微积分第一章_函数课件

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1、微积分,,生活中的数学,,当你呱呱落地降临人世的第一天，医生就要检测一下你的各项健康指标，为你量量身体的长度，称称你的体重，这些都与数和量有关，这就是数学，人生到世界上来的第一天就遇到数学，数学哺育着你成长。,,,随着年龄增长，你随时随地都在接触数学,.,你开始在大人们的指导下，学习数数；学习画三角形、方块和圆；用剪刀剪出各种美丽的图案，或者用纸折出小鸟、小船等各种形状的玩具；到商店去购买你喜欢吃的各种食品；,…….,这一切的一切，你会逐渐意识到都和数、数的运算、数的比较、图形的大小、图形的形状、图形的位置有关，这又是数学,.,,你进入学校，正式开始学习数学这门学科，懂得了初步的数学语言,.,

2、知道了整数和分数；学会了加、减、乘、除；认识了三角形、长方形、正方形、圆，以及长方体、正方体、圆柱体和球等几何图形；了解了简单的统计知识,.,数学知识开阔了你的视野，改变了你的思维方式，使你变得更聪明了,.,,随着市场经济的发展，成本、利润、投入、产出、贷款、效益、股份、市场预测、风险评估等一系列经济词汇频繁使用，买与卖、存款与保险、股票与债券,……,几乎每天都会碰到,.,而这些经济活动无一能离开数学,.,,,人们生活在经济社会中，生活要精打细算，每个同学不管有意无意的都在算着经济账，比如买名牌衣服要找高折扣的店，用手机需要计算各种套餐哪种最适合自己等等，用有限的钱发挥最大的用处，你和你的家庭

3、在生活中那些是需要算计这个经济账的呢？,,,高中生王明春节期间拿到了压岁钱，想在春节商场搞活动时买双运动鞋和书包，经过实地考察，有三家商家在搞活动，其中一家是全场,8,折，另外一家是买满,100,元返,50,元券， 用券购物不受限制，第三家是累计满,100,元直降,30,元，他看中的鞋子是,480,元，书包,198,元，王明选择哪家购物最省钱？,,,一个三口之家，男主人张伟、女主人王芳和女儿张玉，张伟刚跳槽到一家外企，薪金待遇是税前工资是,10000,元，公司要扣除四险一金共,1400,元，那么税后张伟能拿到多少工资呢？,,相关知识：应纳税所得额,=,应发工资,-,四险一金（基本养老保险金、医

4、疗保险金、失业保险金、工伤保险金、住房公积金）,-,起征点（,2000,元）,,张伟一家人准备为了,3,年后孩子读大学准备专项存款，采用零存整取三年期存款的方式，从这个月开始每个月第一天存入银行,1000,元，银行以年利率是,1.98%,计息，问张伟在三年存款期满时可以拿到的本利和是多少？（精确到,0.01,元）,,月利率,=,年利率,/12,,,,张伟一家想改善住房条件，购置了一套,150,万元的房产，他们现在一家税后月收入,13000,元，其中首付了,4,成,60,万，除去生活开销和教育储蓄,5000,元，贷款的,90,万元选择,20,年的贷款，每月还能结余多少钱？,,,生活中常见的其他一

5、些数学,,,大小恒常性错觉,“一笔画”的规律,,你能笔尖不离纸，一笔画出下面的每个图形吗？,,试试看。（不走重复线路）,,图,1,图,2,,在这个楼梯中，你能分清哪一个是最高或最低的楼梯吗？    当你沿顺时针走的时候，会发生什么呢？        如果是逆时针，情况会怎么样呢？,,,不可能的楼梯,不可能的楼梯,荷兰美术大师,M. C. Escher,作品,黑夜还是白天,?,圆形的拱顶,瀑布,上升还是下降,?,,烤面包的时间,史密斯家里有一个老式的烤面包器，一次只能放两片面包，每片烤一面。要烤另一面，你得取出面包片，把它们翻个面，然后再放回到烤面包器中去

