第一章数与式课件

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1、,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,,,,单击此处编辑母版标题样式,,,,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,,,,单击此处编辑母版标题样式,,,第一章　数与式,第一节　实数及其运算,第一章　数与式,1,知识点一,实数的分类,1,．按实数的定义来分,知识点一 实数的分类,2,2,．按实数的正负来分,2．按实数的正负来分,3,正确区别有理数与无理数是认识实数的一个重点内容．常,见无理数的形式归纳如下：①开方开不尽的数，如 ，,－ ， ，,…,；②某些三角函数值，如,sin 60°,，,tan 30°,，,…,；③类似循环小数型，如,1.0

2、10 010 001…,，,4.151 151 115…,，,…,；④,π,型，如,π,， ，,….,正确区别有理数与无理数是认识实数的一个重点内容．常,4,知识点二,实数的相关概念,1,．数轴：规定了,_______,、,_________,和,_________,的直线,叫做数轴，实数与数轴上的点是,___________,的．,应用,在数轴上距离原点,4,个单位长度的点表示的数是,____,．,原点,正方向,单位长度,一一对应,±4,知识点二 实数的相关概念 原点 正方向 单位长度 一一对应,5,在数轴上表示一个无理数,(,如－,),时，可考虑利用勾股定理的知识进行解答．,在

3、数轴上表示一个无理数(如－ )时，可考虑利用勾股定理,6,2,．相反数：只有,_______,不同的两个数叫做互为相反数，,即：数,a,的相反数是,______,，这里,a,表示任意一个实数．,特别地，,0,的相反数还是,0.,应用,已知,m,，,n,互为相反数，那么,7,－,m,－,n,＝,____,．,符号,－,a,,7,2．相反数：只有_______不同的两个数叫做互为相反数，,7,(1)a,＋,b,＝,0,⇔,a,，,b,互为相反数；,(2),在数轴上，表示相反数的两个数位于原点两侧，且到原点的距离相等．,(1)a＋b＝0⇔a，b互为相反数；(2)在数轴上，表示相反,8,3,．绝

4、对值：一般地，数轴上表示数,a,的点与原点的距离叫,做数,a,的绝对值，记作,______,．由绝对值的定义可知：一个,正数的绝对值是,_______,，一个负数的绝对值是,_________,___,，,0,的绝对值是,____,．即,|a|,＝,,|a|,它本身,它的相反,数,,0,3．绝对值：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫 |a|,9,应用,若,a,为有理数，那么－,|a|,表示的数是什么数？,,答案：,－,|a|,＝,应用 若a为有理数，那么－|a|表示的数是什么数？,10,(1),互为相反数的两个数的绝对值相等；,(2),非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．,

5、(1)互为相反数的两个数的绝对值相等；(2)非负数的绝对值是,11,4,．倒数：如果两个数的,__________,，那么称其中一个数,是另一个数的倒数，也称这两个数互为倒数．特别地，,_________,的倒数还是它本身，,____,没有倒数．,应用,若,a,，,b,互为倒数，那么,(,－,ab),2 017,＝,______,．,乘积是,1,,1,和－,1,,0,－,1,4．倒数：如果两个数的__________，那么称其中一个数,12,(1),用数学语言表述为：若,a,·,b,＝,1,⇔,a,，,b,互为倒数；,(2),负数的倒数仍然是负数，正数的倒数仍然是正数．,(1)用数学语言表述为

6、：若a·b＝1⇔a，b互为倒数；,13,5,．平方根、算术平方根与立方根,(1),平方根：一般地，如果一个数,x,的,_______,等于,a,，即,x,2,＝,a,，那么这个数,____,就叫做,____,的平方根,(,也叫做,_________),，,记作：,__________,．正数的平方根有两个，它们互为相反数；,0,的平方根是,____,，负数,_______,平方根．,(2),算术平方根：一般地，如果一个正数,x,的,_______,等于,a,，,即,_____,，那么这个正数,x,就叫做,a,的,___________,．,a,的算术,平方根记为,.,特别地，,0,的算术平方根

7、是,____.,平方,,x,,a,二次方根,,x,＝,±,,0,没有,平方,x,2,＝,a,算术平方根,,0,5．平方根、算术平方根与立方根 平方 x a 二次方根,14,(3),立方根：一般地，如果一个数,x,的,_______,等于,a,，即,x,3,＝,a,，那么这个数,x,叫做,a,的立方根,(,也叫做,_________),．记,作：,x,＝,.,正数的立方根是,_______,，,0,的立方根是,____,，,负数的立方根是,_______,．,应用,一个数的平方根与它的立方根相等，则这个数是,____,．,立方,三次方根,正数,,0,负数,,0,(3)立方根：一般地，如果一个

8、数x的_______等于a，即,15,(1),平方根等于它本身的数是,0,，算术平方根等于它本身的数有,0,和,1,，立方根等于它本身的数有－,1,，,0,和,1,；,(2),一个数最多有一个算术平方根、一个立方根和两个平方根,.,(1)平方根等于它本身的数是0，算术平方根等于它本身的数有0,16,知识点,三,科学记数法与近似数,1,．科学记数法：一般地，把一个绝对值大于,10,或小于,1,的,数表示成,________,的形式,(,其中,a ____________________,，,n,是整数,),，这种记数方法叫做科学记数法．,,a×10,n,,大于或等于,1,且小于,10,知识点三

