随机信号分析第四章课件

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1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,,,*,§ 4.1 功率谱密度,,先简单复习一下确定时间函数的频谱、能谱密度及能量的概念,设信号,s(t),为时间,t,的非周期实函数，满足如下条件：,1,） ，即,s(t),绝对可积；,,2,）,s(t),在 内只有有限个第一类间断点和有限个极值点，那么，,s(t),的傅立叶变换存在，为,又称为频谱密度，也简称为频谱。,信号,s(t),可以用频谱表示为,§ 4.1 功率谱密度 先简单复习一下确定时间,1

2、,能谱密度,信号,s(t),的总能量为,根据帕塞瓦尔定理：对能量有限信号，时域内信号的能量等于频域内信号的能量。即,其中， 称为,s(t),的能量谱密度（能谱密度）。,,能谱密度存在的条件是总能量有限，所以,s(t),也称为有限能量信号。,,,能谱密度信号s(t)的总能量为根据帕塞瓦尔定理：对能量有限信,2,随机过程的功率谱密度,,随机信号的能量一般是无限的，但是其平均功率是有限的。因此可推广频谱分析法，引入功率谱的概念。,,首先我们把随机过程,X(t),的样本函数,x(t),，任意截取一段，长度为,2T,，并记为,x,T,(t),x,T,(t,）的付里叶变换是存在的，有,,随机过

3、程的功率谱密度 随机信号的能量一般是无限的，但是其平均,3,,注意到,x,T,(t),和,X,T,(ω),实际都是实验结果,ξ,的随机函数，因此它们最好分别写成,X,T,(t,ξ),和,X,T,(ω,ξ).,样本函数的平均功率为：,功率信号的帕塞瓦尔定理,注意到xT(t)和XT(ω)实际都是实验结果ξ的随机函数，因,4,,被积函数 代表了随机过程的某一个样本函数,x(t,ξ),在单位频带内、消耗在,1Ω,电阻上的平均功率，称为样本函数的功率谱密度函数，记作,Gx(ω,，,ξ),。,,随机过程的功率谱密度,,如果我们对所有的,ξ(,实验结果,),取统计平均，得,被积函数

4、 代表了随机过程的某一个样本函,5,,Gx(ω),被称为随机过程,X(t),的,功率谱密度函数,，简称功率谱密度。它的物理意义非常明显：表示随机过程,X(t),在单位频带内在,1Ω,电阻上消耗的平均功率。,,功率谱密度是从频率角度描述随机过程,X(t),的统计特性的最主要的数字特征。,功率谱密度,如果我们对所有的,ξ(,实验结果,),取统计平均，得,Gx(ω)被称为随机过程X(t)的功率谱密度函数，简称功率谱,6,随机过程,X(t),的平均功率为：,由此可见，随机过程的平均功率可以由它的均方值的时间平均得到，也可以由它的功率谱密度在整个频率域上积分得到。,若,X(t),为平稳

5、过程时，此时均方值为常数，,,若,X(t),为各态历经过程，功率谱可由一个样本函数得到：,,随机过程X(t)的平均功率为：由此可见，随机过程的平均功率可,7,功率谱密度是从频域角度描述随机过程,X(t),的统计特性的重要数字特征。但它仅表示,X(t),的平均功率在频域上的分布，不包含任何相位信息。,应用：,1,、不解体的故障判断：如汽车发动机震动信号功率谱判断排气阀门间隙大小,2,、医学信号特征提取：脑电波,功率谱密度是从频域角度描述随机过程X(t)的统计特性的重要数,8,§,4,·,2功率谱密度与自相关函数之间的关系,平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度构成傅立叶变换对，即,维纳－辛钦定理：

6、,,它成立的条件是 绝对可积，即,§4·2功率谱密度与自相关函数之间的关系平稳随机过程的自相关,9,维纳－辛钦定理,根据功率谱密度的定义：,,维纳－辛钦定理根据功率谱密度的定义：,10,在上式中作积分变量替换,：,则上式变为：,将极限符号写入，则得：,大括号下的量可以看是非平稳过程自相关函数的时间平均,即：,在上式中作积分变量替换 ： 则上式变为：将极限符号写入,11,维纳－辛钦定理,即时间平均自相关函数与功率谱密度为付里叶变换对。,若,X,（,t,）为平稳过程，则时间平均自相关函数等于集合平均自相关函数：,,,可见，平稳过程

