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1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,5/27/2021,,‹#›,1,.,2,,利用二分法求方程的近似解,自主,预习,·,新知,导学,合作,探究,·,释疑,解惑,易,,错,,辨,,析,随,,堂,,练,,习,,课标定位,素养阐释,1,.,通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件,,,了解二分法是求方程近似解的常用方法,.,2,.,能借助计算器用二分法求方程的近似解,,,让学生充分体验近似的思想、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用,.,3,.,从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用,;,体会数学逼近过程,,,感受精确与近似的相
2、对统一,.,,自主预习,·,新知导学,一、二分法的概念,【问题思考】,1,.,(1),我们已经知道函数,f,(,x,),=,ln,x+,2,x-,6,的零点在区间,(2,3),内,,,如何缩小零点所在区间,(2,3),的范围,?,(2),如何进一步地缩小零点所在的区间,?,(3),若给定精确度,0,.,3,,如何选取近似值,?,提示,:,(1),①,取区间,(2,3),的中点,2,.,5,.,②,计算,f,(2,.,5),的值,,,用计算器算得,f,(2,.,5)≈,-,0,.,084,.,因为,f,(2,.,5)·,f,(3),<,0,,所以零点在区间,(2,.,5,3),内,.,(2),再
3、取区间,(2,.,5,3),的中点,2,.,75,,用计算器算得,f,(2,.,75)≈0,.,512,.,因为,f,(2,.,5)·,f,(2,.,75),<,0,,所以零点在区间,(2,.,5,2,.,75),内,.,这样一来,,,零点所在的范围越来越小了,.,(3),当精确度为,0,.,3,时,,,由于,|,2,.,75,-,2,.,5,|=,0,.,25,<,0,.,3,,所以可以将,x=,2,.,5,作为函数,f,(,x,),=,ln,,x+,2,x-,6,的零点近似值,,,当然区间,[2,.,5,2,.,75],内的任意一个值都是满足精确度的近似值,,,常取区间的端点作为零点的近似
4、值,.,2,.,填空,:,对于一般的函数,y=f,(,x,),,x,∈,[,a,,,b,],,若函数,y=f,(,x,),的图象是一条,连续,的曲线,,,f,(,a,)·,f,(,b,),<,0,,,则每次取区间的中点,,,将,区间,一分为二,,,再经比较,,,按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法,.,,,,二、利用二分法求方程的近似解的过程,【问题思考】,1,.,所有函数的零点都可以用二分法求出吗,?,提示,:,不是,,,例如函数,y=,(,x+,1),2,的零点就无法用二分法求出,.,2,.,当,|a-b|<,ε,时,,,为什么说区间,[,a,,,b,],内的任意实数,x
5、,都可以作为零点,x,0,的近似值,?,提示,:,因为,|x-x,0,|,≤,|a-b|<,ε,,,所以以,x,作为零点,x,0,的近似值满足精确度的要求,.,3,.,利用二分法求方程近似解的过程步骤,4,.,做一做,:,用二分法求函数,f,(,x,),的一个正实数零点时,,,经计算,f,(0,.,64),<,0,,f,(0,.,72),>,0,,f,(0,.,68),<,0,,则函数的一个精确度为,0,.,1,的正实数零点的近似值为,(,,),A.0,.,9,B.0,.,7,,C.0,.,5,D.0,.,4,解析,:,由题意可知,,,函数的零点在区间,(0,.,68,0,.,72),内,,,
6、又,|,0,.,72,-,0,.,68,|=,0,.,04,<,0,.,1,,故区间,[0,.,68,0,.,72],内的任一个值都满足题意,,,结合选项知,,,只有选项,B,符合,,,故选,B,.,答案,:,B,【思考辨析】,,判断下列说法是否正确,,,正确的在它后面的括号里画,“,√,”,,错误的画,“×”,.,(1),用二分法所求出的方程的解都是近似解,.,(,,×,,),(2),函数,f,(,x,),=|x|,可以用二分法求零点,.,(,,×,,),(3),用二分法求函数零点的近似值时,,,每次等分区间后,,,零点必定在右侧区间内,.,(,,×,,),,,,,合作探究,·,释疑解惑,探
7、究一,探究二,探究,一,,二分法,的概念,,,【例,1,】,,(1),下列函数,,,不能用二分法求零点的是,(,,),,,,,,,,,,(2),用二分法求方程,2,x,+,3,x-,7,=,0,在区间,(1,3),内的解,,,取区间的中点为,x,0,=,2,,那么下一个有解的区间是,,.,,解析,:,(1),观察题中图象与,x,轴的交点,,,若交点附近的函数图象连续,,,且在交点两侧的函数值符号相异,,,则可用二分法求零点,,,故,B,不能用二分法求零点,.,(2),设,f,(,x,),=,2,x,+,3,x-,7,,f,(1),=,2,+,3,-,7,<,0,,f,(3),=,10,>,0,
8、,f,(2),=,3,>,0,,,∴,f,(,x,),零点所在的区间为,(1,2,),,∴,方程,2,x,+,3,x-,7,=,0,有解的区间是,(1,2),.,答案,:,(1)B,,(2)(1,2),运用二分法求函数的零点应具备的条件,(1),函数图象在零点附近连续不断,.,(2),在该零点左右函数值异号,.,只有满足上述两个条件,,,才可用二分法求函数零点,.,【变式训练】,,已知函数,f,(,x,),的图象如图,,,其中零点的个数与可以用二分法求解的零点个数分别为,(,,),,,A.4,4,B.3,4,C.5,4,D.4,3,解析,:,图象与,x,轴有,4,个交点,,,所以零点的个数为,