9、科学记数法与近似数 a×10n 大于或等于1且小于,17,2,．近似数：在很多情况下，很难取得准确数，或者不必使,用准确数，而可以使用,_______,．近似数与准确数的接近,程度，可以用,_______,表示．,应用,中国“蛟龙号”深潜器下潜深度为,7 062,米，用科学,记数法表示为,____________,米．,近似数,精确度,,7.062×10,3,,2．近似数：在很多情况下，很难取得准确数，或者不必使近似数精,18,(1),用科学记数法可以表示较大的数也可以表示较小的数；,(2),在用科学记数法表示有单位的数时，要先转换计量单,位，然后再确定,a,和,n,的值；,(3),在取近似数

10、时，一般采用四,舍五入法；,(4),从一个数的左边第一个不是,0,的数字起，到,末尾数字止，所有数字都是这个数的有效数字．,(1)用科学记数法可以表示较大的数也可以表示较小的数；,19,知识点,四,实数的大小比较,1,．数轴比较法：在数轴上，右边点表示的数比左边点表示,的数,_____,．,2,．性质比较法：,(1),正数,_______0,，负数,_______0,，正数,_______,负数．,(2),两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较,大小，绝对值大的,_______,．此性质用数学符号语言表示,为：①若,a,＞,0,，,b,＞,0,，且,|a|,＞,|b|,，则,a,＞,b

11、,；②若,a<0,，,b<0,，且,|a|,＞,|b|,，则,a

12、商法、平方法、倒数法、有理化法等．,(1)两个无理数比较大小时，可以转化为比较它们被开方数的大小,22,知识点,五,实数的运算,1,．基本运算法则,(1),加法法则：同号两数相加，取,_______,符号，并把,_________,相加．异号两数相加，绝对值相等时和为,____,；,绝对值不相等时，取绝对值,_________,的符号，并用,_____,的绝对值减去较小的绝对值．一个数同,____,相加，仍得这,个数．,相同的,绝对值,,0,较大的数,较大,,0,知识点五 实数的运算相同的 绝对值 0 较大的数较大 0,23,(2),减法法则：减去一个数等于加上这个数的,_______,．,

13、(3),乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得,_____,，并把,绝对值,_______,．,(4),除法法则：两数相除，同号得,_____,，异号得,_____,，并,把绝对值,_______,；除以一个不为,0,的数，等于乘以这个数,的,_______,．,相反数,负,相乘,正,负,相除,倒数,(2)减法法则：减去一个数等于加上这个数的 _______．,24,2,．指数幂,(1),乘方：求,n,个相同因数的,_________,，叫做乘方，乘方,的结果叫做,_____,．在,a,n,中，,a,叫做,_____,，,n,叫做,_______,．,(2),零指数幂：任何不等于,0,的数的,0

14、,次幂都等于,1.,即,_____,(a≠0),．,(3),负整数幂：任何不等于,0,的数的－,p,次幂等于这个数的,p,次幂的倒数．即,___________________________,．,积的运算,幂,底数,指数,a,0,＝,1,a,－,p,＝,(a≠0,，,p,为正整数,),2．指数幂积的运算 幂 底数 指数 a0＝1a－p＝ (,25,3,．混合运算顺序,在实数范围内的运算中，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号的要先算括号内的；没有括号，在同一级运算中，要按从左至右的顺序依次运算．,应用,计算：－,1,4,－,(1,－,0.5)× ×[2,－,(,－,3),2,]

15、,．,解：,原式＝－,1,－,0.5× ×(2,－,9),＝－,1,－,(,－,),＝,.,3．混合运算顺序,26,(1),在实数范围内，运算律仍然适用；,(2),在有负数参与的运算中，一定要确定好每一步的符号，保证结果正确．,(1)在实数范围内，运算律仍然适用；(2)在有负数参与的运算,27,4,．计算器的使用,(1),计算器的主要按键符号及功能说明,(,以大雁,DY,－,570,初,中型计算器为例,),：,ON/C(,开机,/,清除,),；,OFF(,关机键,),；,2ndF(,第二功能选择键,),；,ANS(,最终答案存储器,),；,x,－,1,(,倒数,),；,y,x,(,乘幂运算,

16、),；,x,2,(,平方,),；,(,方根运算,),；,(,开平方,),；,(,开立方,),；,a,b,/,c,(,分数输入,),．,4．计算器的使用,28,(2),键盘上有些键的上方还注明这个键的其他功能,(,称为第二功能,),，这个功能通常用不同的颜色标明以区别于这个键的第一功能，所有第二功能的使用，均应先按一下,2ndF,，再按一下第二功能对应的键．,应用,用计算器计算，按键顺序是 ＝,_____,．,,27,(2)键盘上有些键的上方还注明这个键的其他功能(称为第二功能,29,(1),计算器的使用可以有效提高运算速度；,(2),利用计算器还可以探索一些有趣的数学规律．,(

17、1)计算器的使用可以有效提高运算速度；(2)利用计算器还可,30,考点一,实数的有关概念,例,1,(2017·,乌鲁木齐,),如图，数轴上点,A,表示,a,，则,|a|,是,( ),,,A,．,2 B,．,1 C,．－,1 D,．－,2,考点一 实数的有关概念,31,【,分析,】,,利用数轴和绝对值的概念进行解答．,【,自主解答,】,,从数轴可得,a,＝－,2,，那么,|a|,＝,|,－,2|,＝,2.,故选,A.,【分析】 利用数轴和绝对值的概念进行解答．,32,对于给定的一个实数,a,，它的相反数是－,a,，它的倒数是,,(a≠0),，它的绝对值等于数

