人教A版高中数学选修1-1ppt课件同步：3-3-2《函数的极值与导数函数的最大(小)值与导数》

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2、极值．,本节难点：函数的极值与导数的关系．,利用函数的导数求极值时，首先要确定函数的定义域；其次，为了清楚起见，可用导数为零的点，将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格，判断导函数在各个小开区间的符号．,求函数的最大值和最小值，需要先确定函数的极大值和极小值，极值是一个局部概念并且不唯一，极大值与极小值之间无确定的大小关系．,本节重点：利用导数的知识求函数的极值．,f,′,(,x,0,),＝,0,只是可导函数,f,(,x,),在,x,0,取得极值的必要条件，不是充分条件．例如：函数,f,(,x,),＝,x,3,，,f,′,(0),＝,0,但,x,＝,0,不是,f,(,x,),＝,x,3,的

3、极值点．,f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0取得极值的必要条件,人教A版高中数学选修1-1ppt课件同步：3-3-2《函数的极值与导数函数的最大(小)值与导数》,1,．理解极值概念时需注意的几点,(1),函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的．,(2),极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．,(3),若,f,(,x,),在,[,a,，,b,],内有极值，那么,f,(,x,),在,[,a,，,b,],内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数没有极值．,1．理解极值概念时需注意的几点,(4),极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函

4、数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值．,(,如图,(1)),(4)极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内,(5),若函数,f,(,x,),在,[,a,，,b,],上有极值，它的极值点的分布是有规律的,(,如图,(2),所示,),，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．,2,．导数为,0,的点不一定是极值点．,3,．正确理解,“,在闭区间,[,a,，,b,],上连续的函数,f,(,x,),必有最值．,”,此性质包括两个条件：,(5)若函数f(x)在[a，b]上有极值，它的极值点的分布是,人教A版

5、高中数学选修1-1ppt课件同步：3-3-2《函数的极值与导数函数的最大(小)值与导数》,人教A版高中数学选修1-1ppt课件同步：3-3-2《函数的极值与导数函数的最大(小)值与导数》,4,．正确区分极值和最值,(1),函数的最值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值可以在极值点、不可导点、区间的端点取得，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，最值具有绝对性，极值具有相对性．,(2),函数的最值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大的值，最小值是所有函数值中的最小的值；极值只能在区间内取得；但最值可以在端点处取得；极值有可能成为最值．,4．正确区分极值

6、和最值,5,．若连续函数在区间,(,a,，,b,),内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．,5．若连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是,人教A版高中数学选修1-1ppt课件同步：3-3-2《函数的极值与导数函数的最大(小)值与导数》,1,．已知函数,y,＝,f,(,x,),及其定义域内一点,x,.,对于包含,x,0,在内的开区间内的所有点,x,，如果都有，则称函数,f,(,x,),在点,x,0,处取得，并把,x,0,称为函数,f,(,x,),的一个；如果都有，则称函数,f,(,x,),在点,x,0,处取得，并把,x,0,称为函数,f,(,x,),的一个．极

7、大值与极小值统称为，极大值点与极小值点统称为．,f,(,x,),≤,f,(,x,0,),极大值,极大值点,f,(,x,),≥,f,(,x,0,),极小值,极小值点,极值,极值点,1．已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x.对于包含x0在内,2,．假设函数,y,＝,f,(,x,),在闭区间,[,a,，,b,],上的图象是一条，该函数在,[,a,，,b,],上一定能够取得与，该函数在,(,a,，,b,),内是，该函数的最值必在取得．,3,．当函数,f,(,x,),在点,x,0,处连续时，判断,f,(,x,0,),是否存在极大,(,小,),值的方法是：,(1),如果在,x,0,附近的左侧，右侧，