9、4;,左、右函数值异号的有,3,个零点,,,所以可以用二分法求解的零点个数为,3,.,答案,:,D,探究,二,,用,二分法求方程的近似解或函数零点的近似值,,,取区间,(6,7),的中点,x,1,=,6,.,5,,算得,f,(6,.,5)≈,-,0,.,200,,因为,f,(6,.,5)·,f,(7),<,0,,所以,x,0,∈,(6,.,5,7),.,再取区间,(6,.,5,7),的中点,x,2,=,6,.,75,,算得,f,(6,.,75)≈,-,0,.,005,,因为,f,(6,.,75)·,f,(7),<,0,,所以,x,0,∈,(6,.,75,7),.,再取区间,(6,.,75,7)
10、,的中点,x,3,=,6,.,875,,算得,f,(6,.,875)≈0,.,094,,,因为,f,(6,.,75)·,f,(6,.,875),<,0,,所以,x,0,∈,(6,.,75,6,.,875,),.,再取区间,(6,.,75,6,.,875),的中点,x,4,=,6,.,812,,5,,算得,f,(6,.,812,,5)≈0,.,044,,因为,f,(6,.,812,,5)·,f,(6,.,75),<,0,,所以,x,0,∈,(6,.,75,6,.,812,,5),.,因为,|,6,.,75,-,6,.,812,,5,|=,0,.,062,,5,<,0,.,1,,,应用二分法需注意
11、的问题,(1),精确度,:,要看清题目要求的精确度,,,它决定着二分法步骤的结束,.,(2),初始区间,:,初始区间的选定一般在两个整数间,,,在精确度给定的情况下,,,不同的初始区间结果是相同的,.,(3),方程解的选取,:,当区间长度符合,“,精确度,ε,”,的要求后正确选取方程的解,.,当区间,[,a,n,,,b,n,],的长度,|a,n,-b,n,|<,ε,时,,,这个近似值可以是区间,[,a,n,,,b,n,],内任意一个数,.,易,,错,,辨,,析,因对二分法的原理理解不到位致误,答案,,B,以上解答过程中都有哪些错误,?,出错的原因是什么,?,你如何改正,?,你如何防范,?,答案
12、,:,D,随,,堂,,练,,习,1,.,观察下列函数的图象,,,判断能用二分法求其零点的是,(,,),解析,:,由题中图象可知,A,中零点左右两侧的函数值符号不同,,,故可用二分法求零点,.,答案,:,A,2,.,用二分法求函数,f,(,x,),在区间,(,a,,,b,),内的唯一零点时,,,精确度为,0,.,001,,则结束计算的条件是,(,,),A.,|b-a|<,0,.,1 B.,|b-a|<,0,.,001,C.,|b-a|>,0,.,001 D.,|b-a|=,0,.,001,解析,:,据二分法的步骤知当区间长度,|b-a|,小于精确度,ε,时,,,便可结束计算,.,答案,:,B,3
13、,.,函数,y=f,(,x,),的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,,,参考数据如下表,:,那么方程,f,(,x,),=,0,的一个近似解,(,精确度为,0,.,05),为,(,,),A.1,.,275 B.1,.,375,C.1,.,415,D.1,.,5,解析,:,f,(1,.,438),=,0,.,165,>,0,,f,(1,.,406,,5),=-,0,.,052,<,0,,且,|,1,.,438,-,1,.,406,,5,|=,0,.,031,,5,<,0,.,05,,故方程,f,(,x,),=,0,满足精确度为,0,.,05,的一个近似解在,区间,[,1,.,406,,5,
14、1,.,438],内,.,结合四个选项知,,,只有,1,.,415,符合条件,,,故选,C,.,答案,:,C,4,.,若函数,f,(,x,),在定义域,{,x|x,∈,R,,且,x,≠0},上是偶函数,,,且在区间,(0,,+∞,),上单调递减,,,f,(2),=,0,,则函数,f,(,x,),的零点有,,个,.,,解析,:,因为,f,(,x,),是,(,-∞,,0),∪,(0,,+∞,),上的偶函数,,,所以,f,(,-,2),=f,(2),=,0,.,因为,f,(,x,),在区间,(0,,+∞,),上单调递减,,,所以,f,(,x,),在区间,(,-∞,,0),上单调递增,.,所以,f,(
15、,x,),在区间,(0,,+∞,),内仅有,x=,2,一个零点,,,在区间,(,-∞,,0),内仅有,x=-,2,一个零点,.,故函数,f,(,x,),有两个零点,.,答案,:,2,5,.,用二分法求方程,ln(2,x+,6),+,2,=,3,x,的根的近似值时,,,令,f,(,x,),=,ln(2,x+,6),+,2,-,3,x,,,并用计算器得到下表,:,由表中的数据,,,求方程,ln(2,x+,6),+,2,=,3,x,的一个近似解,.,(,精确度为,0,.,1),解,:,因为,f,(1,.,25)·,f,(1,.,375),<,0,,故根据二分法的思想,,,知函数,f,(,x,),的零点在区间,(1,.,25,1,.,375),内,,,但区间,[1,.,25,1,.,375],的长度为,0,.,125,>,0,.,1,,因此需要取区间,(1,.,25,1,.,375),的中点,1,.,312,,5,,而区间,(1,.,25,1,.,312,,5),和,(1,.,312,,5,1,.,375),中必有一个满足区间端点的函数值符号相异,,,又两个区间的长度都为,0,.,062,,5,<,0,.,1,,因此,1,.,312,,5,是一个近似解,.,
新教材数学北师大版必修第一册课件-第5章-12-利用二分法求方程的近似解