18、轴上实数,a,到原点的距离．,对于给定的一个实数a，它的相反数是－a，它的倒数是,33,1,．,(2017·,青岛,),－ 的相反数是,( ),A,．,8 B,．－,8 C. D,．－,2,．,(2017·,聊城,)64,的立方根是,( ),A,．,4 B,．,8 C,．,±4 D,．,±8,C,A,1．(2017·青岛)－ 的相反数是( )CA,34,考点,二,科学记数法与近似数,例,2,(2017·,泰安,)“2014,年至,2016,年，中国同‘一带一路’沿线国家贸易总额超过,3,万亿美元”．将数据

19、,3,万亿美元用科学记数法表示为,(,,),A,．,3×10,14,美元,B,．,3×10,13,美元,C,．,3×10,12,美元,D,．,3×10,11,美元,考点二 科学记数法与近似数,35,【,分析,】,,首先进行“万亿美元”与“美元”之间的转化，然后利用科学记数法的表示方法表示出来即可．,【,自主解答,】,3,万亿美元＝,3 000 000 000 000,美元＝,3×10,12,美元．故选,C.,【分析】 首先进行“万亿美元”与“美元”之间的转化，然后利用,36,对于,10,的指数大于,0,的情形，数出“除了第一位以外的数,位”的个数，即代表,0,的个数，如,1 800 000 0

20、00 000,，除,最高位,1,外还有,12,位，故科学记数法写作,1.8×10,12,；对于,10,的指数小于,0,的情形，数出“非有效零的总数,(,第一个非,零数字前的所有零的总数,)”,，如,0.009 345 93,，第一位,非零数字,(,有效数字,)9,前面有,3,个零，科学记数法写作,9.345 93×10,－,3,.,另外，需要注意科学记数法与近似数、,有效数字的综合考查．,对于10的指数大于0的情形，数出“除了第一位以外的数,37,3,．,(2017,·,日照,),铁路部门消息：,2017,年“端午节”小长,假期间，全国铁路客流量达到,4 640,万人次,.4 640,万用科,

21、学记数法表示为,( ),A,．,4.64×10,4,B,．,4.64×10,5,,C,．,4.64×10,7,D,．,4.64×10,8,C,3．(2017·日照)铁路部门消息：2017年“端午节”小长,38,4,．,(2017,·,菏泽,),生物学家发现了一种病毒，其长度约为,0.000 000 32 mm,，数据,0.000 000 32,用科学记数法表示,正确的是,( ),A,．,3.2×10,7,B,．,3.2×10,8,C,．,3.2×10,－,7,,,D,．,3.2×10,－,8,C,4．(2017·菏泽)生物学家发现了一种病毒，其长度约为C,39,考点,三,实

22、数的大小比较,例,3,(2017·,沂源县二模,),在实数,0,，－ ，－ ，,|,－,2|,中，最小的数是,(,,),A,．,0 B,．－,C,．－,D,．,|,－,2|,考点三 实数的大小比较,40,【,分析,】,,首先把式子化简，根据正数都大于,0,，负数都小于,0,，两个负数绝对值大的反而小即可解答．,【,自主解答,】,∵|,－,2|,＝,2,，∴最小数从－ 和－ 中选．,∵|,－,|,＞,|,－,|,，∴－,<,－,.,故选,B.,【分析】 首先把式子化简，根据正数都大于0，负数都小于,41,(1),对于含有绝对值、乘方及开方运算的数要先进行计算，化成最简形式，

23、再进行比较．,(2),在既有负数，又有,0,和正数的一组数中，若要求最小的数，只要在负数中比较，找其最小的数即可；若要求最大的数，只要在正数中比较，找其最大的数即可．,(1)对于含有绝对值、乘方及开方运算的数要先进行计算，化成最,42,5,．在,(,－,1),2 017,，,(,－,3),0,， ，,( ),－,2,中，最大的数是,( ),D,5．在(－1)2 017，(－3)0， ，( )－2中,43,6,．若－,1,＜,m,＜,0,，且,n,＝ ，则,m,，,n,的大小关系是,( ),A,．,m,＞,n B,．,m,＜,n,C,．,m,＝,n

24、 D,．不能确定,A,6．若－1＜m＜0，且n＝ ，则m，n的大小关系是(,44,考点四,实数的运算,例,4,计算：,2,－,1,－,3tan 30°,＋,(2,－,),0,＋,.,【,自主解答,】,,原式,=,考点四 实数的运算,45,在实数的运算过程中，经常用到的公式有以下几种：,a,－,p,＝,(a,－,1,),p,＝ ，,a,0,＝,1(a≠0),，同时注意与实数的绝对值、,二次根式的运算、特殊角的三角函数相结合的题目．,在实数的运算过程中，经常用到的公式有以下几种：a－p＝,46,7,．,(2017,·,河北,),如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微,信对话，根据对话内容

25、，下列选项错误的是,( ),D,7．(2017·河北)如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微D,47,8,．若按下面的按键顺序进行计算，其结果是,_____,．,,67,8．若按下面的按键顺序进行计算，其结果是_____． 67,48,雷点一,实数的运算错误,例,1,雷点一 实数的运算错误,49,以上解答过程中错误的步骤是,_____,，错误的原因是,_______________________________,．,请给出正确的解答过程：,解：,,①②,负指数幂运算错误；乱用运算律,以上解答过程中错误的步骤是 _____，错误的原因是①② 负,50,雷点二,计算器使用不熟练,例,2,(