6、。烤面包器对放在它上面的每片面包，正好要花,1,分钟的时间烤完一面。,,一天早晨，史密斯夫人要烤,3,片面包，两面都烤。史密斯先生越过报纸的顶端注视着他夫人。当他看了他夫人的操作后，他笑了。她花了,4,分钟时间。,,“亲爱的，你可以用少一点的时间烤完这,3,片面包，”他说，“这可以使我们电费账单上的金额减少一些。”,,史密斯先生说得对不对？如果他说得对，那他的夫人该怎样才能在不到,4,分钟的时间内烤完那,3,片面包呢？,不可能的三角形,,,,悖论（一）,,一天，萨维尔村理发师挂出了一块招牌：,村里所有不是自己理发的男人都由我给他们理发,。,,于是有人问他：,“,您的头发谁给理呢？”,理发师顿时

7、哑口无言。,悖论（二）,,有个虔诚的教徒，他在演说中口口声声说,上帝是无所不能的，什么事都做得到,。一位过路人问了一句话：,“,上帝能创造一块他自己也举不起来的石头吗,？”,,教徒哑口无言,１．我说一句话，如果这句话是真的，那么你就给我你的相片，可以吗？,２．你不会给我你的相片,可以,请问男说了一句什么话使得这个女生只能将玉照送他？,悖论（三）,,,卖马,,,某人卖马一匹，得钱,１５６,卢布。但是买主买到马以后又懊悔了，要把马退还给卖主，他说这匹马根本不值这么多钱。于是卖主向买主提出了另一种计算马价的方案说，如果你嫌马太贵了，那么就只买马蹄上的钉子好了，马就算白送给你,。,每个马蹄铁上有６枚钉

8、子，第一枚钉子只卖,1,个戈比（１卢布等于１００戈比），第二枚卖,2,个戈比，第三枚,4,个戈比，后面每个钉子价格依此类椎,。,买主认为钉子的价值总共也花不了１０个卢布，还能白得一匹好马，于是就欣然同意丁。结果买主算账后才明白上当。试问买主在这笔交易中要亏损多少？,,1+2+2,2,+2,3,+2,4,+ …+2,23,=,,分数的妙用,有一位阿拉伯老人，生前养有,11,匹马，他去世前立下遗嘱：大儿子、二儿子、小儿子、分别继承遗产的,1/2,，,1/4,，,1/6,。儿子们想来想去没法分：他们所得到的都不是整数，即分别为,11/2,，,11/4,，,11/6,。总不能把一匹马割成几块来分吧？,

9、聪明的邻居牵来了自己的,1,匹马，对他们说：“你们看，现在有,12,匹马了，老大得,12,匹的,1/2,，就是,6,匹中，老二得,12,匹的,1/4,就是,3,匹，老三得,12,匹的,1/6,就是,2,匹，还剩下一匹我照样牵回家去。”,,很多人都认为数学是一门很枯燥的学科，的确数学理论性很强需要很多抽象思考， 但是在数学发展的中也发生了很多有意思的事情，它可以让你充分体会到数学的乐趣！ 并在其中掌握数学知识。,,学数学学什麽？,,数学的基本特征,抽象性,演绎性,广泛性,（研究对象）,（论证方法）,（应用）,假设,结论,logic,理性,,思维,这个学期学什麽？,,一元函数微分,利用极限研究函数

10、的种种表达及其诸多性质,极限的直观定义与计算,,导数与微分的概念与计算,,微分学应用,,一元函数积分,不定积分,,不,定积分概念与计算,,积分学应用,交作业时间：,,星期五下午上课,,微 积 分,微 积 分,在中学里接触到的大多是初等数学，即只讨论,简单的量的关系,，尤其只讨论,常量和固定图形,，这种数学思想一直沿袭到十七世纪初，尔后法国数学家,笛卡尔,(R.Descartes 1596-1650),把变量引进了数学，并创立了坐标概念，于是在数学中不再限制于考虑常量和固定图形，进而开始考虑变的量和图形。高等数学就应运而生。这主要归功于英国数学家,牛顿,(I.Newton 1643-1727),

