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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,*,*,*,1. 一阶线性微分方程,的标准形式:,上方程称为,齐次的,.,上方程称为,非齐次的,.,6.2.4 一阶线性微分方程,例如,线性的;,非线性的.,齐次方程的通解为,(1) 线性齐次方程,2. 一阶线性微分方程的,解法,(使用分离变量法),(2) 线性非齐次方程,讨论,两边积分,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解相比:,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质:,,未知函数的变量代换.,作变换,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方
2、程特解,解,例1,例,2,求下列微分方程满足所给初始条件的特解,:,解,于是,将方程标准化为,例,2,求下列微分方程满足所给初始条件的特解,:,解,于是,将方程标准化为,故所求特解为,由初始条件,得,例3,如图所示，平行于 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ,之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .,两边求导得,解,解此微分方程,所求曲线为,例,4,已知函数,.,解,原方程实际上是标准的线性方程,,,其中,直接代入通解公式,,,得通解,求解方程,是,的,例,5,解
3、,方程变为,这个方程不是一阶线性微分方程,,,不便求解,.,如果,方程改写为,则为一阶线性微分方程,,,于是对应齐次方程为,求方程,的通解,.,当将,看作,的函数时,,,将,看作,的函数,,,例,5,解,求方程,的通解,.,利用常数变易法,,,设题设方程,其中,为任意常数,,,分离变量,,,即,并积分得,代入原方程,,,积分得,的通解为,得,其中,为任意常数,.,故原方程的通解为,例6,,求方程,的通解 .,解:,注意,x,,,y,同号,,由一阶线性方程,通解公式,,,得,故方程可,变形为,所求通解为,,这是以,为因变量,,,y,为,,自变量的一阶线性方程,伯努利(Bernoulli)方程的标
4、准形式,方程为,线性微分方程,.,,方程为,非线性微分方程,.,6.2.5 伯努利方程,解法:,需经过变量代换化为线性微分方程.,求出通解后，将 代入即得,代入上式,例,7,解,得,解得,求,的通解,.,两端除以,令,得,故所求通解为,例,8,解,上式即变为一阶线性方程,求方程,的通解,.,令,则,于是得到伯努利方程,令,其通解为,例,8,解,上式即变为一阶线性方程,求方程,的通解,.,令,其通解为,回代原变量,,,即得到题设方程的通解,例10,,用适当的变量代换解下列微分方程:,解,所求通解为,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,小结:,1. 一阶线
5、性方程,方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法.,方法2 用通解公式,化为线性方程求解.,2. 伯努利方程,1.判别下列方程类型:,提示:,,可分离 变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,伯努利方程,思考题,解,思考题,2.求微分方程 的通解.,3.,,求一连续可导函数,使其满足下列方程:,提示:,令,则有,利用公式可求出,思考题,4.,设有微分方程,其中,试求此方程满足初始条件,的连续解.,解:,,1) 先解定解问题,利用通解公式, 得,利用,得,故有,思考题,2) 再解定解问题,此齐次线性方程的通解为,利用衔接条件得,因此有,3) 原问题的解为,( 雅各布第一 · 伯努利 ),,书中给出的伯努利数在很多地方有用,,,伯努利,(1654 – 1705),瑞士数学家,,,位数学家.,,标和极坐标下的曲率半径公式,,1695年,版了他的巨著《猜度术》,,上的一件大事,,,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.,,年提出了著名的伯努利方程,,他家祖孙三代出过十多,,1694年他首次给出了直角坐,,1713年出,,这是组合数学与概率论史,此外, 他对,双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 .,练 习 题,练习题答案,
阶线性方程高等数学微积分