26、2017·,烟台,),如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下：,,则输出结果应为,(,,),雷点二 计算器使用不熟练,51,解：根据以上按键可列出算式：,解：根据以上按键可列出算式：,52,以上解答过程中错误的步骤是,_____,，错误的原因是,___________________________,．,请给出正确的解答过程：,解：,①,对计算器按键设置理解有误,以上解答过程中错误的步骤是_____，错误的原因是 ① 对,53,第二节　整式与因式分解,第二节　整式与因式分解,54,知识点,一,代数式,1,．概念：用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来,的式子叫代数

27、式．特别地，单独一个数或,_______,也是代,数式．,2,．代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数,中的运算关系，计算得出的结果．,字母,知识点一 代数式 字母,55,应用,(2017,·,广东,),已知,4a,＋,3b,＝,1,，则整式,8a,＋,6b,－,3,的值,为,______,．,－,1,应用 (2017·广东)已知4a＋3b＝1，则整式8a＋6b,56,知识点二,整式的有关概念,积,数字因数,指数的和,和,最高,知识点二 整式的有关概念积 数字因数指数的和和最高,57,应用,(2017,·,西安,) x,2,y,是,____,次单项式．,,3,应用 (2017·西安)

28、 x2y是____次单项式． 3,58,2,．同类项：所含字母相同，并且相同字母的,_______,也相,同的项叫做同类项．,应用,(2017,·,凉山州,),若－,x,m,＋,3,y,与,2x,4,y,n,＋,3,是同类项，则,(m,＋,n),2 017,＝,______,．,指数,－,1,2．同类项：所含字母相同，并且相同字母的_______也相,59,同类项与相同字母的顺序无关，与系数的大小无关，如：,－,a,2,b,与,3ba,2,是同类项．特别地，所有常数项都是同类项．,同类项与相同字母的顺序无关，与系数的大小无关，如：,60,3,．合并同类项：把多项式中同类项合并成,_____,

29、，叫做合,并同类项．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类,项的,___________,，且字母连同它的指数,_______,．,一项,系数的和,不变,3．合并同类项：把多项式中同类项合并成 _____，叫做合一,61,应用,(2017,·,安顺,),下列各式运算正确的是,( ),A,．,2(a,－,1),＝,2a,－,1 B,．,a,2,b,－,ab,2,＝,0,C,．,2a,3,－,3a,3,＝,a,3,D,．,a,2,＋,a,2,＝,2a,2,D,应用 (2017·安顺)下列各式运算正确的是( ),62,(1),合并同类项时，字母和字母的指数不能变，也不能丢

30、掉字母及其指数；,(2),多项式的项交换时，符号要一起移动，不能把符号丢掉；,(3),合并同类项后，只要不再有同类项就是最后的结果．,(1)合并同类项时，字母和字母的指数不能变，也不能丢掉字母及,63,知识点,三,整式的运算,1,．幂的运算法则,(1),同底数幂相乘：,____________,．,(2),同底数幂相除：,__________________,．,(3),幂的乘方：,_________,．,(4),积的乘方：,___________,．,(5),零指数幂：,___________,．,(6),负指数幂：,_______________,．,a,m,·,a,n,＝,a,m,＋,n

31、,a,m,÷a,n,＝,a,m,－,n,(a≠0),(a,m,),n,＝,a,mn,(ab),n,＝,a,n,b,n,a,0,＝,1(a≠0),a,－,p,＝,(a≠0),知识点三 整式的运算am·an＝am＋nam÷an＝am－n,64,应用,计算下列各式：,(1)x,3,·,x,2,·,x,＝,____,；,(2)x,3,÷x,2,÷x,4,＝,_____,；,(3)(x,3,),2,＝,____,；,(4)(,－,2x,3,y),3,＝,_________,；,(5)(π,－,2 017),0,＝,____,；,(6)(,－,),－,2,＝,_____,．,,x,6,,,x,6,,－,8

32、x,9,y,3,,,1,应用 计算下列各式： x6 x6 －8x9y3 1,65,(1),对于含有三个或三个以上同底数幂相乘,(,除,),、幂,(,积,),的乘方等运算，法则仍然适用；,(2),运算法则中的底数和,指数，可取一个或几个具体的数，也可以单独取一个字母,或一个单项式，甚至可以是一个多项式；,(3),在解决问题,时，注意法则的逆向应用和灵活应用．,(1)对于含有三个或三个以上同底数幂相乘(除)、幂(积),66,2,．整式的加减,一般地，几个整式相加减，有括号的先,_________,，然后,再,___________,．,应用,(2017,·,泰州,),已知,2m,－,3n,＝

33、－,4,，则代数式,m(n,－,4),－,n(m,－,6),的值为,____,．,去括号,合并同类项,,8,2．整式的加减 去括号 合并同类项 8,67,去括号时，如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．,去括号时，如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号,68,3,．整式的乘法,(1),单项式与单项式相乘，把它们的系数、,___________,分,别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同,_____,_____,作为积的一个因式．,(2),单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的

34、,_________,，再把所得的积,_______,．,同底数幂,它的,指数,每一项,相加,3．整式的乘法 同底数幂 它的指数 每一项 相加,69,(3),多项式与多项式相乘，先用一个多项式的,_________,乘,另一个多项式的每一项，再把所得的积,_______,．,(4),乘法公式：①平方差公式：两个数的和与这两个数的差,的积，等于这两个数的平方差，用字母表示为,(a,＋,b)(a,－,b),＝,a,2,－,b,2,；②完全平方公式：两个数的和,(,或差,),的平方，等,于它们的平方和，加上,(,或减去,),它们的积的,2,倍，用字母表,示为,(a±b),2,＝,a,2,±2ab,

