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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,经济数学基础,,微积分,,第二篇 第一章 不定积分,原函数的概念 、不定积分的求法,本章难点：,,原函数的概念、分部积分法,本章重点：,,一、不定积分的概念,（一）原函数的概念,1,、回顾求“导数”,例如：,现在，我们问：这个过程是否可以反过来？,即：,,【,定义,1.1】,(P,－,220),【,注意,】,其中,c,为任意常数,所以，,都是 的,原,函数,。,,,【,例,1】,给定函数,求它的一个原函数。,【,解,】,因为我们知道,【,例,2】,给定函数,求它的一个原函数。,【,解
2、,】,因为,,讨论,1,：任给一个函数，它是否总有原函数？,结论,1,：初等函数总有原函数！,答：不一定。,讨论,2,：如果一个函数有原函数，会有多少,,个原函数？,可见，原函数是,不唯一,的。。,结论,2,：一个函数有原函数的话，就有,,,无穷多个,原函数。,,（二） 不定积分的定义,定义,1.2:,【,例,】,其中,f(x,),称为,被积函数,，,x,为,积分变量,。,,注意：,【,例如,】,记住：,求不定积分,就是,求原函数,,二、不定积分的求法,实际上,导数,和,不定积分,是两种,互逆运算,。,所以类似于求初等函数的导数，求初等函数的不定积分，也分三个方面,:,（,1,）积分的基本公式
3、；,,（,2,）不定积分的四则运算法则；,,（,3,）不定积分与复合运算的关系,.,,由前面的分析知道：,求导公式,反过来,,就是,积分公式,．,（一）不定积分的基本公式,也就是说，有一个导数公式，反过来,,就有一个积分公式．,导数基本公式,积分基本公式,,解：,注意：幂函数求导数会,降低幂次,，求不定积分,,会,增加幂次,。,解：,,解：,解：,,解：,解：,,导数基本公式,积分基本公式,证明：,将两个结果统一起来就得到积分公式,(3).,,【,解,】,导数基本公式,积分基本公式,,导数基本公式,积分基本公式,,以上这些积分基本公式都是需要牢记的．,另外，有一种方法可以检验不定积分计算的正确
4、与否：就是,将计算结果求导数，看是否等于被积函数,。,积分公式固然重要，但最重要的还是求,,导公式。,,系统回顾一下积分基本公式,,,（二）不定积分的四则运算法则,实际上都是由求导法则推出来的。,,例,4,：,解：,性质,1,性质,2,,例,5,：,解：,像这种利用不定积分的,性质,1,、,2,和积分,基本公式,直接计算出不定积分的方法称为,直接积分法,．,,【,练习,1】,课本,225,页，练习,1.2,题,1,,【,解,】,性质,1,,求复杂积分的两种方法,1,、第一换元法（凑微分法）,,,2,、分部积分法,,（三）第一换元法（凑微分法）,分析：,,【,解,】,,【,基本想法,】,,,被积
5、函数复杂时，找一个中间变量将被积函数变成简单函数求积分。,用公式表达为：,,第一换元法（凑微分法）的步骤：,,【,解,】,,解：,,【,练习,2】,课本,236,页，练习,1.3,题,2,,【,解,】,,2,、第二换元法,解：,为使被积函数有理化,,,作变换,代入原式得：,,,（四）分部积分法,主要是用于处理被积函数是,两个函数,,相乘的形式,的不定积分。,定理,1.2,（分部积分公式）,写成微分形式：,,运用分部积分法求不定积分，主要是,,要熟练运用分部积分公式。,分部积分法求 的,步骤,是：,将,左边复杂,的积分化为,右边简单,的积分。,,解：,,问题：两个函数先找哪个函数的原函数呢？,方法是：,⑴,幂函数,乘以,三角函数,时，先找,三角函数,,的原函数；,⑵,幂函数,乘以,指数函数,时，先找,指数函数,,的原函数；,⑶,幂函数,乘以,对数函数,时，先找,幂函数,的,,原函数。,,【,解,】,⑴,幂函数,乘以,三角函数,时，先找,三角函数,,的原函数；,,解：,【,注意,】,连续多次运用分部积分公式,,解：,,解：,,解：,,一般地，要记住：,,【,练习,3】,课本,236,页，练习,1.3,题,3,,本 章 习 题,题,1,：,解：,,题,2,：填空题,,题,3,：,解：,,,
《微积分》第二篇第一章讲义 不定积分
