微积分入门讲义ppt课件

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1、,,,,,,,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,*,定积分,,第一节 定积分的概念与性质,,,a,b,x,y,o,实例,1,,（求曲边梯形的面积）,一、问题的提出,,a,b,x,y,o,a,b,x,y,o,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．,（四个小矩形）,（九个小矩形）,,曲边梯形如图所示，,,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,,实例,2,,（求变速直线运动的路程）,思路,：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过

2、对时间的无限细分过程求得路程的精确值．,,（,1,）分割,部分路程值,某时刻的速度,（,2,）求和,（,3,）取极限,路程的精确值,,二、定积分的定义,定义,,被积函数,被积表达式,积分变量,记为,积分上限,积分下限,积分和,,注意：,,定理,1,定理,2,三、存在定理,,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,四、定积分的几何意义,,几何意义：,,例,1,,利用定义计算定积分,解,,,五、定积分 的性质,,,,证,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,性质,1,,证,性质,2,,补充,：不论 的相对位置如何,,,上式总成立,.,例,若,（,定积分对于积分区间具有可加性

3、）,则,性质,3,,证,性质,4,性质,5,,解,令,于是,可以直接作出答案,,性质,5,的推论：,证,（,1,）,,证,说明：,,可积性是显然的,.,性质,5,的推论：,（,2,）,,证,（,此性质可用于估计积分值的大致范围）,性质,6,曲边梯形的面积 夹在两个矩形之间,,解,例,2,,不计算定积分 估计 的大小,,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,性质,7,（,Th5.1,定积分第一中值定理）,积分中值公式,,使,即,积分中值公式的几何解释：,,Th5.2(,推广的积分第一中值定理）,,考察定积分,记,积分上限函数,六、积分上限函数及其导数,,证,,由

4、积分中值定理得,,计算下列导数,,补充,证,,例,1,求,解,分析：,这是 型不定式，应用洛必达法则,.,,定理,2,（原函数存在定理）,定理的重要意义：,（,1,）肯定了连续函数的原函数是存在的,.,（,2,）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系,.,,定理,3,（微积分基本公式）,证,七 牛顿,—,莱布尼茨公式,,令,令,牛顿,—,莱布尼茨公式,,微积分基本公式表明：,注意,求定积分问题转化为求原函数的问题,.,,例,4,求,,原式,例,5,设,,,,求,.,解,解,,例,6,求,,解,由图形可知,,则有,1.,微积分基本公式,积分中值定理,微分中值定理,牛顿,–,莱布尼茨公

5、式,,,定理,八、换元公式,,证,,,应用换元公式时应注意,:,（,1,）,（,2,）,,,例,1,计算,例,2,计算,,例,1,计算,解,凑微分是第一类换元积分法，特点是不要明显地换元，也就不要更换积分的上下限。,,例,2,计算,解,原式,,例,3,计算,解,,三角代换和根式代换,,,例,4,计算,解,令,原式,明显换元,,证,,,奇函数,例,6,计算,解,原式,偶函数,单位圆的面积,,总结：,,,1,、定积分公式,—,,2,、定积分计算方法（直接代入，凑微分，根式代换，三角代换）,,3,、根式和三角代换为明显的代换，所以换元要换上下限,,4,、 介绍了积分上限函数,,5,、积分上限函数是原

6、函数,,6,、计算上限函数的导数,,证,（,1,）设,,,（,2,）,由此计算,设,,,定积分的分部积分公式,推导,九、分部积分公式,,例,,计算,解,,例,2,,计算,解,令,则,,例,3,,计算,解,例,4,,计算,,例,5,,计算,解,,第四节 广义积分,一、无穷限的广义积分,,,,例,1,,计算广义积分,解,简记为,,例,1,,计算广义积分,解,,证,,,,,,,,回顾,曲边梯形求面积的问题,第五节、定积分应用,a,b,x,y,o,,1,、几何上的应用,,,面积,,,,a,b,x,y,o,面积元素,,一、平面图形的面积,1.,直角坐标情形,设曲线,与直线,及,,x,,轴所围曲,则,边梯

7、形面积为,A,,,右图所示图形，面积元素为,,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,,c,有时也会选,y,,为积分变量,,解,（,1,）作图,,（,2,）求出两曲线的交点,,（,3,） 选 为积分变量,（,4,）代公式,,解,两曲线的交点,选 为积分变量,,解题步骤：,,(2),求出交点；,(3),选择合适的积分变量，确定积分区间，计算。,(1),画出草图；,,例,3.,求椭圆,解,:,,利用对称性,,,所围图形的面积,.,有,利用椭圆的参数方程,应用定积分换元法得,当,a,=,b,,时得圆面积公式,,二、立体体积,设所给立体垂直于,x,,轴的截面面积为,A,(,x,),,则对应于小

8、区间,的体积元素为,因此所求立体体积为,上连续,,,1.,已知平行截面面积函数的立体体积,,例,1.,,一平面经过半径为,R,,的圆柱体的底圆中心,,,并,与底面交成,,角,,,解,:,,如图所示取坐标系,,,则,圆的方程为,垂直于,x,,轴 的截面是直角三角形,,,其面积为,利用对称性,计算该平面截圆柱体所得立体的体积,.,,思考,:,,可否选择,y,,作积分变量,?,此时截面面积函数是什么,?,如何用定积分表示体积,?,提示,:,,,旋转体,就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做,旋转轴,．,圆柱,圆锥,圆台,旋转体的体积,,当考虑连续曲线段,轴旋转一周围成的立体体积时,,,有,当考虑连续曲线段,绕,y,,轴旋转一周围成的立体体积时,,,有,2.,旋转体的体积,,x,y,o,旋转体的体积为,,,,,,例,1.,,计算由椭圆,所围图形绕,x,,轴旋转而,转而成的椭球体的体积,.,解,:,利用直角坐标方程,则,(,利用对称性,),,例,.,,与,x,,轴围成的封闭图形,绕直线,y,＝,3,旋转得的旋转体体积,.,(1994,考研,),解,:,,利用对称性,,,故,旋转体体积为,在第一象限,求曲线,,解,,