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1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,5.3,微积分基本定理,问题,:,研究不从定义出发计算定积分的简便方法,1,0,两个问题,(1),在时间段,T,1,T,2,内,物体经过的路程,:,若物体的位置函数,s=,s(t,),则,S(t,),具有性质,:,(2),设,y,=,f,(,x,),在,a,b,上连续,对任意,x,a,b,面积函数,A(,x,),如图所示,a,b,x,y,o,A(,x,),具有性质,:,其中,对一般的积分 是否成立,自然要问,:,则,有,能否求一个函数,F(,x,),使在,a,b,上成立,1:,的函数,F,(,x,),是否有
2、等式,对于求得的在,a,b,上满足,2:,成立,?,其中,对一般的积分 是否成立,Q:,2,0,微积分第一基本定理及变限积分函数,能否求一个函数,F,(,x,),使在,a,b,先来研究问题一：,上成立：,定理,(,微积分第一基本定理,),若,y,=,f,(,x,),在,a,b,上连续,任取,x,0,a,b,固定,在,a,b,上可导,而且,则函数,(1),证明,:,任取,x,a,b,x,0,使,x,+,x,a,b,由于,(,介于,x,与,x,+,x,之间,),注意到,当,x,0,时,x,及,f,(,x,),在,a,b,上连续,故有,定理说明,:,当,f,(,x,),在,a,b,上,连续,时,问题
3、一,有解,就是,问题一,的解,函数,说明,:,(1),由式,(1),从而可知,:,微分运算“,d,”,与变上限积分运算,“”是互逆的运算,(2),变上限积分函数 是表示函数,的重要手段,(,许多工程中的重要函数用积分,形式表示 如,Fresnel,函数,),它以公式,(1),作,为求导公式,3,0,原函数和不定积分,问题,如何计算,?,先讨论满足 的函数,F(x,),的性质,定义,设,f,(,x,),在,a,b,上有定义,如果对任意,的,x,a,b,都有,或,则称,F(,x,),为,f,(,x,)(,或,f,(,x,)d,x,),在,a,b,上的一个,原函数,.,定理,(,原函数存在定理,),
4、如果,f,(,x,),在,a,b,上连续,则 是,f,(,x,),在,a,b,上的一个原函数,即 连续函数必有原函数,.,定理,(,关于原函数的性质,),(1),若,F(,x,),是,f,(,x,),在,a,b,上的一个原函数,则对,任意,c,R,F(,x,)+,c,也是,f,(,x,),在,a,b,上的原函数,原函数,(2),若 是,f,(,x,),在,a,b,上的另外两个,则存在,c,R,使,即,f,(,x,),的任意两个原函数之间最多相差一个常数,证明,(2),设,则由,F,1,(,x,),F,2,(,x,),都为,f,(,x,),在,a,b,上的原函数知,即,从而,F(,x,),在,a
5、,b,上恒等于常数,即存在常数,c,使,F(,x,),c,由此得知,:,在知道,f,(,x,),的一个原函数,F(,x,),之后,则,F(,x,)+,c,(,c,为任意实数,),表示了,f,(,x,),的所有,原函数,定义,我们把,f,(,x,),在,a,b,上的原函数的一般,表达式,F(,x,)+,c,称为,f,(,x,),在,a,b,上的,不定积分,记为,即,其中,F(,x,),是,f,(,x,),在,a,b,上的某一原函数,c,为,任意实数,.,(1),不定积分 表示一族函数,它涵,盖了,f,(,x,),在,a,b,上原函数的全体,现若,f,(,x,),在,a,b,上连续,则变上限积分函
6、数,是,f,(,x,),在,a,b,上的一个原函数,于是有,说明,:,（,3,）,不定积分运算与求导运算呈互逆 关系,(,相差一常数意义下,),这就使我们,可从求导公式来获得不定积分的计算公式,!,(2),即不定积分运算,“,”,与微分,运算,“,d”,在相差一,任意常数的意义下是,“,互逆,”,的,根据求导公式可得以下,不定积分公式,:,的函数,F(,x,),是否有等式,对于求得的在,a,b,上满足,问题二,:,成立,?,下面研究,4,0,微积分第二基本定理,设,f,(,x,),在,a,b,上连续,若能计算出不定积分,从而获得,f,(,x,),在,a,b,上的一个原函数,F(,x,),则有,
7、令,x,=,a,得,F,(,a,)+c=0,c=,F,(,a,),可得,所以有,定理,(,微积分第二基本定理,),说明,:,(1),牛顿,莱布尼兹公式 把 的计算问题,转化,f,(,x,),在,a,b,上的一个原函数的计算问题,转化,不定积分 的计算问题,从而回避,从定义计算定积分,(2),前述的,问题一,问题二,得到解决,设,f,(,x,),在,a,b,上连续,F(,x,),是,f,(,x,),在,a,b,上,的任意一个原函数,则,(,牛顿,莱布尼兹公式,),例,计算,解,首先计算 在,0,1,上的原函数,为此计算,由于,所以,则,F(,x,),在,0,1,上是,的一个原函数,取函数,F(,
8、x,)=,x-,2,arctanx,例,计算,其中,解,变上限积分函数的进一步讨论,:,变限积分函数既然是一函数,就可讨论其一系列,的函数性质,(,例如,单调性,最值,凹凸性等,),解,因为,设,f,(,x,),是连续函数，而,(,x,),，,(,x,),均为可微,证明,:,若,计算,若记,例,函数,(2),由于,同理可得,所以有,所以有,(1),利用公式,(1),有,(2),解,由,设,f,(,x,),在,a,b,上,连续，且,f,(,x,)0,，又,证明,:,(2),F,(,x,)=0,在,a,b,内有且仅有一个实根,例,(1),又,F(,x,),在,a,b,上可微,同时注意到,F,(,x
9、,),严格单调增,F(,x,),在,a,b,上连续,根据零值定理知存在,(,a,b,),F()=0,使,有且仅有一个实根,所以方程,F,(,x,)=0,例,设,f,(,x,),在,a,b,上连续,且单调增,证明,:,解,原问题,构造辅助函数,则有,F(,a,)=0,我们希望证明,F(,x,),在,a,b,上单调增,对任意的,x,a,b,所以,F(,x,),在,a,b,上单调增,.,于是有,F(,b,),F(,a,)=0,由此证得,例,设,f,(,x,),在,a,b,上具有连续的二阶导数,求证,:,在,(,a,b,),内存在,使得,解,设,取,x,=,b,在,x,0,处泰勒展开,有,其中,再取,x,=,a,在,x,0,处泰勒展开,有,其中,即,两式相减得,即,由于 连续,根据介值定理,存在,使得,故有,
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