大学物理高等数学线性代数微积分能量守恒定律

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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,2 – 4 能量守恒定律,第二,章 动力学基本,定律,,力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积（,功是,标量,，,过程量,）。,一 功,和功率,力的,空间累积,效应,:,,，,动能定理,.,B,*,*,A,对 积累,,,合力的功,,=,分力的功的代数和,,变力的功,直角系,自然系,,,功的大小,与参照系有关,,功的量纲和单位,,平均功率,,瞬时功率,,功率的单位,,（,瓦特）,,,思考1,一质点受力 （SI）作用，沿,x,轴正方向

2、运动。求质点从 到 m，力 作的功。,,思考2,一质点同时在几个力作用下的位移为：,,（SI），其中一个力 为恒力：,,（SI），求此力在该位移过程中所作的功。,,二 动能和动能定理,动能（,状态,函数,）,,动能定理,,合,外力对,质点,所作的功，等于质点动能的,增量。,,功和动能都与,参考系,有关；动能定理仅适用于,惯性系,。,注意,1 质点的动能定理,,,例1,质量为,m,的质点系在一端固定的绳子上在粗糙水平面上作半径为,R,的圆周运动。当它运动一周时，由初速,v,0,减小为,v,0,/2。求：(1)摩擦力作的功；(2)滑动摩擦因

3、数。,解：,（1）根据,质点,动能定理，摩擦力的功,,（2）因摩擦力,方向与运动方向相反,可得,,,例 2,,如图所示，一链条总长为,L,、质量为,M,，放在桌面上，一端下垂，下垂一端的长度为,a,，链条与桌面之间的滑动摩擦系数为,µ,。在重力作用下链条由静止开始下落，求链条末端离开桌面时的速率。,,解,链条受三个力作用：摩擦力、重力、桌面的支持力（此力不作功）。建立坐标如图所示，则重力、摩擦力的功（均为,变力,）分别为,,,重力的功可用重力势能的减少来求。,,对链条、细棒这样一些有一定长度的物体，计算,重力势能,和,重力的力矩,时可将其质量集中在质心，从而当作一个质点处理。,解得,由动能定理

4、得,,1） 质点系中,一对内力的功,如图所示，质点系的两个质量为,,和,,的质点，它们相对于参考点,O,,的位矢分别为,,和,,，,它们间的相互作用力为,,和,,，,,，在,d,t,时间内的位移分别为 和 。,则 和,,对质点,,和,,作功之和为,2 质点系的动能定理,,质点系中,一对内力的总功,质点系中,一对内力的总功只取决于两相互作用的质点的,相对位移,，而,与参考系,的选择,无关,。,说明,一对内力的作功的,充要条件,是：两质点间沿,相互作用力的方向上,有相对位移,。,,2） 质点系的动能定理,,质点系,动能定理,,内力功,外力功,对质点系，有

5、,对第 个质点，有,内力,可以,改变,质点,系,的,动能,。,注意,,,例,3,,如图所示，一辆质量为,M,,的平顶小车静止在,,光滑的水平轨道上，今有一质量为,m,,的小物体以水平,,速度,v,0,,滑向车顶。设物体与车顶之间的摩擦系数为,,,，,,求：,(,1),从物体滑上车顶到相对车顶静止需多少时间？,,(2),要物体不滑下车顶，车长至少应为多少,？,,,m,M,解,,(M+m),：,水平方向动量守恒,,式中,v,是相对静止时的速度,。,,(1),物体,m,：由动量定理得,,联立,(1)(2),得,（2）,因所求车的长度,L,即为物体,,与小车,相对位移,，物体与小车所,,组成的系

6、统的,一对内力,——摩擦力,作功之和不为零,，又因只有摩擦力作功，故由质点系的动能定理知：,或用牛顿第二定律及匀变速直线运动方程求解。,,m,M,,,例4,如图所示，用质量为,M,的铁锤把质量为,m,的钉子敲入木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比。在铁锤敲打第一次时，能够把钉子敲入1cm深，若铁锤第二次敲钉子的速度情况与第一次完全相同，问第二次能把钉子敲入多深？,解,设铁锤敲打钉子前的速度为,v,0,，敲打后两者的共同速度为,v,。,,铁锤第一次敲打时，克服阻力做功，设钉子所受阻力大小为：,由动能定理， 有：,,即,第二次能敲入的深度为：,设铁锤第二次敲打时能敲入的深度为Δ,S,

