3.3节微积分第三章

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1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,.(,第一章,),单调增加,(,或减少,),函数的几何解释,:,对应曲线是上升或下降的,.,3.3,函数的单调性与曲线的凹凸性,单调性是函数的重要性态之一,也是本章主要,内容,.,它既决定着函数递增和递减的状况,又有助,于我们研究函数的极值、证明某些不等式、分析描,绘函数的图形等,.,一,.,函数的单调性,1,y,=(,x,),o,x,x,y,y,o,y,=(,x,),用定义来判断函数的单调性有比较法、比值法,.,但繁,!,下面讨论如何用导数来判断函数的单调性,.,2,o,x,x,o,y,y,从上图可看

2、出,:,当曲线为上升,(,或下降,),时,其上各点切,线与,x,轴正向夹角为锐角,(,或钝角,),则其切线斜率,tan,是非负,(,或非正,),的,.,根据导数的几何意义知函数,(,x,),单调增加,(,或减少,),时,总有,可见函数的单调性与导数的符号有关,.,3,定理,1,.(,函数单调性的判定方法,),设,y=(x),在区间,a,b,上连续,在区间,(a,b),内可导,.,有,即函数导数在区间保号从而此函数在该区间内一定单调,.,4,例,1,注,1.,研究函数的单调性,就是判断它在哪些区间内递增,哪些区间内递减,.,由定理,1,对可导函数的单调性,可根据,导数的正负情况予以确定,.,2.

3、,定理,1,的结论对无穷区间也成立,.,5,o,x,y,3.,如果函数的导数仅在个别点处为,0,而在其余的点处均满足定理,1,则定理,1,仍成立,.,如,4.,此定理可完善为充要条件,.,即若,(,x,),在,(,a,b,),内可导且单调增加,(,或减少,),则,(,x,),在,(,a,b,),内必有,5.,有些函数在它的定义区间上不是单调的,.,如,但它在部分区间上单调,那么怎么来求它的单调区间呢,?,o,x,y,6,o,x,y,y=|x|,的点,(,单调区间分界点,),来划分函数的定义区间,就能保,证函数在各个部分区间内保持固定符号,从而可得单调,区间及函数的单调性,.,6.,函数,y=|

4、x|,x=0,为其连续不可导点,.,但它在部分,区间上单调,那么又怎么来求它的单调区间呢,?,结论,:,如果函数在定义区间上连续,除去有限个导数不存在的点外导数都存在且连续,那么只要用方程,7,确定某个函数,y=,(,x,),的单调性的一般步骤是,:,(1),确定函数定义域,;,(2),求出 的点,以这些点为分界,点划分定义域为多个子区间,;,(3),确定,在各子区间内的符号,从而定出,(x),在各,子区间的单调性,.,8,例,2,求函数 的单调区间,.,x,1,(1,2),2,+,+,(,x,),列表讨论如下,:,解 定义域为,故,是,(,x,),的递增区间,.1,2,是递减区间,.(,端点

5、可包括也可不包括,),9,例,3,讨论函数 的单调性,.,解 定义域为,x,0,+,+,(x),故在 内,(x),是递增的,.,在 内递减,.,列表讨论如下,:,10,例,4,证明不等式,二,.,函数单调性的应用,下面利用函数的单调性,来证明不等式和判断方程,的根的存在性及其个数,.,1.,证明不等式,:,关键是根据所证不等式及所给区间构造辅助函数,并讨论它在指定区间内的单调性,.,11,2.,讨论方程根的问题,:,若,y =,(,x,),单调且变号,则方程,(x)=,0,一定有根,而函数曲线与,x,轴的交点,就是方程的根,.,12,例,5,证明方程,(1),有且仅有一个正根,.,(2),内有

6、两个实根,.,证,(1),13,定义,1,设函数,y=,(,x,),在区间,(,a,b,),内可导,.,若,该函数曲线在,(,a,b,),内总是位于其上任意一点,的切线上方,则称该曲线在,(,a,b,),内是凹的,;,区间,(,a,b,),为该曲线的凹区间,.,o,x,y,y,=(,x,),三,.,曲线的,凹凸性,14,若该函数曲线在,(a,b),内总是位于其上任意一点的切线下方,则称该曲线在,(a,b),内是凸的,;,区间,(,a,b),为该曲线的,凸,区间,.,人们常将曲线所具有的凹或,凸,的性质称为曲线,的凹,凸,性,.,定义,1,的等价定义为,o,x,y,y,=(,x,),定义,若曲线

7、,y,=,(,x,),在区间,(,a,b,),内连续,则称曲线在该区间内是,凸,(,凹,),的,.,15,o,x,y,A,B,o,x,y,A,B,显然用定义来判别曲线的凹,凸,性是极不方,便的,.,由定义,1,知,凸,曲线从点,A,移到点,B,时,对应的切线斜率 单调减少的,.,A,A,B,B,而凹曲线从点,A,移到点,B,时,对应的切线斜率,单调增加的,.,从而当 存在时,则可用,二阶导数的符号来判别曲线的凹,凸,性,.,y,=,(,x,),y,=,(,x,),16,定理,2,设函数,y=(x),在区间,(a,b),内具有二阶导数,则,+,四,.,曲线的拐点的定义,定义,2,设函数,y=(x

8、),在区间,(a,b),内连续,则曲线,y=(x),在该区间内凹,(,从,A,到,C,),与凸,(,从,C,到,B,),部分的分界点,C,(c,(c),称为曲线的拐点,.,17,o,x,y,y=,(x),a,A,B,b,c,C,注,1:,拐点是曲线上的点,从而拐点的坐标需用横坐标与纵坐标同时表示,不能仅用横坐标表示,.,这与驻点及极值,点的表示方法不一样,.,例,6,判断曲线 的凹性,并求其拐点,.,o,x,y,18,注,2:,由拐点的定义知,要讨论曲线的凹凸性须先寻找它的拐点,.,那么拐点在哪些点之中去寻找呢,?,o,x,y,定理,3,(,拐点的必要条件,),若函数,y=(x),在 处的二阶

9、导数,存在,且点 为曲线,y=(x),的拐点,则,19,注,3:,所确定的点 不一定是拐点,.,如 即,即这些点只是可能的拐点,是否真为拐点呢,?,是点为,拐点的必要条件而非充分条件,.,定理,4.,若函数,y=(x),在 处 且在 两,侧的二阶导数变号,则点 为曲线,y=(x),的,拐点,.,在 两侧的二阶导数保号,则点 不,为曲线,y=(x),的拐点,.,20,注,4:,有两种特殊情形要注意,:,(1),(x),在 处一阶导数存在而二阶导数不存在,.,如果在点 左右邻近二阶导数存在且符号相反,则 为拐点,;,若符号相同,则不是拐点,.,(2),(,x,),在,处连续,而一、二阶导数都不存在,.,如果在,点 左右邻近二阶导数存在且符号相反,则,为拐,点,;,若符号相同,则不是拐点,.,21,例,7,判断曲线 的凹性,并求其拐点,.,x,0,(0,),+,不存在,0,+,y,拐点,(0,0),拐点,22,结论,:,曲线在 内是凹的,;,曲线在,内是凸的,;,拐点为,(0,0),和,23,