方阵的相似对角化与4-3正交矩阵

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1、,线性代数,下页,结束,返回,线性代数,下页,结束,返回,第,2,节 相似矩阵与矩阵的对角化,一、相似矩阵及其性质,二、,n,阶矩阵与对角矩阵相似的条件,下页,2.1,相似矩阵及其性质,定义,2,设,A,，,B,为,n,阶矩阵,，,如果存在可逆矩阵,P,，,使得,P,-,1,AP,=,B,成立,，,则称矩阵,A,与,B,相似,，,记为,A,B,.,例如,，,5,-,1,3,1,A,=,0,-,2,4,0,B,=,，,，,1,-,5,1,1,P,=,，,因为,1,-,5,1,1,-,1,1,-,5,-,1,1,6,=-,P,-,1,AP,5,-,1,3,1,1,-,5,1,1,2,-,2,-,2

2、0,-,4,1,6,=-,0,1,2,-,24,0,=-,1,6,0,-,2,4,0,=,，,所以,A,B,.,相似关系是矩阵间的一种等价关系，满足,自反性,：,A,A,对称性,：,若,A,B,，,则,B,A,传递性,：,若,A,B,，,B,C,，,则,A,C,下页,定理,1,如果矩阵,A,与,B,相似,，,则它们有相同的特征多项,式,，,从而有相同的特征值,.,证明,：,因为,P,-,1,AP,=,B,，,A,与,B,有相同的特征多项式,，,|,l,E,-,B,|,=,|,P,-,1,(,l,E,),P,-,P,-,1,AP,|,=,|,l,E,-,P,-,1,AP,|,=,|,P,-,1,

3、(,l,E,-,A,),P,|,=,|,P,-,1,|,|,l,E,-,A,|,|,P,|,=,|,l,E,-,A,|,，,所以它们有相同的特征值,.,下页,定义,2,设,A,，,B,为,n,阶矩阵,，,如果存在可逆矩阵,P,，,使得,P,-,1,AP,=,B,成立,，,则称矩阵,A,与,B,相似,，,记为,A,B,.,相似矩阵还具有下述性质：,A,B,P,-,1,AP,=,B,(1),相似矩阵有,相同的秩,；,r,(,A,)=,r,(,B,),(2),相似矩阵有,相同的特征值,；,|,E A,|,=,|,E B,|,(3),相似矩阵的,行列式相等,；,|,A,|,=,|,B,|,(4),相似

4、矩阵的,迹相等,；,tr(,A,)=tr(,B,),(5),相似矩阵或,都可逆或都不可逆,.,当它们可逆时，它们,的,逆矩阵也相似,.,下页,定理,1,如果矩阵,A,与,B,相似,，,则它们有相同的特征多项,式,，,从而有相同的特征值,.,(,P,-,1,AP,),-,1,=,B,-,1,即：,P,-,1,A,-,1,P,=,B,-,1,解,：,由于,A,和,B,相似，所以,tr,(,A,)=,tr,(,B,),|,A,|=|,B,|,即,解,：,由于矩阵,A,和,D,相似,，,所以,|,A,|=|,D,|,即,|,A,|=|,D,|,12.,下页,例,1.,若矩阵,相似，求,x,，,y,.,

5、解得,例,2.,设,3,阶方阵,A,相似于,求,|,A|.,定理,2,n,阶矩阵,A,与,n,阶对角矩阵,L=,diag(,l,1,l,2,l,n,),相似的充分必要条件为,矩阵,A,有,n,个线性无关的特征向量,.,必要性,.,设存在可逆矩阵,P,=,(,x,1,x,2,x,n,),使,P,-,1,AP,=L,，即：,AP,=,P,L,则有,可得,A,x,i,=,l,i,x,i,(,i,=,1,2,n,),.,因为,P,可逆,，,所以,x,1,x,2,x,n,都是非零向量,，,因而都是,A,的特征向量,，,并且这,n,个特征向量,线性无关,.,l,1,0,0,0,l,2,0,0,0,l,n,