7、，则有,,1,）,,万有引力作功,以,为参考系， 的位置矢量为,.,1 万有引力、重力、弹性力作功的特点,对,的万有引力为,由 点移动到 点时 作功为,,三 保守力和非保守力 势能,,,,A,B,2,）,,重力作功,,3,）,,弹性力作功,,2 保守力和势能,重力功,弹力功,引力功,,保守力,：力所作的功,与路径无关,，仅决定于相互作用质点的,始末,相对,位置,,.,,非保守力,：力所作的功与路径,有关,.（例如,摩擦,力）,,物体沿,闭合路径,运动一周时，,保守力对它所作的,功等于零,.,,保守力的功,弹性,势能,引力,势能,重力,势能,弹力,功,引

8、力,功,重力,功,,势能,,在具有保守力相互作用的系统内，,与物体间相互作用及,相对位置,有关的能量,称为,系统的势能,.,,,势能具有,相对性,，势能,大小,与,势能零点,的选取,有关,,.,势能是,状态,函数,令,,势能是属于,具有保守力相互作用,质点系,系统,的,,.,讨论,,势能计算,,势能,微分式,,弹性,势能曲线,重力,势能曲线,引力,势能曲线,,势能曲线,,,机械能,质点系动能定理,,非保守力的功,四 质点系的功能原理,,质点系的,功能原理,,质点系机械能的增量等于外力和非保守内力作功之和,.,,,当,时，,有,,功能原理,五 机械能守恒定律,,机械能守恒定律,只有,保

9、守内力作功,的情况下，质点系的机械能保持不变,.,,守恒定律的,意义,,不究过程细节,而能对,系统的状态,下结论，这是,各个守恒定律的特点和优点,.,,,如图的系统，物体 A，B 置于光滑的桌面上，物体 A 和 C, B 和 D 之间摩擦因数均不为零，首先用外力沿水平方向相向推压 A 和 B， 使弹簧压缩，后拆除外力， 则 A 和 B 弹开过程中， 对A、B、C、D 及弹簧所组成的系统,讨论,（,A,）动量守恒，机械能守恒 .,,（,B,）动量不守恒，机械能不守恒 .,,（,C,）动量不守恒，机械能守恒 .,,（,D,）动量守恒，机械能不守恒 .,,（,E,）动量守恒，机械能不一定守恒,

10、.,D,B,C,A,D,B,C,A,,例 1,有一轻弹簧，其一端系在铅直放置的圆环的顶点,P,，另一端系一质量为,,m,,的小球，小球穿过圆环并在光滑圆环上运动。开始小球静止于点,A,，弹簧处于自然状态，其长度为圆环半径,,R,； 当小球运动到圆环的底端点,,B,,时，小球对圆环没有压力。求弹簧的劲度系数,。,解,以弹簧、小球和地球为系统,只有保守内力做功,系统机械能守恒,取图中点 为重力势能零点,,又,,联立（1）（2）解得,即,系统机械能守恒 ，图中,B,点为重力势能零点,,,例2,如图所示，光滑地面上有一辆质量为,,M,,的静止的小车，小车上一长为,

11、,L,,的轻绳将小球,,m,,悬挂于,,O,点。把绳拉至水平，并将小球由静止释放。求,(,1,),小球运动到最低点时的速率、小车的速率；,(,2,),小球对小车所做的功。,解得,对吗？,解,以小球和地球为研究对象，,,它受两个力：绳的拉力,,，重,,力,,。因为小球绕,,O,,点作圆运,,动，拉力,,与运动方向垂直，,,因此它不作功，只有重力（保,,守力）作功，所以,机械能守恒,：,O,L,m,M,,,说小球绕,O,点作圆运动，拉力,,,不作功，因而机械能守恒，这,,是以小车为参考系作的结论。这,,里有两个错误：一是,小车,是,非惯,,性系,（有加速度），机械能守恒,,定律是,不成立,！二是机