35、＋,b,2,.,每一项,相加,(3)多项式与多项式相乘，先用一个多项式的_________,70,应用,(2017,·,徐州,),下列运算正确的是,( ),A,．,a,－,(b,＋,c),＝,a,－,b,＋,c B,．,2a,2,·,3a,3,＝,6a,5,C,．,a,3,＋,a,3,＝,2a,6,D,．,(x,＋,1),2,＝,x,2,＋,1,B,应用 (2017·徐州)下列运算正确的是( )B,71,(1),单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，而且项数,与相乘以前那个多项式的项数相同；,(2),多项式与多项式,相乘，在把所得积相加的过程中，注意要合并同类项．,(1

36、)单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，而且项数,72,4,．整式的除法,(1),单项式除以单项式，把系数与同底数幂分别,_______,作,为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则,________,_______,作为商的一个因式．,(2),多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以,________,_____,，再把所得的商,_______,．,相除,连同它,的指数,这个单,项式,相加,4．整式的除法 相除 连同它的指数 这个单项式 相加,73,应用,(2017,·,青岛,),计算,6m,6,÷(,－,2m,2,),3,的结果为,( ),A,．－,m B,．－,1

37、 C. D,．－,,D,应用 (2017·青岛)计算6m6÷(－2m2)3的结果为,74,知识点,四,因式分解,1,．因式分解的定义：把一个多项式化成几个,_______,的积,的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解．,整式,知识点四 因式分解 整式,75,应用,(2017,·,常德,),下列各式由左到右的变形中，属于分,解因式的是,( ),A,．,a(m,＋,n),＝,am,＋,an,B,．,a,2,－,b,2,－,c,2,＝,(a,－,b)(a,＋,b),－,c,2,C,．,10x,2,－,5x,＝,5x(2x,－,1),D,．,x,2,－,16,＋,

38、6x,＝,(x,＋,4)(x,－,4),＋,6x,C,应用 (2017·常德)下列各式由左到右的变形中，属于分C,76,(1),因式分解与整式的乘法是互逆运算，运用整式的乘法可以检验因式分解是否正确；,(2),因式分解必须在整式范围内进行，且等号右边必须是乘积的形式．,(1)因式分解与整式的乘法是互逆运算，运用整式的乘法可以检验,77,2,．因式分解的方法,(1),提公因式法：如果多项式的各项有,_________,，可以把,这个公因式提出来，将多项式写成公因式与另一个因式的,乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．,公因式,2．因式分解的方法 公因式,78,在确定公因式时，一般先取多项

39、式中各项系数的最大公因数，再取各项中的共同的字母，最后取相同字母的指数中最小的数．,在确定公因式时，一般先取多项式中各项系数的最大公因数，再取各,79,(2),公式法：①运用平方差公式分解因式，即,a,2,－,b,2,＝,(a,＋,b),(a,－,b),；②运用完全平方公式因式分解，即,a,2,±2ab,＋,b,2,＝,(a±b),2,.,(3),运用十字相乘法分解因式：,x,2,＋,(p,＋,q)x,＋,pq,＝,(x,＋,p),(x,＋,q),，它的特征是“拆常数项，凑一次项”．,应用,(2017,·,咸宁,),分解因式：,2a,2,－,4a,＋,2,＝,_________ .,,2(a,

40、－,1),2,(2)公式法：①运用平方差公式分解因式，即a2－b2＝(a＋,80,(1),在因式分解时，能提公因式的先提公因式，然后再用公式法；,(2),分解因式要进行到每一个因式不能分解为止．,(1)在因式分解时，能提公因式的先提公因式，然后再用公式法；,81,考点,一,代数式,例,1,(2017·,宿迁,),若,a,－,b,＝,2,，则代数式,5,＋,2a,－,2b,的值是,_______,．,【,分析,】,,原式后两项提取,2,变形后，将已知等式代入计算即可．,【,自主解答,】,∵a,－,b,＝,2,，∴原式＝,5,＋,2(a,－,b),＝,5,＋,4,＝,9.,故答案为,9.,考点一

41、代数式,82,在求代数式的值时，如果已知字母的值，可以直接代入求值；如果已知字母的范围，可先去掉相应的绝对值符号或根号，再化简求值；如果已知一个式子的值，可利用整体思想代入求值．,在求代数式的值时，如果已知字母的值，可以直接代入求值；如果已,83,1,．,(2017,·,山西,),某商店经销一种品牌的洗衣机，其中某一,型号的洗衣机每台进价为,a,元，商店将进价提高,20%,后作为,零售价进行销售，一段时间后，商店又以,9,折优惠价促销，,这时该型号洗衣机的零售价为,________,元．,,1.08a,1．(2017·山西)某商店经销一种品牌的洗衣机，其中某一,84,2,．,(2017,·,十

42、堰,),若,a,－,b,＝,1,，则代数式,2a,－,2b,－,1,的值为,____.,,1,2．(2017·十堰)若a－b＝1，则代数式2a－2b－1的,85,考点,二,幂的运算性质,例,2,(2017·,潍坊,),下列算式，正确的是,(,,),A,．,a,3,·a,2,＝,a,6,B,．,a,3,÷a,＝,a,3,C,．,a,2,＋,a,2,＝,a,4,D,．,(a,2,),2,＝,a,4,考点二 幂的运算性质,86,【,分析,】,,利用同底数幂的乘法运算、除法运算、积的乘,方运算、合并同类项等法则进行判断．,【,自主解答,】,a,3,·,a,2,＝,a,5,，故,A,错误；,a,3,÷a