7、的功率谱密度就是其自相关函数的付里叶变换。若进行付氏反变换，则有,维纳－辛钦定理即时间平均自相关函数与功率谱密度为付里叶变换对,12,维纳－辛钦定理,它成立的条件是 绝对可积，即,当 时，可得,可知， 是平稳随机过程,X(t),的平均功率。,,即随机过程平均功率有限，应不能含有直流成分或周期性成分,,维纳－辛钦定理它成立的条件是,13,维纳－辛钦定理,若我们借助于,δ-,函数， 维纳,-,辛钦公式就可推广应用到这种含有直流或周期性成分的平稳过程中来。,,(1),如果

8、所遇的问题中，平稳过程有非零均值，这时正常意义下的付氏变换不存在，但非零均值可用频域原点处的,δ-,函数表示。该,δ-,函数的权重即为直流分量的功率。,(2),当平稳过程含有对应于离散频率的周期分量时，该成分就在频域的相应频率上产生,δ-,函数。,维纳－辛钦定理若我们借助于δ-函数， 维纳-辛钦公式就可推广,14,典型函数的付氏变换关系,表,4.1,时域 频域,典型函数的付氏变换关系表4.1时域,15,例题,例 若随机过程,X,（,t,）的自相关函数为,求功率谱密度,解：,例题例 若随机过程X（t）的自相关函数为求功率谱密度解

9、：,16,例题,例 若随机过程,X,（,t,）的自相关函数为,求功率谱密度,解：,例题例 若随机过程X（t）的自相关函数为求功率谱密度解：,17,物理谱密度,由于平稳随机过程的自相关函数,R,X,(τ),是,τ,的偶函数，则,Gx(ω),为：,,所以功率谱是实、偶函数，且非负,Gx(ω),应分布在,-∞,到∞的频率范围内，而实际上负频率,(,即,ω

10、过程的功率谱,,,本书定义非平稳过程自相关函数的时间平均值的付氏变换为其功率谱，也就是时间平均功率谱密度。,例,4.4,若平稳过程,X(t),的功率谱密度为,Gx(ω),，又有,式中,a,为常数，求功率谱密度,G,Y,(ω),。,,解：,非平稳随机过程的功率谱 本书定义非平稳过程自相关函数,19,例,44,,顺便指出，本例实际是个相乘运算，这种运算和相应的系统有重要的实用价值，几乎被用于所有包含有载波调制信号的通信接收机中，在频谱、功率谱密度的测量仪器（频谱分析仪）中，也用了这种运算的系统，进行谱搬移。,例44 顺便指出，本例实际是个相乘运算，这种运,20,§4,·,3

11、 功率谱密度的性质,,性质,1,：,非负性，,Gx(ω)≥0,,性质,2,：,G,X,(ω),是实函数,性质,3,：,Gx(,ω),是偶函数，即,,,性质,4,：,§4·3 功率谱密度的性质 性质1： 非负性， Gx(ω),21,且式中,G,。,>0,，又由于要求平均功率有限，所以一般必须满足,m>n,此外，分母应该无实数根。,例：,下例函数是否是功率谱密度的合理表达式，说明理由。,,性质,5,：有理谱密度是实际应用中最常见的一类功率谱密度，自然界和工程实际的有色噪声常常可用有理函数形式的功率谱密度来逼近。根据谱密度的上述性质,1,、,2,、,3,，它应具有如下形式,,且式中G。>0，又由于

12、要求平均功率有限，所以一般必须满足m>,22,例,4.5,已知平稳过程,X(t),具有如下功率谱密度,求相关函数,R,X,(,τ,),及平均功率,W,。,,解,:,,,利用留数定理或公式 求得：,例4.5 已知平稳过程X(t)具有如下功率谱密度求相关函数,23,§ 4,·,4 互谱密度及其性质,一、互密度谱,类似于功率谱密度的定义，定义实过程,X(t),和,Y(t),的互谱密度函数为,§ 4·4 互谱密度及其性质一、互密度谱类似于功率谱密度的,24,,二、互谱密度的性质,性质,1,：,,性质,2,：,Re[G,XY,(ω)],和,Re[G,YX,(ω)],是,ω,