12、械能守恒,,条件中的功，应该在惯性系中计,,算。在惯性系（地面）上看，拉,,力,F,T,是要作功的，机械能不守恒。,,正确的解法是取,小车,、,小球,和,地球,为系统，一对内力（拉力 和 ）作功之和为零，系统中只有保守内力——重力作功，所以系统的机械能守恒。,O,L,m,M,,(,1,)(,M,,+,,m,,+,,地球,),系统机械能守恒,,系统动量守恒吗？,,竖直方向的动量显然不守恒，,,原因是此时地面的支持力不等于,,两物体的重力，在竖直方向合外,,力不为零；只有在,水平方向,（系统不受外力）,动量守恒,：,解式,(,1,)、(,2,),得小球运动到最低点时的速率为：

13、,O,L,m,M,,(,2,)以,小车为研究对象，由动能,,定理得,O,L,m,M,,六 碰撞,碰撞,：,两,个或两个以上的,物体，,相互作用的,接触时间极短,而,互作用力很大,、,并使物体的,运动状态,发生,急剧变化,的过程。,,,设有质量分别为 和 ，速度分别为 和,,的小球作,对心碰撞,，两球的速度方向相同。分析碰撞后的速度 和 。,取速度方向为正向，由动量守恒定律得,碰前,碰后,碰撞的,恢复系数,1 碰撞的基本方程,,机械能的损失,,E,碰前,碰后,,碰前,碰后,2 碰撞的两种极端情形,完全弹性碰撞,碰撞,恢复系数,此时

14、,完全弹性碰撞,的,特点,：,两物体碰撞之后，总动能保持不变。系统,动量守恒,，,机械能守恒,。,,（,1,）若,则,（,2,）若,且,则,（,3,）若,且,则,讨 论,碰前,碰后,,完全弹性碰撞,（五个小球质量全同）,,完全非弹性碰撞,的,特点,：,两物体碰撞后以共同速度运动；系统,动量守恒,，,机械能不守恒,且损失最大。,非完全弹性碰撞,：,由于非保守力的作用，两物体碰撞后，使机械能转换为热能、声能、化学能等其他形式的能量；系统的,动量守恒,。,完全非弹性碰撞,碰撞,恢复系数,非完全弹性碰撞,碰撞,恢复系数,,,例1,一质量为,M,的弹簧振子，水平放置并静止在平衡位置，如图所示。一质量为

15、,m,,的子弹以水平速度,v,射入振子中，并随之一起运动。设振子,M,与地面间的摩擦系数为,µ,，求弹簧的最大压缩量。,,,解,,1,）以(,,M+m,,)为对象：水平方向的外力有摩擦力和弹性力，虽合力不会为零，但这两个力均,远远小于,碰撞的内力，因此两力均可以忽略，故水平方向动量守恒：,平衡位置,m,,2,）,压缩过程,,,,由功能原理得：,联立(1)(2)解得弹簧的最大压缩量为,平衡位置,m,,,例2,如图所示，固定的光滑斜面与水平面的夹角,,,=30,，轻质弹簧上端固定，今在其另一端轻轻地挂上一质量为,M,=1.0,kg的木块，木块由静止沿斜面向下滑动。当木块向下滑,,x,,=30,

16、厘米时，恰好有一质量,m,=,,0.01,kg的子弹，沿水平方向以速度,,v,,=,,200,m/s,,射中木块并陷在其中。设弹簧的倔强系数,k,,=25,N/m。求子弹打入木块后它们刚开始一起运动时的速度。,,x,k,,,m,M,零势点,（木块+弹簧+地球）系统机械能守恒。选弹簧原长处为弹性势能和重力势能的零点，木块下滑,x,时的速度为,v,1,解,,1,）木块的下滑过程,,则,x,k,,,m,M,零势点,,方向沿斜面向下。,子弹射入木块过程中，斜面给木块的支持力不能忽略（与内力相当），而系统沿斜面方向的外力（重力、弹性力）的分力可以忽略，故只有,沿斜面方向,系统的近似,动量守恒,。