11、和法国数学家,莱布尼兹,(,G.W.Leibniz,1646-1716),。,这就是今后要学习的课程。,链接目录,第一章,函数,第二章,,极限与连续,第三章,导数与微分,第四章,,中值定理,,,导数的应用,第五章,,不定积分,第六章,,定积分,第七章,,无穷级数,(,不要求,),第八章,,多元函数,第九章,,微分方程,复习,,,参考书,[1],赵树嫄,.,微积分,.,中国人民大学出版社,,[2],同济大学,.,高等数学,.,高等教育出版社,第一章 函数,集合,,实数集,,函数关系,,分段函数,,建立函数关系的例题,,函数的简单性质,,反函数与复合函数,,初等函数,,函数图形的简单组合与变换,

12、函数,-,集合,集合是指具有特定性质的一些事,物的总体,.,组成这个集合的事物称为该集合的元素,.,通常用大写拉丁字母表示集合，小写字母表示元素,.,,,a,是集合,M,的元素,,,记作,a,,M,(,读作,a,属于,M),；,,a,不是集合,M,的元素,,,记作,a,,M,(,读作,a,不属于,M).,集合,定义,函数,-,集合,例子,1. 1990,年,10,月,1,日在南宁市出生的人。,2.,彩电、电冰箱、,VCD,。,3. x,2,-5x+6=0,的根。,集合具有确定性，即对某一个元素是否属于某个集合是确定的，是或不是二者必居其一。,由有限个元素构成的集合,，称为有限集合。,由无限

13、多个元素构成的集合,，称为无限集合；,4.,全体偶数,。,函数,-,集合,集合的表示法,1.,列举法,：,按任意顺序列出集合的所有元素,,,并用,{},括起来。,例,： 由,x,2,-5x+6=0,的根所构成的集合,A,，,可表示为：,A={2,3},注,：必须列出集合的所有元素，不得遗漏和重复。,函数,-,集合,2.,描述法,：,设,P(a),为某个与,a,有关的条件或法则，,A,为,满足,P(a),的,一切,a,构成的集合,，记为：,A={a|P(a)},例,： 由,x,2,-5x+6=0,的根所构成的集合,A,，,表示为：,A={x|x,2,-5x+6=0},例,：全体实数组成的集合通常

14、记作,R,，,即：,R={x|x,为实数,},,2.,文氏图,,(Venn diagrams),：,用于描述集合间的关系及其运算，其特点是直观、形象、信息量大且富有启发性。一般用矩形表示全集,U,，用圆表示,U,的,子集,A,，,B,，,C,等等。,,,,函数,-,集合,全集与空集,所研究的所有事物构成的集合称为全集,,,记为,:,U,。,不含任何元素的集合称为空集，记为：,,,。,例,1,：,x,2,+1=0,实数根集合为空集。,例,2,：平面上两条平行线的交点集合为空集。,注：,{,0,},及,{,,},都不是空集，前者有元素,0,，后者有元素,,。,函数,-,集合,子集,如果集合,

15、A,的元素都是集合,B,的元素，即若,x,,A,则必,x,B,，,就说,A,是,B,的子集，记作,A,,B(,读作,A,包含于,B),或,B,,A(,读作,B,包含,A),如果,A,,B,且或,A,,B,，则称,A,与,B,相等。,A,,A,即集合,A,是其自己的子集。,,传递性,A,,B,、,B,,C,则,A,,C,。,,,,A,，,即空集是任何集合,A,的子集。,函数,-,集合,集合的运算,集合的并：,A,,B={x|x,,A,或,x,,B},,集合的交：,A,,B={x|x,,A,且,x,,B},,集合的差：,A,-,B={x|x,,A,且,x,,

16、B},,,,集合的补：,A ',,={,x|x,,,U,且,x,,A},,,,(1),集合的并：集合,A,和集合,B,中所有的元素组成的集合，称为集合,A,和集合,B,的,并集,，记作,A∪B,。例,A={1,3,5},B={2,4,6},,则,A∪B={1,2,3,4,5,6},。,(2),集合的交：集合,A,和集合,B,中公共的元素所组成的集合，称为集合,A,与集合,B,的,交集,，记作,A∩B,。,,（,3,）集合的差集：属于,A,但不属于,B,的元素组成的集合,,,称为,A,与,B,的,差集,，记作,A-B,。,例,A={1,2,3},B={2,4,6},。则,A-B={1,3}