13、的偶函数；,,,Im[G,XY,(,ω,)],和,Im[G,YX,(,ω,)],是,ω,的奇函数。,,性质,3,：若平稳过程,X(t),和,Y(t),相互正交，则有,,二、互谱密度的性质性质1： 性质2：Re[GXY(ω)]和,25,互谱密度的性质,性质,4,：若随机过程,X(t),和,Y(t),联合平稳，,R,XY,(τ),绝对可积，则互谱密度和互相关函数构成付里叶变换时，即,互谱密度的性质性质4：若随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，,26,互谱密度的性质,性质,5,：若,X(t),和,Y(t),是两个不相关的平稳过程，分别有均值,m,X,和,m,Y,，则,将上式作付氏变换即可。,性质,6

14、,：互谱密度的幅度平方满足：,互谱密度的性质性质5：若X(t)和Y(t)是两个不相关的平稳,27,三、相干函数,定义一个,X(t),和,Y(t),的相干函数，即,,容易证明，当,X,（,t,）,=Y,（,t,），,γ,XY,(,ω,)=1,,一般情况，,0,≤γ,XY,(,ω,),≤,1,。,,三、相干函数定义一个X(t)和Y(t)的相干函数，即容易证明,28,§4．5 白噪声与白序列,一、白噪声,1,．,,白噪声的定义及特性,,广义地说，称这些使信号产生失真的误差源为噪声。来自外部的噪声也称为干扰。在理论上，噪声是无法预测的。如果能够很好地掌握它的规律，就能降低它对有用信号的影响。,信息在

15、传输过程中，不可避免地要受到各种干扰，使信号产生误差。,,,信息传输处理时，信道或设备不理想造成,误差的来源,信号传输处理过程中串入了其它信号,§4．5 白噪声与白序列 一、白噪声 1． 白噪声的定义,29,噪声的分类：,（,1,）从噪声与电子系统的关系来看：,内部噪声：系统本身的元器件及电路产生的。,外部噪声：包括电子系统之外的所有噪声。,（,2,）根据噪声的分布：,高斯噪声：具有高斯分布的噪声。,均匀噪声：具有均匀分布的噪声。,（,3,）从功率谱的角度来看：,白噪声：如果一个随机过程的功率谱为常数，无论是什么分布，都称它为白噪声。,色噪声：功率谱中各种频率分量的大小不同。,噪声的分类：

16、（1）从噪声与电子系统的关系来看：内部噪声：系统,30,,白噪声定义,一个均值为零，功率谱密度在整个频率轴上为非零常数，即,的平稳过程,N(t),，称为白噪声过程，简称为白噪声。,,利用傅立叶反变换可求得白噪声的自相关函数为：,白噪声定义一个均值为零，功率谱密度在整个频率轴上为非零常,31,白噪声的相关系数：,,,上式表明；白噪声在任何两个相邻时刻,(,不管这两个时刻多么邻近,),的状态都是不相关的，即白噪声随时间的起伏变化极快，而过程的功率谱极宽。,,白噪声的相关系数： 上式表明；白噪声在任何两个相邻时,32,2,．白序列,(RND,伪随机序列,),与连续的白噪声过程相对应的随机序列

17、则是白序列。,,设随机序列,Z,n,，它的自相关函数满足,,或,式中,δ(k),为单位冲激序列，其定义为,2．白序列(RND伪随机序列)与连续的白噪声过程相对应的随机,33,白序列功率谱,,,,白序列可以由白噪声等间隔抽样得到，但更为方便的办法是由一个计算机软件，由函数来产生。如直接调用,Matlab,函数,rand,randn,,高斯分布白噪声序列，则有两种方法可用，一是上章介绍的用,N=12,个均匀分布随机数之和来逼近，另一种方法则是用变换的方法。,,Y1,Y2,为相互独立的高斯分布的随机数,N(m,,σ,2,),。,白序列功率谱 白序列可以由白噪声等间隔抽样得到，但更为,34,3,