6、A,(,x,1,x,2,x,n,),=,(,x,1,x,2,x,n,),，,证明,：,=,(,l,1,x,1,l,2,x,2,l,n,x,n,),2.2,n,阶矩阵与对角矩阵相似的条件,下页,(,A,x,1,A,x,2,A,x,n,),充分性,.,设,x,1,，,x,2,，,，,x,n,为,A,的,n,个线性无关的特征向量,，,它们所对应的特征值依次为,l,1,，,l,2,，,，,l,n,，,则有,A,x,i,=,l,i,x,i,(,i,=,1,2,n,),.,令,P,=,(,x,1,x,2,x,n,),，,则,=,(,l,1,x,1,l,2,x,2,l,n,x,n,),=,A,(,x,1,x

7、,2,x,n,),=,(,A,x,1,A,x,2,A,x,n,),AP,=,(,x,1,x,2,x,n,),l,1,0,0,0,l,2,0,0,0,l,n,=,P,L,.,因为,x,1,x,2,x,n,线性无关,所以,P,可逆,.,用,P,-,1,左乘上式两端得,P,-,1,AP,=L,，,即矩阵,A,与对角矩阵,L,相似,.,下页,注意：矩阵,P,的构造！,例如，矩阵,A,=,有两个不同的特征值,l,1,=,4,，,l,2,=-,2,5,-1,3,1,其对应特征向量分别为,x,1,=,，,x,2,=,.,1,1,-,5,1,取,P,=,(,x,1,x,2,),=,，,则,1,-5,1,1,所

8、以,A,与,对角矩阵相似,.,P,-,1,AP,-,1,1,-,5,-,1,1,6,=-,5,-,1,3,1,1,-,5,1,1,0,-,2,4,0,=,，,问题,：,若取,P,=,(,x,2,x,1,),，,问,L=,？,下页,推论,若,n,阶矩阵,A,有,n,个相异的特征值,l,1,，,l,2,，,，,l,n,，,则,A,与对角矩阵,L=,diag(,l,1,l,2,l,n,),相似,.,注意：,A,有,n,个相异特征值只是,A,可化为对角矩阵的充分条件,而不是必要条件,.,且有,A,x,1,=-,2,x,1,，,A,x,2,=,x,2,，,A,x,3,=,x,3,，,向量组是,A,的线性

9、无关的,特征向量,.,所以当,P,=,(,x,1,x,2,x,3,),时，有,例如,，,A,=,，,x,1,=,，,x,2,=,，,x,3,=,，,4,-,3,-,3,6,-,6,-,5,0,1,0,-,1,1,1,-,2,0,1,0,1,0,P,-,1,AP,=,diag(,-2,1,1),.,下页,A,=,1,6,3,-,3,-,6,-,5,3,4,3,(1),解,：,(1),矩阵,A,的特征方程为,l,-,1,-,6,-,3,3,6,l,+5,-,3,l,-,4,-,3,|,l,E,-,A,|,矩阵,A,的特征值为,l,1,l,2,=-,2,l,3,4,，,对于特征值,l,3,=,4,，

10、,解线性,方程组,(,4,E,-,A,),X,o,，,得其基础解系,x,3,=,.,1,1,2,对于特征值,l,1,l,2,=-,2,解线,性方程组,(,-,2,E,-,A,),X,o,，,1,1,0,-1,0,1,得其基础解系,x,1,=,x,2,=.,=,(,l,+2,),2,(,l,-4)=,0,，,(2),-,1,1,-,4,B,=,1,0,3,0,2,0,下页,例,3.,判断下列矩阵是否相,似于对角阵,若相似,求可逆矩,阵,P,，,使,P,-,1,A P,=L,.,由于,A,有,3,个线性无关的特,征向量,x,1,，,x,2,，,x,3,，,所以,A,相似,于对角阵,L,.,所求的相

11、似变换矩阵为,P,=(,x,1,，,x,2,，,x,3,),=,1,0,1,-1,1,0,1,2,1,对角阵为,L,=,-,2,0,0,0,0,-,2,0,4,0,满足,P,-,1,A P,=L,.,下页,A,=,1,6,3,-,3,-,6,-,5,3,4,3,(1),(2),-,1,1,-,4,B,=,1,0,3,0,2,0,例,3.,判断下列矩阵是否相,似于对角阵,若相似,求可逆矩,阵,P,，,使,P,-,1,A P,=L,.,l,+,1,-,1,4,-,1,0,l,-3,0,l,-,2,0,|,l,E,-,B,|,=,(,l,-,2)(,l,-,1),2,=,0,，,矩阵,B,的特征值为