17、,,,B-A={4,6},。例,A={0,1,2},B={1,2},。则,A-B={0}≠Φ,。,,例,已知,A=,｛,x l x>4,｝,,B=,｛,x l,lxl,<6,｝。,1,）求,A-,（,A-B,）和,B-,（,B-A,）,2,）由此得到什么结论？,,A=,｛,x l x>4,｝,,B=,｛,x l-6< x<6,｝。,1.A-B={,x|x,>=6,或,-6=6},B-(B-A)=A=,｛,x l x>4,｝,,A-,（,A-

18、B,）,=B,和,B-,（,B-A,）,=A,,（,4,）集合的补集：全集,U,中不属于集合,A,的元素组成的集合，称为,A,的,补集,，记作,A',。例,R─,实数全体，,P─,有理数全体,, Q─,无理数全体,.,则,P'=Q, Q'=P, P∪Q=R,。例,U={1,2,3,4,…,10}, A={2,5},,则,A'={1,3,4,6,7,8,9,10},。,5,、集合的运算性质,,(1),补的性质,A∪A'=U, A∩A'=Φ,,,(A',）,'=A .,,(2),交换律,A∪B=B∪A, A∩B=B∩A .,,(3),结合律　（,A∪B,）∪,C=A∪(B∪C),,,(A∩B

19、)∩C=A∩(B∩C) .,,(4),分配律　（,A∪B,）∩,C=(A∩C)U(B∩C),,,(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C) .,,(5),摩根律,(A∪B) '=A'∩B',,,(A∩B)'=A'∪B'.,,集合的笛卡尔乘积,,有序元素组,(,x,y,),,集合,A,与集合,B,，笛卡尔积,A×B,＝,{(,x,y,),〡,x∈A,，,y∈B,},，即两个集合中各取一个数组成一个数组,,集合,A{a1,a2,a3},,集合,B{b1,b2},,他们的 笛卡尔积 是,,A,×,B ={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2)},。

20、,函数,-,集合,实数与数轴,在一条直线上指定了一点作为,原点,O,，,再指定了,正向,，此外又规定了,单位长度,，这条直线就称为数轴。,,,数轴上的点与实数之间可以建立一一对应的关系,。,有时为了形象化起见，把,数,x,称为点,x,，,就是指数轴上与数,x,对应的那个点。,1,-1,0,O,x,绝对值,:,运算性质,:,绝对值不等式,:,6,、区间、邻域,,区间,：设,a,b,是实数，且,a

21、a,b,);{,x|a,

22、,线段的长度,),,即有限区间右端点,b,与左端点,a,的差,b-a,称为区间的长度,.,函数,-,集合,[a, +,∞,)={x|a≤x},(-,∞,,b]={x|x≤b},(-,∞,,b)={x|x

23、。,x,a,a-,δ,a+,δ,例,：,Ｕ,(,2 ,1,)={,x | |x-2|<1,}={,x | 1

24、1,3,δ=1,δ=1,,,,,案例,1,体现了变量取值的对应关系,,去银行存钱,,,假设一年定期整存整取的年利率为,4.14% ,,则存款金额 与一年到期时的利息 之间的对应关系如下表,:,,一,.,函数关系,函数,-,函数关系,,,,案例,2,气温自动记录仪把某一天的气温变化描绘在记录纸上,,,如下图所示的曲线,.,曲线上某一,,点 表示时刻 的气温是,.,,时间和气温都是变量，这两个变量之间的对应关系是由一条曲线确定的．,观察这条曲线，可以知道在这一天内，时间从,0,点到,24,点气温的变化情形,．,,,,案例,3,圆的面积 由

25、圆的半径 决定,.,只要 取定一个数值,,,面积 就有一个确定的值与之对应,,,且 与 之间有如下关系式,:,o,半径为,.,,,案例,4,,北京市现行出租车收费标准为,:,乘车不超过,3km,,收费,10,元,;,超过,3 km,而不超过,15km,,超过的里程每,km(,不足,1 km,按,1 km,计,),加收,2,元,;,超过,15km,,超过的里程每,km(,不足,1 km,按,1 km,计,),加收,3,元,.,,分段函数,由于乘车里程不超过,3 km,、超过,3 km,而不超过,15km,及超过,15 km,的收费标准不同,,,乘客乘车的费用