18、、带限白噪声,,若平稳过程,N(t),在有限频带上的功率谱密度为常数，在频带之外为零，则称,N(t),为理想带限白噪声。,（,1,）低通白噪声,,若白噪声的功率谱在 内不为零，而在其外为零，且分布均匀，其表达式为,,称这类白噪声为低通白噪声,,则其自相关函数为：,可得低通白噪声的平均功率为：,3、带限白噪声 若平稳过程N(t)在有限频带上的功率谱密度为,35,,（,2,）带通白噪声,如果,N(t),的功率谱密度集中在 为中心的频带内，则称,N(t),是带通限带白噪声，或称为带通白噪声，其功率谱为,它的自相关函数为：,带通白噪声的平均功率为：,（2）带通白噪声如果N(t)

19、的功率谱密度集中在 为中,36,有色噪声,按功率谱密度函数形式来区别随机过程，把除了白噪声以外的所有噪声都称为有色噪声，或简称为色噪声。,,有色噪声按功率谱密度函数形式来区别随机过程，把除了白噪声以外,37,§4,·,7,复随机过程的功率谱密度,,若过程,Z(t),是平稳的，复过程,Z(t),的功率谱密度,,,由付里叶反变换可得,,,,若复过程,Z,i,(t),和,Z,k,(t),联合平稳，则根据式,(4.4.16),，复过程,Z,i,(t),和,Z,k,(t),的互谱密度为,§4·7 复随机过程的功率谱密度 若过程Z(t)是平稳的，,38,§4．8 功率谱密度的计算举例,,计算功率

20、谱的方法：,方法,1,：先求,R,X,(,τ),,,由维纳－辛钦定理将,R,X,(,τ),作付氏变换即可,方法,2,：直接使用,G,X,(,ω),的定义,方法,3,： 利用已有的一些结果,如果让你求一个平稳随机过程的功率谱密度，你能想到几种方法？,§4．8 功率谱密度的计算举例 计算功率谱的方法：方法2：,39,例,4.8,平稳过程,X(t),为,式中，,a,b,ω,0,为常数，,Ф,是在,(0,，,2,丌,),上均匀分布的随机变量。求,X(t),的功率谱密度。,,解：方法,1,例4.8平稳过程X(t)为式中，a,b,ω0为常数，Ф是在(,40,功率谱密度的计算,例,4,．,9,求随机,调,

21、幅脉冲序列的功率谱．,,假设所有脉冲具有同样的形状，但它们的幅度是随机变量，且各个脉冲相互独立。此外，各幅度变量有同样的均值,m,A,和方差,σ,A,2,，脉冲重复周期是常数,t,1,,t,0,是在周期,1,／,t,1,上均匀分布的随机变量。求得,X(t),的功率谱密度,Gx(,ω,),为：,式中,S(,ω,),是基本脉冲波形,S(t),的付氏变换。,,功率谱密度的计算例4．9求随机调幅脉冲序列的功率谱． 假,41,随机,调,幅脉冲序列的功率谱,,(1),Gx(,ω,),由,连续谱和离散谱组成，连续谱的幅度与,δ,函数的面积均与,|S(ω),,|,,2,成正比。,,(2),如果,m,A,=

22、0,,则尽管脉冲是周期性的，也将不出现离散谱。,,(3),如果,σ,A,2,=0,，即为等幅脉冲串，则没有连续谱。,,可以得到以下结论：,,随机调幅脉冲序列的功率谱 (1) Gx(,42,例,4.10,考虑一个二元通信系统，其信息通过一个脉冲序列的极性编码来传送，其波形如图,4.18,所示。这种二元信号的特点是：所有脉冲有同样的幅度,a,，极性或正或负等概率发生，脉间统计独立。求此二元信号,X(t),的功率谱密度,Gx(ω),。,解,:,由于等幅且两种极性等概率发生，故有,σ,A,2,=a,2,,m,A,=0,。,,由式,(4.8.3),得：,,若已知,,则有,,,例4.1

