学案13定积分与微积分基本定理

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1、学案13 定积分与微积分基本定理,定积分与微积分基本定理,(1)了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.,,(2)了解微积分基本定理的含义.,,在高考中出现的题目应属于容易题，考查定积分的简单,,,应用(如求曲线围成的面积、力做的功等）的可能性较大.,1.,用化归法计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为,,、,,、,,,、,,.,,2、定积分的定义,,如果函数f(x)在区间［a,b］上连续,用分点a=x,0,

2、=1,2,…,n),作和,,,式,,.当n→+∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数f(x)在区间［a,b］上的定积分,,取极限,分割,近似代替,求和,记作,,,即 =,,,其中f(x)叫做,,,x叫做__________,f(x)dx叫做,,,区间［a,b］叫做,,,a叫做,,,b叫做,,,“∫”称为积分号.,积分上限,被积函数,积分变量,被积式,积分区间,积分下限,3、定积分的性质,,1.定积分的线性性质,,=,,（k为常数），,,=,.,,2.定积分对区间的可加性,,= +,,+(a＜b＜c).,,4、微积分基本定理,,

3、设f(x)在［a,b］上连续，F（x）是f(x)的任意一个原函数，即F′(x)=f(x)，那么 = F(b)-F(a).这个公式也叫牛顿—莱布尼兹（NewtonLeibniz）公式.这个公式把积分和微分这两个不同的概念联系起来，从而把求定积分 的问题转化为求f(x)的原函数的问题.,考点1 利用微积分定理求定积分,计算下列定积分:,,,(1),,dx；,,,(2) x(x+1)dx;,,【分析】,求出被积函数的原函数,用微积分基本定理,,进行求解,计算 f(x)dx的关键是找到满足F′(x)=f(x)的函数F(x).其

4、中F(x)可将基本初等函数的导数公式逆向使用得到.,【解析】,(1)∵ dx=lnx =ln4-ln2=ln2,2,-ln2=2ln2-ln2=ln2.,,(2)∵x(x+1)=x,2,+x且（ x,3,）′=x,2,,（ x,2,）′=x,,,∴ x(x+1)dx= (x,2,+x)dx,,= x,2,dx+ xdx= x,3,+ x,2,,=（ ×2,3,-0）+（ ×2,2,-0）= .,,【评析】,计算一些简单的定积分，解题的步骤是：（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数

5、、余弦函数、指数函数与常数的和或差；（2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；（3）分别用求导公式找到一个相应的原函数；（4）利用微积分基本定理求出各个定积分的值；（5）计算原始定积分的值.,求下列定积分:,,(1) (2x-3x,2,)dx;,,(2) sin,2,dx;,,(3) (x+ )dx.,(1) (2x-3x,2,)dx= 2xdx- 3x,2,dx=x,2,-x,3,=-18.,,(2) sin,2,dx= dx,,= dx-

6、 cosxdx,,= x -,sinx,,= .,(3) ( x+ )dx= xdx+ dx,,= x,2,+lnx = +ln2.,设y=f(x)为区间［0,1］上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1,可以用随机模拟方法近似计算积分 f(x)dx,先产生两组(每组N个)区间［0,1］上的均匀随机数x,1,,x,2,,…,x,N,和y,1,,y,2,,…,y,N,,由此得到N个点(x,i,,y,i,)(i=1,2,…,N).再数出其中满足y,i,≤f(x,i,)(

7、i=1,2,…,N)的点数N,1,,那么由随机模拟方法可得积分 f(x)dx的近似值为.,考点2 利用定积分几何意义求定积分,且共有N个数对,即N个点.而满足y,i,≤f(x,i,)的有N,1,个点,即在函数f(x)的图象上及图象下方有N1个点,所以用几何概型的概率公式得:f(x)在x=0到x=1上与x轴围成的面积为 ×1= ,即 f(x)dx= .,【解析】,因为0≤f(x)≤1且由积分的定义知 f(x)dx是由直线x=0,x=1及曲线y=f(x)与x轴围成的面积.又产生的随机数对在如图所示的正方形内,正方形的面积为1,,【分析】,利用定积

8、分的几何意义解题.,,【评析】,本题考查了几何概型、定积分等知识，难度不大，但综合性较强，很好地考查了学生对积分等知识的理解和应用，题目比较新颖.,求定积分 .,令y= ，则(x-3),2,+y,2,=25(y≥0),,,∵ 表示由曲线y= 在［-2,3］上的一段与x轴和直线x=3所围成的面积，,,∴ = ·π·5,2,=

9、 π.,考点3 定积分的应用,,由曲线y=x,2,,y=x,3,围成的封闭图形面积为 ( ),,A. B. C. D.,,【分析】,先求出y=x,2,与y=x,3,的交点,再由定积分的几何意义求面积.,,y=x,2,,y=x,3,,因此所求图形面积为S= (x,2,-x,3,)dx=（ x,3,- x,4,） = .,,故应选

10、A.,A,【解析】,由,得交点坐标为(0,0),(1,1),,求抛物线y,2,=2x与直线y=4-x围成的平面图形的面积.,y,2,=2x,,y=4-x,,解出抛物线和直线的交点为(2,2),,及(8,-4).,,解法一,:选x作为积分变量,,,由图可看出S=A,1,+A,2,,,【解析】,由方程组,在A,1,部分:由于抛物线的上半支方程为y= ,,,下半支方程为y=- ，所以,,=,,= ,,,=,,=,,于是：S= =18.,解法二,：选y作积分变量，,,将曲线方程

11、写为x= 及x=4-y.,,S=,,=30-12=18.,考点4 定积分在物理中的应用,,一辆汽车的速度—时间曲线如图所示,求此汽车在这,,1 min内所行驶的路程.,【分析】,由题意知,在t∈［0,10),,和t∈［40,60)物体做匀变速直线,,运动,t∈［10,40)做匀速运动,∴v(t),,应为分段函数,应三段求积分.,【解析】,由速度—时间曲线易知,,,3t, t∈［0,10),,30, t∈［10,40),,-1.5t+90, t∈［40,60］,,,由变速直线运动的路程公式可得,,,,,答:此汽车在这1 min内所行驶的路程是1

12、350 m.,v(t)=,,【评析】,用定积分解决变速运动的位置与路程问题时,将物理问题转化为数学问题是关键.变速直线运动的速度函数往往是分段函数,故求积分时要利用积分的性质将其分成几段积分,然后求出积分的和,即可得到答案.,列车以72 km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a=-0.4 m/s,2,,问列车在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？,,,【解析】,1.被积函数若含有绝对值号应去绝对值号,再分段积分.,,2.若积分式子中有几个不同的参数,则必须先分清谁是被积变量.,,3.求曲边多边形的面积,其步骤为:,,(1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象.,,(2)借助图形确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上限、下限.,,(3)将曲边梯形的面积表示为若干定积分之和.,,(4)计算定积分.,返回目录,,4.用定积分解决变速运动的位置与路程问题时,将物理问题转化为数学问题是关键.变速直线运动的速度函数往往是分段函数,故求积分时要利用积分的性质将其分成几段积分,然后求出积分的和,即可得到答案,由于函数是分段函数,所以运算过程可能稍微复杂些,因此在运算过程中一定要细心,不要出现计算上的错误.,,5.若曲边梯形的面积易求,可以利用曲边梯形的面积来求得定积分.,名师伴你行,SANPINBOOK,祝同学们学习上天天有进步！,名师伴你行,SANPINBOOK,