26、 与乘车的里程 之间的数量关系应用三个数学式来表示,,,即,分析,,,,以上列举的案例,,,虽是来自不同的领域,,,而且具有不同的表示形式,,,有表格、图形、公式，但它们的,共性,是,:,都反映了在同一过程中有着两个相互依赖的变量,,,当其中一个量在某数集内取值时,,,按一定的规则,,,另一个量有唯一确定的值与之对应,.,变量之间的这种数量关系就是函数关系,.,,,,定义域 是自变量 的取值范围，也就是使函数 有意义的数集．由此，若取数值 时，则称该函数在 有定义，与 对应的 的数值称为函数在点

27、 的函数值，记作,或,,定义,1,.,1,,设　和　是两个变量,,,是一个给定的非空数集,.,若对于每一个数,,,按照某一确定的对应法则,,,变量 总有唯一确定的数值与之对应,,,则称 是 的函数,.,因变量,自变量,定义域,,一,.,函数关系,,,,决定一个函数有三个因素：,,对应法则,值域,定义域,当 遍取数集 中的所有数值时,,,对应的函数值全体,决定一个,,函数的两,,个要素,,1.,要会求函数的定义域；,,,2.,要会使用对应法则,.,,值域,,函数的两要素,:,定义域,与,对应法则,.,自变量,对应法则,f,因变量,约定,:,如果不考虑函数的实际

28、意义，函数的定义域就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值，称为函数的自然定义域,。,,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．,定义,:,,,,要使该项有意义，对,,数的真数必须大于,0.,的定义域,.,,求函数,,要使该项有意义，分母,,的被开方式必须大于,0,；,练习,1,,解 要使该函数有意义，必须,,,公共部分,所以，该函数的定义域为,,分析,,例,3,：,确定函数,y=,的定义域。,√,ln,tgx,1,ln,tgx,,>0,tgx,>,0,tg,x,>,1,x,,,(,,k,π,, k,π,+

29、 ),{,},解：,x,≠k,π,+,π,2,π,,2,x,,(,k,π,+ , k,π,+ ),π,4,π,2,x,,(,k,π,+ , k,π,+ ), k=0,,±,1,,±,2,,±,3,……,为所求的定义域,π,4,π,,2,,例子,例,1,：,确定函数,y=,的定义域。,lg(3,x,-2),1,lg(3,x,-2) ≠0,3,x,-2>0,3,x,-2 ≠ 1,x>,2/3,x,≠ 1,{,},D=(2/3,1),,(1,,+∞,),例,2,：,确定函数,y=,arcsin,,的定义域。,√25-,x,2,1,x-,1,5

30、,+,解：,解：,{,x-,1,5,,≤,1,√25-,x,2,≠0,25-,x,2,≧,0,-,4,≤,x,,≤6,,},|x-,1|,≤,5,25-,x,2,>0,-,5<,x<,5,,},D=[-4, 5),,,,这是已知函数的,,表达式,,,求函数在,,指定点的函数值．,设,,练习,2,求,解 是当自变量 取,1,时函数的函数值．,将 表示式中的 换为,,为数值,1,.,类似地,.,或记作,,,,设,,练习,2,,求,续解,将 表示式中的 换为,将 表示式中的 换为,,,,对案例,,4, ,求：,(1)

31、,函数 的定义域；,,(2),乘客乘车,km,、,km,、,km,和,km,所付的费用．,解,(1),该函数的定义域是,(2),因,故当乘客乘车,km,时,,,所付的费用,因,故当乘客乘车,km,时,,,所付的费用,(,元,).,分段点,分段点,(,元,).,因,故当乘客乘车,km,时,,,所付的费用,(,元,).,因,故当乘客乘车,km,时,,,所付的费用,(,元,).,,分段函数,——,几个特殊的函数举例,,(1),符号函数,1,-1,x,y,o,(2),取整函数,y=,[,x,],,[,x,],表示不超过,,x,的最大整数,,1 2 3 4 5,