23、0 考虑一个二元通信系统，其信息通过一个脉冲序列的,43,§,4,．,9,随机过程的高阶统计量简介,,高阶统计量也称高阶累积量，它和高阶矩相联系。高阶累积量对高斯过程是“盲”的，而相关函数不是，所以采用高阶累积量可自然的消除加性高斯噪声的影响。,,另外，二阶统计量丢失了随机信号重要的相位信息，而高阶统计量含有幅度和相位信息，这也是高阶统计量一个诱人之处。,§4．9 随机过程的高阶统计量简介 高阶统计量也称,44,1,、随机变量的矩及累积量,随机变量,X,的,n,阶原点矩定义为,n,阶中心矩定义为：,随机变量,X,的,特征函数：,1、随机变量的矩及累积量随机变量X的n阶原点矩定义为n

24、阶中心,45,随机变量的矩和,特征函数的关系,随机变量,X,的,n,阶原点矩和特征函数的关系：,将,特征函数,取对数，定义为累量生成函数（第二,特征函数）：,定义,为随机变量,X,的,k,阶累积量,随机变量的矩和特征函数的关系随机变量X的n阶原点矩和特征函数,46,,随机变量的矩和,特征函数的关系,,累积量的物理意义：,,一阶累积量是随机变量的均值，大致描述了概率分布的中心；二阶累积量是随机变量的方差，描述了概率分布的离散程度；而三阶累积量是三阶中心矩，描述了概率分布的非对称性。四阶累积量可以描述了概率分布的峰态。,累积量的物理意义： 一阶累积量是随机变量的均值，大,47,累积量的物

25、理意义,累积量的物理意义,48,累积量的物理意义,,三阶累积量是三阶中心矩，描述了概率分布的非对称性,称,为偏态系数或简称偏态,正态随机变量,g,的偏态,s,g,=0,累积量的物理意义三阶累积量是三阶中心矩，描述了概率分布的非对,49,累积量的物理意义,四阶累积量,设随机变量为,0,均值，则,记 为峰态,,显然正态分布的峰态为,0,，比正态分布曲线尖锐的分布曲线有正的峰态，比正态分布曲线平坦的分布曲线有负的峰态。,累积量的物理意义四阶累积量设随机变量为0均值，则记,50,随机变量的累积量,对于高斯随机变量：,类似由多维随机变量的多维特征函数

26、取对数可得相应的第二,特征函数，由,第二,特征函数可定义各阶累积量：,随机变量的累积量对于高斯随机变量：类似由多维随机变量的多维特,51,多维随机变量的累积量,对于零均值实随机变量,X,1,，,X,2,，,X,3,，,X,4,，其相应的二阶、三阶，四阶累量分别定义为：,,,多维随机变量的累积量对于零均值实随机变量X1，X2，X3，X,52,随机过程的累积量,对于零均值随机过程,X(t),，其相应的二，三、,,四阶累量分别定义为：,,,随机过程的累积量对于零均值随机过程X(t)，其相应的二，三、,53,多谱,二阶累量的付里叶变换为功率谱密度，三阶以上累量的付里叶变换称为多谱密度。对于,K,阶累量

27、有,,,显然,K=2,时为功率谱密度,G,X,(,ω,),，,,K=3,时称,S,3,X,(,ω,),为双谱,(Bispectrum),，,S,4,X,(,ω,),为三谱,(Trispectrum),等。,,多谱二阶累量的付里叶变换为功率谱密度，三阶以上累量的付里叶变,54,小结,1,、随机过程,X(t),的,功率谱密度函数,平稳随机过程,X(t),的平均功率为：,小结1、随机过程X(t)的功率谱密度函数平稳随机过程X(t),55,小结,2,、维纳－辛钦定理,,平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度构成傅立叶变换对,小结2、维纳－辛钦定理 平稳随机过程的自相关函数与,56,小结,3,、功率谱密度的性质,G,X,(ω),是实、偶、,非负的,函数,有理谱密度,,式中,G,。,>0,，一般必须满足,m>n,，此外，分母应该无实数根,,含有直流或周期性成分的平稳过程其功率谱可引入,δ-,函数。,互谱密度及其性质,小结3、功率谱密度的性质GX(ω)是实、偶、非负的函数有理谱,57,小结,4,、白噪声与白序列,5,、功率谱估值的经典法,周期图法、,BT,法,小结4、白噪声与白序列5、功率谱估值的经典法周期图法、BT法,58,习 题,1,、,4,、,5,、,7,、,12,、,14,、,16,、,24,本章小结,习 题1、4、5、7、12、14、16、24本章小结,59,