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2、级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章,导数与微分,第三章 导数与微分,第一节 导数的概念,第二节 求导法则,第三节 反函数、复合函数、隐函数的导数,第四节 导数公式,第五节 高阶导数,第六节 微分,第七节 导数在经济上的简单应用,1.,理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，,2.,掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算,导数，会求反函数与隐
3、函数的导数,.,法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的,了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性,的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程,.,3.,了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数,.,4.,了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及,一阶微分形式的不变性，会求函数的微分,.,本章基本要求,本章重点、难点,重点：导数与微分的计算,.,难点：分段函数分界点处可导性的,讨论、隐函数求导,.,第一节 导数概念,一、引出导数概念的例子,1,、变速直线运动的速度,已知,求,解,(1),(2),(3),2,、平面曲线的切线的斜率,切线,割线,2,、平面曲线的切线的斜率,解,二、导数的定义,
4、定义,3.1,设函数,有定义,在点,的某邻域内,对自变量在点,处的任一改变量,函数的相应改变量为,如果极限,存在,则称函数,在点,点,处可导,(,或导数存在,).,并称此极限值为,的可导点,为,在点,处的导数,(,或微商,).,注,(1),记号,(2),、,、,、,、,(3),求导三步曲,:,例,1,求函数,y=x,2,在点,x,=3,处的导数,.,解,讨论导数另一定义形式,定义,3.1,设函数,在点,的某邻域内有定义,如果极限,存在,(,第二定义,),则称函数,在点,点,可导,(,或导数存在,).,并称此极限值为,的可导点,为,在点,导数,(,或微商,).,的,第一个定义做证明题方便,第二个
5、定义,讨论分段函数分界点处导数方便,.,三、导数的几何意义,的几何意义是,:,处的切线方程为,:,曲线,在点,处的切线斜率,.,曲线,在点,例,2,求曲线,y=x,2,在点,(3,9),处的切线方程,.,解,因此所求切线方程为,即,函数,在点,的导数,处的法线方程为,:,曲线,在点,例,2,求曲线,y=x,2,在点,(3,9),处的法线方程,.,解,因此所求法线方程为,即,四、左导数和右导数,定义,3.2,如果极限,值为,存在,在点,处的右导数,记作,则称此极限,如果极限,值为,存在,在点,处的左导数,记作,则称此极限,如果极限,值为,存在,在点,处的右导数,记作,则称此极限,如果极限,值为,
6、存在,在点,处的左导数,记作,则称此极限,定义,3.2,注,例,3,讨论函数,在,解,故,不存在,.,处的可导性,.,分段函数求分界点处的导数时注意,(1),用定义,(2),一般分左右导数,(3),如果分界点左右两边函数表达式,一样,则不分左右导数,.,(4),求左右导数时,函数值固定不变,.,五、可导与连续的关系,所以,由,可得,如果函数,y=f,(,x,),在点,处可导,则它在点,x,0,处一定连续,.,因为函数,y=f,(,x,),在点,x,0,处可导,故连续,.,定理,3.1,证,1.,可导必连续,2.,连续不一定可导,3.,不连续一定不可导,4.,不可导不一定不连续,例,4,讨论函数
7、,在点,x=,0,及,x=,1,处的连续性与可导性,.,解,在点,x=,0,处的连续性,故 不连续,从而不可导,.,三者不等,在点,x,=1,处的可导性,故,函数可导,从而连续,.,例,5,已知,求,使得函数,在点,可导,.,解,所以,六、导函数,定义,称为函数,y=f,(,x,),在开区间,(,a,b,),内对,x,的,如果函数,在某区间,(,a,b,),内每一,点,x,处都可导，,则称,f,(,x,),在区间,(,a,b,),内可导,.,导函数,简称为导数,.,(1),记号,:,(2),(3),求导函数三步曲,:,、,、,、,例,6,求,的导函数,.,解,例,7,求,的导函数,.,解,例,8,求,的导函数,.,解,特别地,例,9,求,的导函数,.,解,注,求导公式,作业题,习题三,(A)1,、,2,、,3,、,4,、,5,、,6,、,7,、,8.,
高等数学微积分第3章第1节导数概念