32、-2,-4,-4 -3 -2 -1,,4 3 2 1,-1,-3,x,y,o,阶梯曲线,,非,负小数部分函数,,取整函数,y=,(,x,)=x-[x],,,x=7/3,时,,[x]=2,，,(x)=0.5,,x=1/3,时,,[x]=0,，,(x)=1/3,,x=-8/5,时,,[x]=-2,，,(x)=0.4,O,-2 -1 1 2,1,y=,(,x,),x,y,,(3),狄利克雷函数,有理数点,无理数点,•,1,x,y,o,(4),取最值函数,y,x,o,y,x,o,,在自变量的不同变化范围中,,,对应法则用不同的,式子来表示的函数,,,称为,分段

33、函数,.,(5),绝对值函数,o,x,y,定义域,R,值域,建立函数问题的例题,,,给问题建立数学模型，即建立函数关系。,,先明确问题中的自变量、因变量，再根据题意建立等式，得出函数关系，确定函数定义域。,,P,24,页例,1,、例,2,、例,3,、例,4,,,,函数的,,几何特性,,奇偶性,单调性,周期性,有界性,函数的简单性质,,1,．函数的有界性,:,M,-M,y,x,o,y=f(x),X,有界,M,-M,y,x,o,X,无界,函数,-,函数的性质,例,1:f(,x,)=,sin,x,在,(,-,∞,,+,∞,),内是有界的。,,因为,|,sin,x,|,≦,1,。,例,2:f(,x,)

34、=1/,x,在,(,0 ,1,),内是无界的。在,[1,,+,∞,),内有界,。,例,3:,函数,-,函数的性质,2,．函数的单调性,:,x,y,o,函数,-,函数的性质,x,y,o,函数,-,函数的性质,例,1:,判断函数,y=,x,3,的,单调性。,解：,对于任意的,x,l,、,x,2,,，设,x,l,＜,x,2,x,2,3,-x,1,3,>0,,所以,x,2,3,>,,x,1,3,,，,故,y=,x,3,在,(,-,∞,,+,∞,),是单调增加的。,当,,x,1,,x,2,≥0,时,,x,1,2,+,,x,1,,x,2,+,,x,2,2,>0,,所以,f(,x,2,),-,f(,x,1,

35、)>0,f(,x,2,),-,f(,x,1,)=,x,2,3,-,,x,1,3,,=,(,x,2,,-,,x,1,)(,x,1,2,+,,x,1,,x,2,+,,x,2,2,),当,,x,1,,x,2,<0,时,,x,1,2,+,,x,1,,x,2,+,,x,2,2,=(,x,1,+x,2,),2,-,x,1,,x,2,>0,,,所以,f(,x,2,),-,f(,x,1,)>0,函数,-,函数的性质,例,2:,判断函数,y=2,x,2,+1,的单调性。,解：,,x,l,、,x,2,R,,，设,x,l,＜,x,2,(,x,1,+x,2,)<0,当,x,l,、,x,2,,,(,-,∞,,0]

36、,f,(,x,1,),-f,(,x,2,),=,(2,x,1,2,+,1),-,(2,x,2,2,+,1),,= 2(,x,1,2,-x,2,2,) = 2(,x,1,-x,2,)(,x,1,+x,2,),f,(,x,1,),-f,(,x,2,)>0,f,(,x,1,)>,f,(,x,2,),f,(,x,),单调减少,(,x,1,+x,2,)>0,当,x,l,、,x,2,,,[0,+,∞,),f,(,x,1,),-f,(,x,2,)<0,f,(,x,1,)<,f,(,x,2,),f,(,x,),单调增加,所以在,(-,∞,,+,∞,),内，不是单调函数,函数,-,函数的性质,3,．函数的奇偶

37、性,:,y,x,o,x,-,x,偶函数,函数,-,函数的性质,y,x,o,x,-,x,奇函数,函数,-,函数的性质,例,1:,判断函数,y=,x,4,-,2,x,2,,的奇偶性。,解：,∵,f(-,x,),=,(-,x,),4,–,2(-,x,),2,=,x,4,-,2,x,2,,=f(,x,),∴,y=,x,4,-,2,x,2,,是偶函数。,例,2:,判断函数,y=1/,x,,的奇偶性。,解：,∵,f(-,x,),=1/,(-,x,),,= - (1/,x,),,= - f(,x,),∴,y=1/,x,,是,奇函数。,例,3:,判断函数,y=,x,3,+1,,的奇偶性。,解：,∵,f(-,x