43、,＝,a,2,，故,B,错,误；,a,2,＋,a,2,＝,2a,2,，故,C,错误．故选,D.,【分析】 利用同底数幂的乘法运算、除法运算、积的乘,87,在幂的运算中，最易混淆的是同底数幂的乘法法则、幂的乘方运算法则及同底数幂的加法运算三者之间的区别，切记：,a,m,·,a,n,＝,a,m,＋,n,，,(a,m,),n,＝,a,mn,，,a,m,＋,a,m,＝,2a,m,.,在幂的运算中，最易混淆的是同底数幂的乘法法则、幂的乘方运算法,88,3,．,(2017,·,淮安,),计算,a,2,·,a,3,的结果是,( ),A,．,5a B,．,6a C,．,a,6,D,．

44、,a,5,4,．,(2017,·,乌鲁木齐,),计算,(ab,2,),3,的结果是,( ),A,．,3ab,2,B,．,ab,6,C,．,a,3,b,5,D,．,a,3,b,6,D,D,3．(2017·淮安)计算a2·a3的结果是( ),89,考点,三,整式的运算,例,3,(2017·,怀化,),先化简，再求值：,(2a,－,1),2,－,2(a,＋,1)·,(a,－,1),－,a(a,－,2),，其中,a,＝ ＋,1.,【,分析,】,,原式利用完全平方公式、平方差公式以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把,a,的值代入计算即可求出值．,考点三 整式的

45、运算,90,【,自主解答,】,,原式＝,4a,2,－,4a,＋,1,－,2a,2,＋,2,－,a,2,＋,2a,＝,a,2,－,2a,＋,3.,当,a,＝ ＋,1,时，原式＝,3,＋,2,－,2,－,2,＋,3,＝,4.,【自主解答】 原式＝4a2－4a＋1－2a2＋2－a2＋2a,91,根据整式乘法的运算法则，灵活运用公式，特别要注意符号变化．熟记运算法则是解答此类题目的关键．,根据整式乘法的运算法则，灵活运用公式，特别要注意符号变化．熟,92,5,．,(2017,·,台湾,),计算,6x,·,(3,－,2x),的结果，与下列哪一个,式子相同,( ),A,．－,12x,2,＋,

46、18x B,．－,12x,2,＋,3,C,．,16x,,D,．,6x,6,．,(2017,·,宁德,),若矩形的面积为,a,2,＋,ab,，长为,a,＋,b,，则宽,为,____,．,A,,a,5．(2017·台湾)计算6x·(3－2x)的结果，与下列哪,93,考点,四,因式分解,例,4,(2017·,黔东南州,),在实数范围内因式分解：,x,5,－,4x,＝,,．,【,分析,】,,先提取公因式,x,，再把,4,写成,2,2,的形式，然后利用,平方差公式继续分解因式．,【,自主解答,】,,原式＝,x(x,4,－,2,2,),＝,x(x,2,＋,2)(x,2,－,2),＝,x(x,2,＋

47、,2)(x,＋,)(x,－,),，故答案为,x(x,2,＋,2)(x,＋,)(x,－,),．,考点四 因式分解,94,因式分解的步骤为：,(1),一“提”：若多项式的各项有公因式，要先提公因式；,(2),二“套”：套公式，根据多项式的结构特点，分别套用平方差公式和完全平方公式来分解；,(3),三“查”，认真查看每一个多项式，直到不能再分解为止．,因式分解的步骤为：(1)一“提”：若多项式的各项有公因式，要,95,7,．,(2017,·,金华,),分解因式：,x,2,－,4,＝,_______________,．,8,．,(2017,·,白银,),分解因式：,x,2,－,2x,＋,1,＝,___

48、______.,,(x,＋,2)(x,－,2),,(x,－,1),2,,7．(2017·金华)分解因式：x2－4＝_________,96,雷点,一,去括号过程中符号错误,例,1,(2017·,贵阳,),下面是小颖化简整式的过程，仔细阅读后解答所提出的问题．,解：,x(x,＋,2y),－,(x,＋,1),2,＋,2x,＝,x,2,＋,2xy,－,x,2,＋,1,＋,2x,第一步,＝,2xy,＋,2x,＋,1.,,,,第二步,雷点一 去括号过程中符号错误,97,(1),小颖的化简过程从第,_____,步开始出现错误；错误的原因,是,________________________________

49、_____________,．,(2),对此整式进行化简．,解：,x(x,＋,2y),－,(x,＋,1),2,＋,2x,＝,x,2,＋,2xy,－,(x,2,＋,2x,＋,1),＋,2x,＝,x,2,＋,2xy,－,x,2,－,2x,－,1,＋,2x,＝,2xy,－,1.,一,①去括号后符号不变化；②完全平方公式运用不对,(1)小颖的化简过程从第_____步开始出现错误；错误的原因,98,雷点,二,因式分解不彻底,例,2,在实数范围内分解因式,4x,4,－,9.,解：,4x,4,－,9,＝,(2x,2,),2,－,3,2,①,＝,(2x,2,＋,3)(2x,2,－,3),． ②,雷点二

50、因式分解不彻底,99,以上分解结果是否正确？,_______,；若不正确，请说明,错误原因,_____________________,．,请给出正确的分解过程：,解：,4x,4,－,9,＝,(2x,2,),2,－,3,2,＝,(2x,2,＋,3)(2x,2,－,3),不正确,实数范围内分解不彻底,以上分解结果是否正确？_______；若不正确，请说明不正确,100,第三节　分式,第三节　分式,101,知识点,一,分式的概念,1,．分式：一般地，如果,A,，,B,表示两个整式，并且,B,中含有,______,，那么式子,____,叫做分式．分式 中，,A,叫做,_____,，,B,叫做,__

