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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,多元函数的极值,二重积分的概念,,多元函数的极值的概念,定义 设函数z=f(x,y)在点(x,0,,y,0,)的某个邻域内有定义，对,,于该邻域内异于(x,0,,y,0,)的点(x,y)，如果都适合,f(x,y)f(x,0,,y,0,),，,,则称函数在点(x,0,,y,0,)处
2、有,极小值,。极大值、极小值统称为,极值,。,,使得函数取得极值的点称为,极值点,。,极值是局部特性,,二元函数的极值图例,有极小值,有极大值,,在原点没有极值,二元函数的极值图例,,极值存在的必要,、,充分条件,极值存在的必要条件——,各偏导存在的极值点一定是,驻点,。,驻点——使各偏导数均为零的点。,极值存在的充分条件——（以二元函数为例）,设函数,在点,的某个邻域内连续且,有直到二阶的连续偏导数，又,是驻点，令,则：（1）当,AC-B,2,> 0,时，函数,取到极值,，且当A > 0 时取,极小值，当A < 0 时取极大值。,（2）当,AC-B,2,< 0,时，函数,取不到极值,。,（3
3、）当AC-B,2,= 0 时，函数可能,取到,也可能,取不到,极值。,,例1,求函数,的极值。,解：,解方程组,得驻点：,求出二阶偏导：,在点 处，,又,所以,是极小值。,在点 处，,所以函数在该点没在极值。,在点 处，,所以函数在该点没在极值。,在点 处，,又,所以,是极大值。,,最大最小值问题,若函数在某区域 D 上有最值，那么最值一定是在,,极值点或边界上取得。,在实际应用中，若根据问题的性质可知函数在区域,,D 内部取到最值，而函数在 D 内又只有,唯一的驻点,，则,,可判定函数在该驻点即取得最值。,,,例2,要做
4、一个容积等于 K 的长方体无盖水池，应如何选择,,水池的尺寸，方可使它的表面积最小？,解,设长方体的长宽高分别为x,y,z,解方程组：,得：,从而,由问题的实际意义知，这时表面积获得最小值：,则 xyz=K,,以上问题可以看成是表面积,在条件,下的极值（最值）问题——条件极值。,求,条件极值,的,拉格朗日乘数法：,例如：求函数,满足条件 的极值。,作函数：,其中 是常数，称为,拉格朗日乘数,。,（拉格朗日函数）,解方程组：,所得点,是,可能的极值点。,,,例2,要做一个容积等于 K 的长方体无盖水池，应如何选择,,水池的尺寸，方可
5、使它的表面积最小？,解,表面积,得：,由问题的实际意义知，这时表面积获得最小值：,约束条件：,令：,解方程组：,,例3,从斜边长为 4 的所有直角三角形中求面积最大者。,4,解,：三角形面积,约束条件：,令,解方程组,得,由问题的实际意义知，这时三角形的面积获最大值：,,例3,从斜边长为 4 的所有直角三角形中求面积最大者。,4,解,：三角形面积,约束条件：,可将约束条件代入把问题化为求,,一元函数无条件极值的问题。,令,得：,条件极值可转化成无条件极值,,二重积分的引入,——,曲顶柱体的体积（演示）,.,求曲顶柱体的体积,记,用平顶柱体体积,,作近似替换,（1）细分,,（2）近似替换,,（3
6、）作和,,（4）取极限,,设平面薄片的面密度是：,求平面薄片的质量,D,记,二重积分的引入,——,平面薄片的质量,,二重积分的概念,设函数 是有界闭区域 D 上的有界函数。,将闭区域 D,任意分成,个小闭区域,其中 表示第 个小闭区域，同时也表示它的面积。,在每个小闭区域,上任取一点,令,若无论 D 如何划分和 如何选取，,都存在，则称此极限为函数 在 D 上的二重积分，,记作：,,由于二重积分值与分割无关，故在直角坐,,标系下，通常用平行于坐标轴的直线网分
7、,,割区域D，从而有,即,二重积分的概念,所以在直角坐标系下，二重积分常表示为,引例中的曲顶柱体体积可用二重积分表示为,平面薄片的质量为,,二重积分的性质,是常数。,（D 的面积）,二重积分可计算平面图形的面积,其中： 、 是 的一个完全分割。,,二重积分的性质,使,积分中值定理（定性研究）,二重积分的估值,二重积分的比较,,o,y,x,z,a,b,二重积分的计算,——,化二重积分为二次积分,预备知识：平行截面面积以知的立体体积的计算（演示）,A(x),x,如右图所示立体：介于平面x=a与x=b之间,在区间[a,b]内任取一点x，过该点,,作x轴的垂直平面，若该平面
8、的面,,积为A(x)，则由定积分的元素法可,,知立体体积为,,如果积分区域D可表示为：,a,b,y=y,2,(x),y=y,1,(x),o,x,y,Х-,型区域,用平行于yoz面的平面去截立体，,,则截面面积为：,于是，立体体积为,直角坐标系下化二重积分为二次积分,,如果积分区域D可表示为：,у-,型区域,用平行于xoz面的平面去截立体，,,则截面面积为：,于是，立体体积为,直角坐标系下化二重积分为二次积分,o,x,c,d,y,x=,φ,2,(y),x=,φ,1,(y),,直角坐标系下交换二次积分的积分次序,如果积分区域D既可表示为,Х-型区域,：,又可表示为,у-型区域,：,则有如下交换积分
9、次序公式：,у-,型区域,Х-,型区域,,例4,化下列二重积分为二次积分（两种次序）,由,围成。,或记为,故,或记为,解,D可表示为：,D又可表示为：,o,4,4,x,y=x,y,2,=4x,y,x,y,,例4,化下列二重积分为二次积分（两种次序）,或,或记为,或记为,o,x,y,-r,r,x,2,+y,2,=r,2,,例4,化下列二重积分为二次积分（两种次序）,由,围成。,或,或记为,或记为,,补充题,1、求由方程x,2,+y,2,+z2-2x+2y-4z-10=0确定的函数z=f(x,y)的极值。,2、求二元函数f(x,y)=x,2,y(4-x-y)在直线x+y=6，x轴和 y轴所围成,,的闭区域D上的最大值和最小值。,3、求 的最大值和最小值。,4、将证数12分成三个正数x,y,z之和，使得u=x,3,y,2,z为最大。,5、改变积分 的次序。,,再见！,,返回,,返回,,,
华南农大高数第5章多元函数微积分