8、那么,f,(,x,0,),是极值；,连续不断的曲线,最大值,最小值,可导的,极值点或区间端点,f,′(,x,)>0,f,′(,x,)<0,大,2．假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条，,(2),如果在,x,0,附近的左侧，右侧，那么,f,(,x,0,),是极值；,(3),如果,f,′,(,x,),在点,x,0,的左右两侧符号不变，则,f,(,x,0,),函数,f,(,x,),的极值．,f,′,(,x,)<0,f,′,(,x,)>0,小,不是,(2)如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极值；f′,人教A版高中数学选修1-1ppt课件同步：3-3-2《函数的极值与导数函数

9、的最大(小)值与导数》,,[,例,1],求函数,y,＝,3,x,3,－,x,＋,1,的极值．,[,分析,],,首先对函数求导，求得,y,′,，然后求方程,y,′,＝,0,的根，再检查,y,′,在方程根左右的值的符号．如果左正右负，那么,y,在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么,y,在这个根处取得极小值．,人教A版高中数学选修1-1ppt课件同步：3-3-2《函数的极值与导数函数的最大(小)值与导数》,人教A版高中数学选修1-1ppt课件同步：3-3-2《函数的极值与导数函数的最大(小)值与导数》,[,点评,],熟记极值的定义是做好本题的关键，要利用求函数极值的一般步骤求解．,[点评]　熟记

10、极值的定义是做好本题的关键，要利用求函数极值的,,函数,y,＝,x,3,－,3,x,2,－,9,x,(,－,2,＜,x,＜,2),有,(,,),A,．极大值为,5,，极小值为－,27,B,．极大值为,5,，极小值为－,11,C,．极大值为,5,，无极小值,D,．极大值为－,27,，无极小值,[,答案,],,C,,人教A版高中数学选修1-1ppt课件同步：3-3-2《函数的极值与导数函数的最大(小)值与导数》,[,解析,],,f,′,(,x,),＝,3,x,2,－,6,x,－,9,＝,3(,x,＋,1)(,x,－,3),令,f,′,(,x,),＝,0,得,x,1,＝－,1,，,x,2,＝,3(,

11、舍去,),当－,2,＜,x,＜－,1,时，,f,′,(,x,),＞,0,当－,1,＜,x,＜,2,时，,f,(,x,),＜,0,∴,当,x,＝－,1,时,f,(,x,),有极大值，,f,(,x,),极大值＝,f,(,－,1),＝,5,，无极小值．故应选,C.,[解析]　f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3,,[,例,2],求函数,f,(,x,),＝,x,3,－,2,x,2,＋,1,在区间,[,－,1,2],上的最大值与最小值．,[,分析,],,首先求,f,(,x,),在,(,－,1,2),内的极值．然后将,f,(,x,),的各极值与,f,(,－,1),，,f,(2),比较，其中最

12、大的一个是最大值，最小的一个是最小值．,[,解析,],,f,′,(,x,),＝,3,x,2,－,4,x,.,人教A版高中数学选修1-1ppt课件同步：3-3-2《函数的极值与导数函数的最大(小)值与导数》,,,,,故,f,(,x,),最大值,＝,1,，,f,(,x,),最小值,＝－,2.,[,点评,],,利用求最值的步骤求解．,函数最大值及最小值点必在下面各种点之中：导数等于,0,的点、导数不存在的点或区间的端点．,函数在区间,[,a,，,b,],上连续是,f,(,x,),在,[,a,，,b,],上存在最大值的充分而非必要条件．,人教A版高中数学选修1-1ppt课件同步：3-3-2《函数的极值

13、与导数函数的最大(小)值与导数》,,求函数,f,(,x,),＝,x,4,－,8,x,2,＋,2,在,[,－,1,3],上的最大值与最小值．,[,解析,],,f,′,(,x,),＝,4,x,3,－,16,x,＝,4,x,(,x,－,2)(,x,＋,2),．,令,f,′,(,x,),＝,0,，解得,x,1,＝－,2,，,x,2,＝,0,，,x,3,＝,2.,其中,x,2,＝,0,，,x,3,＝,2,在,[,－,1,3],内，计算得,f,(0),＝,2,，,f,(2),＝－,14,，,f,(,－,1),＝－,5,，,f,(3),＝,11,，,故,f,(,x,),在,[,－,1,3],上的最大值是,1