51、_____,．,字母,分子,分母,知识点一 分式的概念 字母 分子 分母,102,B≠0,A,＝,0,，,B≠0,B,＝,0,B≠0 A＝0，B≠0B＝0,103,应用,(2017,·,新疆,),已知分式 的值是零，那么,x,的值,是,( ),A,．－,1 B,．,0 C,．,1 D,．,±1,C,应用 (2017·新疆)已知分式 的值是零，那么x的,104,在求解与分式有关的问题时，默认的条件就是分式有意,义，这点在分式的化简求值和求解分式方程中经常用到．,在求解与分式有关的问题时，默认的条件就是分式有意,105,知识点,二,分式的基本性质,

52、1,．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘,(,或除以,),________________,的整式，分式的值不变．用式子可以,表示为 ＝ ， ＝,(C≠0),，其中,A,，,B,，,C,是整式．,,同一个不等于,0,知识点二 分式的基本性质 同一个不等于0,106,应用,分式的分子、分母为什么不能同时乘,0?,答案：,分母乘,0,，分式的分母变为,0,，分式无意义．,应用 分式的分子、分母为什么不能同时乘0?,107,2,．最简分式：分子与分母没有,公因式,的分式，叫做最,简分式．,应用,系数化成整数且结果化为最简分式： ＝,．,2．最简分式：分子与分母没有

53、公因式 的分式，叫做最,108,3,．约分与通分,(1),根据分式的,_________,，把一个分式的分子与分母的,_______,约去，叫做分式的约分；把几个异分母的分式分,别化为与原来的分式相等的,___________,，叫做分式的,通分．,(2),约分的关键是确定分式的分子、分母的,___________,，,通分的关键是确定几个分式的,_____________,．,基本性质,同分母分式,最大公因式,最简公分母,公因式,3．约分与通分基本性质同分母分式最大公因式 最简公分母 公因,109,应用,(2017,·,玉田县一模,),计算： 的结果是,.,应用 (2017·玉田县

54、一模)计算： 的结果是,110,(1),当分式的分子和分母都是单项式时，可直接约分；当分式的分子或分母是多项式时，先将分子、分母进行因式分解，再约分．,(2),通分不会改变分式的结果，通分后分式的分母都相同．,(1)当分式的分子和分母都是单项式时，可直接约分；当分式的分,111,知识点,三,分式的运算,1,．分式的加减运算：同分母分式相加减，分母不变，把,___________,；异分母分式相加减，先,_______,，变为同分,母分式，再,_____,．用式子可表示为,分子相加减,通分,加减,知识点三 分式的运算分子相加减 通分 加减,112,应用,(2017·,山西,),化简

55、 的结果是,( ),C,应用 (2017·山西)化简 的,113,2,．分式的乘除运算：分式乘分式，用,_________,作为积的,分子，,_________,作为积的分母；分式除以分式，把除式,的分子、分母,_________,后，与被除式,_______,．用式子表,示为,,分子的积,分母的积,颠倒位置,相乘,2．分式的乘除运算：分式乘分式，用 _________作为积,114,应用,化简,,的结果是,( ),B,应用 化简 的结果是( ),115,3,．分式的幂的运算：分式的幂，要

56、把分子、分母,______,_____,．用式子表示为,应用,(2017,·,张店区一模,),计算,a,5,·,(,－,),2,的结果是,( ),A,．－,a,3,B,．,a,3,C,．,a,7,D,．,a,10,分别,乘方,B,3．分式的幂的运算：分式的幂，要把分子、分母______ 分,116,在分式运算和化简的过程中，要注意乘法公式的正确使,用、符号的变化以及运算结果的最简化．,在分式运算和化简的过程中，要注意乘法公式的正确使,117,考点,一,分式的有关概念,例,1,分式 的值为,0,，则,x,＝,,．,【,分析,】,,若分式的值为,0,，则分式的分子为,0,，且

57、分母不能为,0.,【,自主解答,】,,由题意可得,|x|,－,3,＝,0,，且,x,＋,3≠0,，解得,x,＝,3.,故答案为,3.,考点一 分式的有关概念,118,求使分式的值为,0,的字母的值，应从分式的分子、分母两部分考虑：分子为,0,，且分母不为,0,，求出它们的公共解，即为所求字母的值．,求使分式的值为0的字母的值，应从分式的分子、分母两部分考虑：,119,1,．,(2017,·,武汉,),若代数式 在实数范围内有意义，则,实数,a,的取值范围为,( ),A,．,a,＝,4 B,．,a,＞,4 C,．,a,＜,4 D,．,a≠4,2,．当,x,＝,_

58、_____,时，分式 的值为零．,D,－,3,1．(2017·武汉)若代数式 在实数范围内有意义，则,120,考点二,分式的基本性质,例,2,(2016·,滨州,),下列分式中，最简分式是,( ),考点二 分式的基本性质,121,【,分析,】,,逐一判断各项分子、分母中是否有公因式，没,有公因式的就是最简分式．,【,自主解答,】,B,项中有公因式,(x,＋,1),，,C,项中有公因式,(x,－,y),，,D,项中有公因式,(x,＋,6),．故选,A.,【分析】 逐一判断各项分子、分母中是否有公因式，没,122,判断一个分式是否为最简分式，只需将分子、分母分别分解因式，看是

