否命题,.,原命题为,:,逆否命题为,:,、,互否命题：,如果第一个命题的条件和结论是第二个命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做,互否命题,。如果把其中一个命题叫做,原命题,，那么另一个叫做,原命题的否命题,。,、,互为逆否命题：,如果第一个命题的条件和结论分别是第二个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做,互为逆否命题,。,、,互逆命题：,如果一个命题的条件和结论是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做,互逆命题,。如果把其中一个命题叫做,原命题

10、,，那么另一个叫做,原命题的否命题,。,三个概念,条件的否定，记作,“,”,。读作,“,非,”,。,若,p,则,q,逆否命题：,原命题：,逆命题：,否命题：,若,q,则,p,若,p,则,q,若,q,则,p,一个符号,1,、把下列各命题写成,“,若,P,则,q,”,的形式：（,1,）正方形的四边相等。,若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。,若一个点在线段的垂直平 分线上,则它到这条线段两端点的距离相等。,（,2,）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。,例题,2,、分别写出下列各命题的逆命题、否命题和逆否命题：,（,1,）正方形的四边相等。,逆命题,：,如果一个四边形四边相等，那么它是

11、正方形。,否命题,：,如果一个四边形不是正方形，那么它的四条边不相等。,逆否命题,：,如果一个四边形四边不相等，那么它不是正方形。,原命题：如果一个四边形是正方形，那么它的四条边相等。,2,、分别写出下列各命题的逆命题、否命题和逆否命题：（,1,）正方形的四边相等。（,2,）若,X=1,或,X=2,，则,X,2,3X+2=0,。,逆否命题：,若,X,2,，,则,且,。,逆命题：,若,X,2,，则或。,否命题：,若,且,，,则,。,结论,1,：,要写出一个命题的另外三个命题关键是,分清命题的题设和结论（即把原命题写成“若,P,则,q”,的形式）,注意：,三种命题中最难写 的是否命题,。,结论,2

12、,：,（,1,）“或”的否定为“且”，,（,2,）“且”的否定为“或”，,（,3,）“都”的否定为“不都”。,填空：,（,1,）命题“末位是,0,的整数，可以被,5,整除”的逆命题是：,（,2,）命题“线段的垂直平分线上的点与这条线段两端点的距离相等”的否命题是：,（,3,）命题“对顶角相等”的逆否命题是：,（,4,）命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是：,若一个整数可以被,5,整除，则它的末位是,0,。,若一个点不在线段的垂直平分线上，则它到这条线段两端点的距离不相等。,若两个角不相等，则它们不是对顶角。,若一条直线是圆的切线，则它到圆心的距离等于半径。,设原命题为“

13、,已知,a,b,是实数,若,a+b,是无理数,则,a,b,都是无理数”,.,试写出它的逆命题,否命题,与逆否命题,并分别判断它们的真假,.,解,:,逆命题,:,已知,a,b,是实数,若,a,b,都是无理数,则,a+b,是无理数,.,否命题,:,已知,a,b,是实数,若,a+b,是有理数,则,a,b,不都是,无理数,.,逆否命题,:,已知,a,b,是实数,若,a,b,不都是,无理数,a+b,是有理数,.,(,假,）,(,假,）,(,假,）,5.,设原命题为“,若,x=2,或,x=3,则,x,2,5x+6=0”.,试写出它的逆命题,否命题,与逆否命题,.,解,:,逆命题,:,若,x,2,5x+6=

14、0,则若,x=2,或,x=3.,否命题,:,若,x2,且,x 3,则,x,2,5x+6 0.,逆否命题,:,若,x,2,5x+6 0,则,x2,且,x 3.,准确地写出否定形式是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式,.,正面,词语,等于,大于,小于,是,都是,正面,词语,全,能,至少有一个,至多有一个,至少有,n,个,不等于,不大于,不小于,不是,不都是,不全,否定,否定,一个也,没有,不能,至多有,n-1,个,至少有,两个,四种命题之间的相互关系：,原命题,若,p,则,q,逆命题,若,q,则,p,否命题,若,p,则,q,逆否命题,若,q,则,p,互逆,互否,互否,互逆,互为 逆否,观察

15、与思考,？,你能判断它们,的真假性吗,?,(,真,),(,假,),(,假,),(,真,),2,）原命题：若,a=0,则,ab,=0,。,逆命题：若,ab,=0,则,a=0,。,否命题：若,a 0,则,ab0,。,逆否命题：若,ab0,则,a0,。,(,真,),(,假,),(,假,),(,真,),(,真,),四种命题的真假性是否有一定的相互关系呢？,例子：,1,）原命题：若,x=2,或,x=3,则,x,2,-5x+6=0,。,逆命题：若,x,2,-5x+6=0,则,x=2,或,x=3,。,否命题：若,x2,且,x3,则,x,2,-5x+60,。,逆否命题：若,x,2,-5x+60,，则,x2,且

16、,x3,。,(,真,),(,真,),(,真,),3),原命题：若,a b,则,ac,2,bc,2,。,逆命题：若,ac,2,bc,2,则,ab,。,否命题：若,ab,则,ac,2,bc,2,。,逆否命题：若,ac,2,bc,2,则,ab,。,（假）,（真）,（真）,（假）,想一想：,由以上三例我们能发现什么？,结 论：,原命题与逆否命题同真假。,原命题的逆命题与否命题同真假。,（,2,）两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性,没有关系。,（,1,）,即,:,两个命题互为逆否命题,他们有相同的真假性,.,原命题,逆命题,否命题,逆否命题,一般地,四种命题的真假性,有而且仅有下面四种情况,:,真,真,真,真,真,假,假,假,假,假,假,假,假,真,真,真,练一练：,判断下列说法是否正确。,1,）一个命题的逆命题为真，,它的逆否命题不一定为真；,（对）,2,）一个命题的否命题为真，,它的逆命题一定为真。,（对）,3,）一个命题的原命题为假，,它的逆命题一定为假。,（错）,4,）一个命题的逆否命题为假，,它的否命题为假。,（错）,例题讲解,例,1,：设原命题是：当,c0,时，若,ab,则,