12、,l,1,l,2,=1,l,3,2,.,对于特征值,l,1,l,2,=1,解线性,方程组,(,E,-,B,),X,o,，,得其基础解系,x,1,=,，,1,2,-,1,对于特征值,l,3,=,2,，,解线性方,程组,(,2,E,-,B,),X,o,，,得其基础解系,x,2,=,.,0,0,1,显然,B,不能相似于对角阵,.,下页,A,=,1,6,3,-,3,-,6,-,5,3,4,3,(1),(2),-,1,1,-,4,B,=,1,0,3,0,2,0,解,：,(2),矩阵,B,的特征方程为,例,3.,判断下列矩阵是否相,似于对角阵,若相似,求可逆矩,阵,P,，,使,P,-,1,A P,=L,.

13、,解,：,由,A,和,B,相似可知,，,它,们的迹、行列式都相等，即,l,1,l,2,=2,l,3,6.,对于特征值,l,1,l,2,=,2,解线性,方程组,(2,E,-,A,),X,o,，,-1,1,0,1,0,1,得其基础解系,x,1,=,x,2,=.,对于特征值,l,3,=,6,，,解线性方,程组,(,6,E,-,A,),X,o,，,得其基础解系,x,3,=,，,1,-2,3,由于,A,和,B,相似,，,且,B,是一个,所以,下页,例,4.,设矩阵,A,B,相似，其中,求,x,y,的值；,求可逆矩阵,P,，使,P,-1,AP,=,B,.,解得,对角阵，可得,A,的特征值为,解,：,由所给

14、条件知矩阵,A,的特征值为,l,1,1,l,2,0,l,3,-,1,a,1,a,2,a,3,是,A,对应于上述特征值,的特征向量,.,易知,a,1,a,2,a,3,是,3,阶方阵,A,的,3,个线性无关的特征向量，,所以,A,相似于对角阵,L,diag(1,0,-,1).,取,P,(,a,1,a,2,a,3,),，,则有,P,-,1,A P,=L,，,所以,A,=,P,L,P,-1,A,5,=,P,L,5,P,-,1,=,P,L,P,-,1,=,A,.,下页,例,5.,设,3,阶方阵,A,满足,A,a,1,=,a,1,，,A,a,2,=,o,，,A,a,3,=,-,a,3,，其中,a,1,=(

15、,1,2,2,),T,a,2,=(,0,-1,1,),T,a,3,=(,0,0,1,),T,求,A,和,A,5,.,作业：,P122,页,6,下页,推导,l,1,0,0,0,l,2,0,0,0,l,n,(,x,1,x,2,x,n,),=(,l,1,x,1,l,2,x,2,l,n,x,n,),l,1,0,0,0,l,2,0,0,0,l,n,返回,一、向量的正交（,复习,）,二、,向量组的正交化标准化,下页,第,3,节 正交矩阵,三、,正交矩阵,正交向量组,(,复习,),下页,定义,设向量,a,，,b,都为,n,维为,向量，若,(,a,b,)=,0,，则称向量,a,与,b,互相,正交,(,垂直,)

16、.,定义,如果,m,个非零向量组,a,1,，,a,2,，,，,a,m,两两正交，,即,(,a,i,a,j,),=,0(,i,j,),则称该向量组为,正交向量组,.,如果正交向量,组,a,1,，,a,2,，,，,a,m,的每一个向量都是单位向量,则称该向量组为,标准正交向量组,.,证明,:,(,反证,),设,a,1,，,a,2,，,，,a,m,线性相关，则其中至少有一向量可由其余,向量线性表示，不妨设,a,1,可由,a,2,，,，,a,m,线性表示，即有一组数,k,2,，,，,k,m,，使,a,1,k,2,a,2,+,+,k,m,a,m,，于是,(,a,1,a,1,)=(,a,1,k,2,a,2,+,+,k,m,a,m,),=(,a,1,k,2,a,2,)+,+,(,a,1,k,m,a,m,),=,k,2,(,a,1,a,2,)+,+,k,m,(,a,1,a,m,)=0,这与,(,a,1,a,1,)0,矛盾，所以,a,1,，,a,2,，,，,a,m,线性无关,.,定理,1,正交向量组是线性无关的向量组,.,下页,3.1,向量组的正交化标准化,定理,2,对于线性无关的向量组,a,1,a,2