38、,),=,(-,x,),3,+1,,= -,x,3,+1,∴,y=,x,3,+1,,既不是奇函数又不是偶函数。,≠,f(,x,),≠-,f(,x,),{,函数,-,函数的性质,,D,为函数,f(,x,),的定义域,，,如果存在一个不为零的数,l,，,,x,,D,值，,x,±,l,,D,，且,f(,x,+,l,)=f(,x,),,恒成立，则,f(,x,),叫做,周期函数,，,l,叫做,f(,x,),的,周期,。,,通常，我们说周期函数的周期是指,最小正周期,。,例,1:,函数,y=,sin,x,,,y=,cos,x,,,,是周期函数，周期为,2,π,,。,4,．函数的周期性,:,函数,-,

39、反函数,设函数,y=,f,(,x,),的定义域为,D,，,值域为,W,。,如果,,y,,W,都有一个确定且满足,y=,f,(,x,),的,x,,,D,与之对应，其对应规则为,f,-1,,,定义在,W,上的函数,x,=,f,-1,(,y,),称为,y=f(,x,),的,反,函数,。,函数,y=,f,(,x,),的定义域为,D,，,值域为,W,，,x,为,自变量，,y,为因变量,。,函数,x,=,f,-1,(,y,),的定义域为,W,，,值域为,D,，,y,为自变量，,x,为因变量,。 若改,x,为自变量，,y,为因变量，,x,=,f,-1,(,y,),,写成,y,=,f,-1,(,x,),

40、,。,函数,-,反函数,D,W,D,W,函数,-,反函数,y,=,f,(,x,),,与,y,=,f,-1,(,x,),的,关系是,x,、,y,互换，它们的图形关于,y=x,对称。,y,=,f,-1,(,x,),。,不一定是单值函数。,y,=,f,(,x,),单调单值，则,y,=,f,-1,(,x,),单调单值。,,函数,-,反函数,例,1:,求,y,=3,x-,1,的反函数。,解：,∵,y,=3,x-,1,∴,x,、,y,互换得,y,=,f,-1,(,x,),=,(,x+,1)/3,为,反函数。,,x,=(,y+,1)/3=,f,-1,(,y,),y,=(,x+,1)/3,y,=3,x-,1,

41、函数,-,复合函数,设,y,=,f,(,u,),的定义域、值域分别是,D,f,,、,W,f,,u,=,φ,(,x,),的定义域、值域分别是,D,φ,,、,W,φ,,若,,D,f,,,W,φ,,≠,,,则称,y,=,f,[(,φ,(,x,)],为,复合函数,,其中,:,x,为自变量，,y,为因变量，,u,为中间变量,。,复合函数的定义域,,,D=,{,x,|,x,,D,φ,,,,,φ,,(,x,),∊,,D,f,,,W,φ,,},复合函数的值域,,,W={,y,|,y,,W,f,,,,且存在,u,,D,f,,,W,φ,,使,f,(,u,)=,y,},或,W={,y,|,y= f,[

42、(,φ,(,x,)],,x,∊,,D},函数,-,复合函数,符合条件：,D,f,,,W,φ,,≠,,D,φ,D,W,f,W,W,φ,D,f,D,f,,,W,φ,y,=,f,(,u,),u,=,φ,(,x,),y,=,f,[(,φ,(,x,)],x,u,y,函数,-,复合函数,,∴,-,1≤,x,≤,,2,即,[-1,2],为,所求的,定义域,函数,-,复合函数,函数,-,复合函数,2,函数,-,复合函数,,例,5:,函数,-,复合函数,,函数,-,复合函数,,函数,-,基本,初等函数,幂函数,由常数及基本初等函数经过有限次四则运算及有限次的复合所构成并可以用一个式子表示的函数，叫,初等函