17、若以,v,2,表示一起运动的速度，有,2,）碰撞过程——以,（子弹+木块）为系统,解得：,v,2,,= – 0.89 m/s,，,负号,表示,沿斜面向上,。,,（,子弹+,木块+弹簧）组成的系统,机械能守恒,：,解,,,子弹与,木块组成的系统水平方向,动量守恒,：,,例3,如图在光滑的水平面上，一原长为 、劲度系数为 的,轻质弹簧一端固定，另一端与质量为 的木块相连并静止于,,A,,点。设有一质量,,的子弹，以初速度 水平射中木块并嵌在其中。当木块运动到,,B,,点时弹簧的长度为 。求木块在,,B,,点时的速度 。,,A,O,B,,（,子弹+,木块）组成的

18、系统,角动量守恒,：,A,O,B,联立 求出 ；,（1）,（2）,代入 求出 。,（3）,,解,,,1,）,两物体碰撞过程中为完全非弹性,碰撞,，水平方向动量守恒。运用动量守恒定律得：,,,例4,质量为,,,的物体，静止在固定于桌面上的半径为,,R,,的光滑半球顶端，如图所示。今有另一质量为,,的粘性物体，以水平速度,,与之碰撞，并一起,,沿此半球面滑下。求：1）物体滑离球面时的角度,,,；,,2）当,,多大时，物体直接飞离球面。,,,,两物体在球面上滑动时，只有重力作功，所以,机械能守恒,。设当物体,滑离球面,时的速率为,

19、,，相应夹角为,,,。,滑离球面的条件,,,2,）当 时，物体将直接飞离球面,,,例,5,一质量为,m,,的小球竖直落入水中，刚接触水面时其速率为 。设此球在水中所受的浮力与重力相等，水的阻力为 ，,b,为一常量。求阻力对球作的功与时间的函数关系,。,解,如图建立坐标轴,即,又,,,例 6,一质量为1.0kg 的小球系在长为1.0m 细绳下 端 , 绳的上端固定在天花板上 . 起初把绳子放在与竖直线成 角处, 然后放手使小球沿圆弧下落 . 试求绳与竖直线成 角时小球的速率,.,

20、解,,,由动能定理,得,,例7,如图所示，质量为,,m,,的雪橇与一劲度系数为,,k,,的轻弹簧碰撞，雪橇将弹簧压缩了,,x,0,,米。设雪橇与斜面间的摩擦因数为,,，求开始碰撞时雪橇的速率,v,?,解,以雪橇、弹簧和地球为系统，力 与 不作功、,,摩擦力 作功，重力、弹簧的弹力是保守力。,,取地面为零重力势能点，由功能原理,,,例8,质量为,,、,,( ) 的两木板A和B，用轻弹簧连在一起，如图所示。问：(1)至少需用多大的压力,,加于上板，才能在该力撤去后，恰好使 离开地面? (2) 如 、,,交换位置，结果如何?

21、,解,设弹簧初始压缩 ，施,,加,,后， 下降 ；,,,撤去后，,,比原位置上升,,，这时,恰使,,,,被提起,,,A,B,,,恰好使 离开地面的条件为,取最低点处为重力势能零点,由机械能守恒得,解得,故,A,B,,,,,例 9,半径为,R,、质量为,,M,,且表面光滑的半球，放在光滑的水平面上，在其正上方放置一质量为,,m,,的小物体，当小物体从顶端无初速地下滑，在如图所示的,,,角位置处，开始脱离球面，试求：,,1）,,,角满足的关系式；,,2）分别讨论,,m,/,M,<<1,,和,,m,/,M,>>1,,时,cos,,,的取值。,,解,：

22、,1,）取地面为惯性系，因 ( m+M ) 系统沿水平方向不受外力，所以,水平方向动量守恒,；又以m、M和地球为系统的,机械能守恒,，有,,,注意,式中的,,、,,是,m,相对地面的速度。由速度合成定理得,（1）,（2）,,,注意：,小物体脱离半球后，半球以 作惯性运动。以半球为惯性系分析，小物体脱离半球瞬间仍相对球面作圆运动，小物体沿法向满足,,2,）当,,m,/,M,<<1,,时，,这表明，这时,,M,,一下子滑出，,m,,竖直下落,。,当,,m,/,M,>>1,,时，,分解因式得,这相当于,,M,,固定不动,的情况。,则有,联立式,,解得：,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,,