14、1,，最小值是－,14.,人教A版高中数学选修1-1ppt课件同步：3-3-2《函数的极值与导数函数的最大(小)值与导数》,,[,例,3],已知,f,(,x,),＝,ax,3,＋,bx,2,＋,cx,(,a,≠,0),在,x,＝,±1,时取得极值，且,f,(1),＝－,1,，,(1),试求常数,a,、,b,、,c,的值；,(2),试判断,x,＝,±1,时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．,[,解析,],,(1),由,f,′,(,－,1),＝,f,′,(1),＝,0,，得,3,a,＋,2,b,＋,c,＝,0,3,a,－,2,b,＋,c,＝,0.,又,f,(1),＝－,1,，∴,a,＋,b,＋

15、,c,＝－,1.,人教A版高中数学选修1-1ppt课件同步：3-3-2《函数的极值与导数函数的最大(小)值与导数》,人教A版高中数学选修1-1ppt课件同步：3-3-2《函数的极值与导数函数的最大(小)值与导数》,[,点评,],若函数,f,(,x,),在,x,0,处取得极值，则一定有,f,′,(,x,0,),＝,0,，因此我们可根据极值得到一个方程，来解决参数．,[点评]　若函数f(x)在x0处取得极值，则一定有f′(x0,人教A版高中数学选修1-1ppt课件同步：3-3-2《函数的极值与导数函数的最大(小)值与导数》,人教A版高中数学选修1-1ppt课件同步：3-3-2《函数的极值与导数函数

16、的最大(小)值与导数》,人教A版高中数学选修1-1ppt课件同步：3-3-2《函数的极值与导数函数的最大(小)值与导数》,而,x,1,<,x,2,，,∴,x,1,＋,x,2,＝,0.,∴,b,＝,0.,代入,①,式，得,a,(,x,2,－,1),＝,0.,∵,a,>0,，,∴,x,＝,±1.,再代入,f,(,x,1,),或,f,(,x,2,),，得,a,＝,2.,∴,a,＝,2,，,b,＝,0.,而x1

17、,x,＋,bx,4,－,c,(,x,>0),在,x,＝,1,处取得极值－,3,－,c,，其中,a,、,b,、,c,为常数．,(1),试确定,a,，,b,的值；,(2),若对任意,x,>0,，不等式,f,(,x,),≥,－,2,c,2,恒成立，求,c,的取值范围．,,[例4]　已知函数f(x)＝ax4lnx＋bx4－c(x>0,人教A版高中数学选修1-1ppt课件同步：3-3-2《函数的极值与导数函数的最大(小)值与导数》,[,点评,],恒成立转化为最值，即用导数求最值．,函数的极值、最值常与单调性，不等式结合出解答题，是历年考试的重点，一般分为二至三问，要注意它们之间的内在联系，另外解此类问题

18、要注意极值，最值的注意事项．,[点评]　恒成立转化为最值，即用导数求最值．,人教A版高中数学选修1-1ppt课件同步：3-3-2《函数的极值与导数函数的最大(小)值与导数》,[,例,5],已知,f,(,x,),＝,x,3,＋,3,ax,2,＋,bx,＋,a,2,在,x,＝－,1,时有极值,0,，求常数,a,、,b,的值．,[,误解,],,因为,f,(,x,),在,x,＝－,1,时有极值,0,，且,f,′,(,x,),＝,3,x,2,＋,6,ax,＋,b,.,[例5]　已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1,[,辨析,],,根据极值定义，函数先减后增为极小值，函数先增后减为极大值，此