43、数,。,,下面六类函数,基本初等函数,：,,冪函数,,y=x,α,,,（,,α,是常数,,,α,≠0,,）,,指数函数,,y=,a,x,(,a,是常数,,,a,>0,,a,≠,1),对数函数,,y=,log,a,x,(,a,是常数,,,a,>0,,a,≠,1),三角函数,,y=,sin,x,, y=,cos,x,, y=,tg,x,, y=,ctg,x,y,=,sec,x,, y=,csc,x,;,反三角函数,y=,arcsin,x,, y=,arccos,x,, y=,arctg,x,, y=,arcctg,x,.,α,>,0,,过,(0,0),(1,1),,在,(0, +∞),递增,α,<

44、,0,,过,(1,1),,在,(0, +∞),递减,{,D=(-∞,+∞)，W=(0, +∞),过,(0,1),a,>1,递增,,0<,a,<1,递减,{,D=(0,+∞)，W=(-∞, +∞),过,(1,0),a,>1,递增,,0<,a,<1,递减,{,,函数,-,基本,初等函数,指数函数,函数,-,基本,初等函数,对数函数,函数,-,基本,初等函数,三角函数,正弦函数,余弦函数,函数,-,基本,初等函数,正切函数,余切函数,函数,-,基本,初等函数,正割函数,余割函数,函数,-,初等函数,y=,csc,x,y=,sec,x,y=,ctg,x,y=,tgx,y=,cosx,y=,sin,x,

45、函数,-,初等函数,三角函数,,y=,sin,x,, y=,cos,x,, y=,tg,x,, y=,ctg,x,y,=,sec,x,, y=,csc,x,;,函数,定义域,值域,周期,奇偶,单调,y=,sinx,(-∞, +∞),[-1,1],2,π,奇,(-,π,/2+2k,π,,,π,/2+2k,π,),递增,,(,π,/2+2k,π,, 3,π,/2+2k,π,),递减,y=,cosx,(-∞, +∞),[-1,1],2,π,偶,(,π,+2k,π,, 2,π,+2k,π,),递增,,(2k,π,,,π,+2k,π,),递减,y=,tgx,x≠,π,/2+k,π,(-∞, +∞),π,

46、奇,(-,π,/2+k,π,,,π,/2+k,π,),递增,y=,ctgx,x≠,k,π,(-∞, +∞),π,奇,(k,π,,,π,+k,π,),递减,y=,secx,x≠,π,,/2+k,π,(-∞, -1]U,,[1, +∞),2,π,偶,(2k,π,,,π,/2+2k,π,),(,π,/2+2k,π,,,π,+2k,π,),递增,,(-,π,/2+2k,π,,2k,π,),(,π,+2k,π,,3,π,/2+2k,π,),递减,y=,cscx,x≠,k,π,(-∞, -1]U,,[1, +∞),2,π,奇,(-,π,/2+2k,π,,2k,π,),(2k,π,,,π,/2+2k,π,)

47、,递增,,(,π,/2+2k,π,,,π,+2k,π,),(,π,+2k,π,, 3,π,/2+2k,π,),递减,函数,-,初等函数,y=,arcsin,x,y=,arccos,x,y=,arcctg,x,y=,arctg,x,函数,-,基本,初等函数,反三角函数,函数,-,基本,初等函数,习题选讲,例,设,f,(,x,)=,1 |,x,|<1,0 |,x,|=1,-1 |,x,|>1,{,,,g,(,x,)=e,x,,,求,f[g(,x,)],和,g[f(,x,)],,并画图。,D,f,=(-∞,+∞),W,f,,={-1,0,1},D,g,=(-∞,+∞),W,g

48、,,=(0, +∞),D,f,,W,g,=,W,g,,=(0, +∞),所以定义域为：,D=D,g,=(-∞, +∞),,1 |g(,x,)|<1 i.e,x,<0,0 |g(,x,)|=1 i.e,x,=0,-1 |g(,x,)|>1 i.e,x,>0,{,f[g(,x,)]=,D,g,,W,f,=,W,f,,={-1,0,1},所以定义域为：,D=,D,f,=(-∞, +∞),,e,1,|,x,|<1,e,0,|,x,|=1,e,-1,|,x,|>1,{,g[f(,x,)]=,e,f(,x,),=,,e,|,x,|<1,1,|,x,|=1,e,-1,|,x,|>1,{,g[f(,x,)]=,e,f(,x,),=,函数图像的简单组合与变换,迭加,,翻转,,放缩,,,平移,