59、否有公因式即可．,判断一个分式是否为最简分式，只需将分子、分母分别分解因式，看,123,3,．分式 可变形为,( ),D,3．分式 可变形为( )D,124,4,．下列各式中不成立的是,( ),A,4．下列各式中不成立的是( )A,125,考点,三,分式的运算,例,3,(2017·,黑龙江,),先化简，再求值：,请在,2,，－,2,，,0,，,3,当中选一个合适的数代入,求值．,【,分析,】,,先化简分式，然后根据分式有意义的条件即可求出,m,的值，从而可求出原式的值．,考点三 分式的运算,126,【,自主解答,】,,【自主解答】

60、,127,分式化简及求值的一般过程：,(1),注意运算顺序，有括号,先计算括号内的；,(2),除法变为乘法；,(3),分子、分母能因,式分解的进行分解；,(4),约分；,(5),进行加减运算,(,通分、,约分、合并同类项,),；,(6),代入求值,(,代值过程中要注意使,分式有意义，即所代值不能使分母为零,),．,分式化简及求值的一般过程：(1)注意运算顺序，有括号,128,5,．,(2017·,枣庄,),化简：,5．(2017·枣庄)化简：,129,6,．,(2017,·,恩施州,),先化简，再求值：,,解：,6．(2017·恩施州)先化简，再求值：,130,雷点,一,分式的基本性质应用出错

61、,例,1,(2017·,吉林,),某学生化简分式 出现了错误，解答过程如下：,雷点一 分式的基本性质应用出错,131,第一章数与式课件,132,(1),该学生解答过程是从第,_____,步开始出错的，其错误,原因是,_______________________,；,(2),请写出此题正确的解答过程：,解：,原式＝,一,分式的基本性质运用出错,(1)该学生解答过程是从第_____步开始出错的，其错误 一,133,雷点,二,分式的运算过程中符号出错,例,2,化简：,雷点二 分式的运算过程中符号出错,134,以上解答过程中错误的步骤是,_____,，错误的原因是,______,_

62、______________________,．,请给出正确的解答过程：,解：,原式＝,,①,没有,注意到,x,－,3,与,3,－,x,的区别,以上解答过程中错误的步骤是_____，错误的原因是_____,135,雷点三,忽略分式有意义的条件,例,3,中选择一个合适的,x,值代入求值．,雷点三 忽略分式有意义的条件,136,以上解答过程中错误的步骤是,_____,，错误的原因是,________________________________,．,请给出正确的解答过程：,解：,④,,x,＝－,3,时，分母为,0,，分式无意义,以上解答过程中错误的步骤是_____，错误的原因是 ④ x,137

63、,第四节　二次根式,第四节　二次根式,138,知识点,一,二次根式的概念,1,．二次根式：一般地，我们把形如,__________,的式子叫做,二次根式，“ ”称为,_________,．,,(a≥0),二次根号,知识点一 二次根式的概念 (a≥0) 二次根号,139,应用,下列式子一定是二次根式的是,( ),D,应用 下列式子一定是二次根式的是( )D,140,二次根式中的,a,可以是单项式，也可以是多项式，但必须保证,a≥0.,二次根式中的a可以是单项式，也可以是多项式，但必须保证a≥0,141,2,．最简二次根式：一般地，如果被开方数不含分母，也,不含能开得尽方的

64、,_____________,，那么这样的二次根式,叫做最简二次根式．,因数或因式,2．最简二次根式：一般地，如果被开方数不含分母，也 因数或因,142,应用,(2017·,荆州,),下列根式是最简二次根式的是,( ),C,应用 (2017·荆州)下列根式是最简二次根式的是(,143,如果根号下含有分数、小数，或者单项式里字母指数不是,1,或,0,的整数，那么肯定不是最简二次根式．,如果根号下含有分数、小数，或者单项式里字母指数不是1或0的整,144,知识点,二,二次根式的性质,1,．二次根式的性质：,( ),2,＝,____(a≥0),， ＝,_____,．,,a,,|a

65、|,知识点二 二次根式的性质 a |a|,145,应用,(2017,·,枣庄,),实数,a,，,b,在数轴上对应点的位置如图,所示，化简,|a|,＋ 的结果是,( ),,A,．－,2a,＋,b B,．,2a,－,b C,．－,b D,．,b,A,应用 (2017·枣庄)实数a，b在数轴上对应点的位置如图A,146,二次根式具有双重非负性，即被开方数,a≥0,，且 ≥,0.,二次根式具有双重非负性，即被开方数a≥0，且 ≥0.,147,2,．积与商的算术平方根的运算性质,(1),积的算术平方根等于积中各因数的,___________,的

66、积，,即 ＝,_______(a≥0,，,b≥0),；,(2),商的算术平方根等于各因式的,___________,的商，即,＝,(a≥0,，,b,＞,0),．,应用,化简二次根式 的结果是,______.,算术平方根,算术平方根,2．积与商的算术平方根的运算性质算术平方根算术平方根,148,积与商的算术平方根的运算性质经常用于化简二次根式，化简后的结果应满足：,(1),根号内不再含有分母、小数或二次以上的因数；,(2),根号前面的倍数不能是小数；,(3),分母上不能含有根号．,积与商的算术平方根的运算性质经常用于化简二次根式，化简后的结,149,知识点,三,二次根式的运算,1,．二次根式的加减,一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成,_____,_________,，再将,_____________,的二次根式进行合并．,应用,(2017·,哈尔滨,),计算 的结果是,_____.,最简,二次根式,被开方数相同,知识点三 二次根式的运算最简二次根式被开方数相同,150,2,．二次根式的乘除,(1),二次根式乘法法则： ＝,_____