19、题未验证,x,＝－,1,时函数两侧的单调性，故求错．,[,正解,],,(,在上述解法之后继续,),当,a,＝,1,，,b,＝,3,时，,f,′,(,x,),＝,3,x,2,＋,6,x,＋,3,＝,3(,x,＋,1),2,≥,0,，,所以,f,(,x,),在,R,上为增函数，无极值，故舍去；,当,a,＝,2,，,b,＝,9,时，,f,′,(,x,),＝,3,x,2,＋,12,x,＋,9,＝,3(,x,＋,1)(,x,＋,3),．,当,x,∈,[,－,3,，－,1],时，,f,(,x,),为减函数；,当,x,∈,[,－,1,，＋,∞,),时，,f,(,x,),为增函数，,所以,f,(,x,),在,

20、x,＝－,1,时取得极小值．因此,a,＝,2,，,b,＝,9.,[辨析]　根据极值定义，函数先减后增为极小值，函数先增后减为,人教A版高中数学选修1-1ppt课件同步：3-3-2《函数的极值与导数函数的最大(小)值与导数》,一、选择题,1,．若函数,y,＝,f,(,x,),是定义在,R,上的可导函数，则,f,′,(,x,),＝,0,是,x,0,为函数,y,＝,f,(,x,),的极值点的,(,,),A,．充分不必要条件,B,．必要不充分条件,C,．充要条件,D,．既不充分也不必要条件,[,答案,],,B,[,解析,],,如,y,＝,x,3,，,y,′,＝,3,x,2,，,y,′,|,x,＝,0,

21、＝,0,，但,x,＝,0,不是函数,y,＝,x,3,的极值点．,一、选择题,,,,,,,,[,答案,],,A,人教A版高中数学选修1-1ppt课件同步：3-3-2《函数的极值与导数函数的最大(小)值与导数》,3,．函数,y,＝,x,3,＋,1,的极大值是,(,,),A,．,1,,B,．,0,C,．,2D,．不存在,[,答案,],,D,[,解析,],,∵,y,′,＝,3,x,2,≥,0,在,R,上恒成立，,∴,函数,y,＝,x,3,＋,1,在,R,上是单调增函数，,∴,函数,y,＝,x,3,＋,1,无极值．,3．函数y＝x3＋1的极大值是(　　),4,．,y,＝,f,(,x,),＝,2,x,3,

22、－,3,x,2,＋,a,的极大值是,6,，那么,a,等于,(,,),A,．,6B,．,0,C,．,5D,．,1,[,答案,],,A,[,解析,],,f,′,(,x,),＝,6,x,2,－,6,x,，令,f,′,(,x,),＝,0,，得,6,x,2,－,6,x,＝,0,，,解得,x,＝,0,或,1.,且易知,x,＝,0,是极大值点．,∴,f,(0),＝,a,＝,6.,4．y＝f(x)＝2x3－3x2＋a的极大值是6，那么a等于,,,,,[,答案,],,3,人教A版高中数学选修1-1ppt课件同步：3-3-2《函数的极值与导数函数的最大(小)值与导数》,6,．函数,y,＝,x,·,e,x,的最小值

23、为,________,．,6．函数y＝x·ex的最小值为________．,,,,,[,解析,],,设,f,(,x,),＝,ax,3,＋,bx,2,＋,cx,＋,d,(,d,≠,0),，因为其图象关于原点对称，即,f,(,－,x,),＝－,f,(,x,),，得,ax,3,＋,bx,2,＋,cx,＋,d,＝,ax,3,－,bx,2,＋,cx,－,d,，,∴,b,＝,0,，,d,＝,0,，即,f,(,x,),＝,ax,3,＋,cx,.,由,f,′,(,x,),＝,3,ax,2,＋,c,，,人教A版高中数学选修1-1ppt课件同步：3-3-2《函数的极值与导数函数的最大(小)值与导数》,人教A版高中数学选修1-1ppt课件同步：3-3-2《函数的极值与导数函数的最大(小)值与导数》,人教A版高中数学选修1-1ppt课件同步：3-3-2《函数的极值与导数函数的最大(小)值与导数》,