数学建模-建立函数模型解决实际问题

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1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2019-8-20,,‹#›,49,,,数学建模　建立函数模型解决实际问题,课标要求,素养要求,收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题，感悟数学模型中参数的现实意义,.,通过生活中具体的数学模型，进行提出问题、分析数据、建立模型、检验模型来发展数据分析、数学抽象及数学建模素养,.,教材知识探究,数学建模是在,20,世纪,60,和,70,年代进入一些西方国家大学的，我国,的,几,所大学也在,80,年代初将数学建模引入课堂,.,经过,30,多年的发,展现,在,绝

2、大多数本科院校和许多专科学校都开设了各种形式的数学,建模,课程,和讲座，为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的,能力,开辟,了一条有效的途径,.,大学生数学建模竞赛最早是,1985,年在美国出现的，,1989,年在几位从事数学建模教育的教师的组织和推动下，我国几所大学的学生开始参加美国的竞赛，而且积极性越来越高，近几年参赛校数、队数占到相当大的比例,.,可以说数学建模竞赛是在美国诞生，在中国开花、结果的,.,问题　你知道什么是数学建模吗？,提示　数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程,.,主要过程包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、

3、提出问题，分析问题、建立模型，求解模型、检验结果、得出结论，最终解决实际问题,.,1.,用函数构建数学模型解决实际问题的步骤,(,1),观察实际情景：对实际问题中的变化过程进行分析；,(,2),发现和提出问题：析出常量、变量及其相互关系；,(,3),收集数据、分析数据：明确其运动变化的基本特征，从而确定它的运动变化类型；,(,4),选择函数模型：根据分析结果，选择适当的函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；,(,5),求解函数模型：通过运算推理，求解函数模型；,(,6),检验模型：,,利用函数模型的解说明实际问题的变化规律，达到解决问题的目的,.,2.,数学建模活动的要求,(,1),

4、组建团队；,(2),开展研究报告；,(3),撰写研究报告；,(4),交流展示,.,教材拓展补遗,[,微判断,],1.,在构建函数模型时，经常会遇到没有现成数据可用的情况，这时就需要先收集数据,.(,,),2.,在用函数构建数学模型解决实际问题时，首先要对实际问题中的变化过程进行分析，析出其中的常量、变量及其相互关系,.(,,),3.,求出函数模型后，还需要利用函数模型的解说明实际问题的变化规律，从而达到解决问题的目的,.(,,),√,√,√,[,微思考,],数学建模活动是一个科学的研究过程，科学研究通常要经历哪几个步骤？,,提示,科学研究通常需要经历四个基本步骤,(,1),选题；,(,2),开

5、题；,(,3),做题；,(,4),结题,.,题型一　数学建模主要步骤的探究,【例,1,】,[,提出问题,],在小傅家门口有一个十字型的交通路口,(,如图所示,),，小傅就想了，警察叔叔需要指挥多少种情况的汽车运行线路？,[,建立模型,],此问题需要分是否可以原路调头的情况来讨论,.,(1),每条线路都有往返双向线；,(2),设,4,条路分别为,A,，,B,，,C,，,D,；,(3),以,A,为起始，,①,如允许原路调头，则有,A,→,A,，,A,→,B,，,A,→,C,，,A,→,D,，,②,如不允许原路调头，则有,A,→,B,，,A,→,C,，,A,→,D,.,[,求解模型,],第一步：始线

6、路条数；第二步：终线路条数,.,①,如允许原路调头：则,N,＝,4,×,4,＝,16(,种,),可能；,②,如不允许原路调头：则,N,＝,4,×,3,＝,12(,种,),可能,.,[,检验结果,],如果允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有,16,种不同的行车情况，如果不允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有,12,种不同的行车情况,.,【例,2,】,[,提出问题,],两根同样长的蜡烛，点完粗蜡烛要,3,小时，点完细蜡烛要,1,小时,.,现同时点燃两根蜡烛,.,一段时间后同时熄灭，发现粗蜡烛的长度是细蜡烛的,3,倍,.,问两根蜡烛燃烧了多长时间？,[,建立模型,],,①,设两根蜡烛的长度为,l

7、,厘米，粗、细蜡烛的燃烧速度分别为,x,、,y,(,厘米,/,小时,),，则有,y,＝,l,＝,3,x,；,②,点燃两根蜡烛一段时间后同时熄灭，剩余粗、细蜡烛的长度分别为,R,、,r,，则,R,＝,3,r,.,【例,3,】,[,提出问题,],李明玩套圈游戏，游戏规则为：套中小鸡一次得,9,分，套中小猴一次得,5,分，套中小狗一次得,2,分，李明共套,10,次，且每个小玩具都至少被套中一次,.,已知李明共得,61,分，求其中小鸡被套中过多少次,.,[,建立模型,],,①,设每次不可能同时套中,2,个及,2,个以上的玩具；,②,为了保证,“,每个小玩具都至少被套中一次,”,，可设小鸡、小猴、小狗分

8、别被套中,x,，,y,，,z,次，,x,，,y,，,z,∈,N,＋,，然后解不定方程组,.,【例,4,】,[,提出问题,],甲、乙两人去沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走,20,千米，已知每人最多可带一个人,4,天的食物和水,.,如果允许将部分食物存放于途中，问其中,1,人最远可深入沙漠多少千米？,(,要求最后两人返回出发点,),[,建立模型,],要使其中一位探险者尽可能走得远，另一位须先回，留下食物和水给另一位，所以必须分头行动,.,问题是在何处留下食物和水？,①,经过商议让甲走得更远,(,最远走,4,×,20,＝,80(,千米,),，但回程就没有食物和水了,),，需要乙在适当的地点留下足够的

9、食物和水,.,②,第,1,天乙在,10,千米处留下,1,份食物和水，到,20,千米处吃,1,份留下,1,份，第,2,天走到,30,千米处留下,1,份食物和水后马上往回返，到,20,千米处再吃,1,份，第,3,天走,20,千米回出发点,.,③,第,1,天甲,20,千米处吃,1,份，第,2,天走到,40,千米处吃,1,份，第,3,天走到,60,千米处吃,1,份，第,4,天走到,65,千米处然后往返，到,50,千米处吃,1,份,(,到此为止甲自带的食物和水已吃完,),，第,5,天走到,30,千米处吃,1,份,(,此处食物和水是乙留下的,),，第,6,天走到,10,千米处吃,1,份，然后回出发点,.,

10、[,求解模型,],所谓,“,错位推进法,”,，对于本题来说，关键点为,“,乙在,30,千米和,10,千米处给甲留下食物和水,”,，根据分析与假设推知结论：其中的一位沙漠探险家最多可深入沙漠,65,千米,.,[,检验结果,],从,“,第,6,天走到,10,千米处吃,1,份，然后回出发点,”,，感觉似乎还有,10,千米可以走，但已经回出发点了，考虑一下甲还可以再往前推进,5,千米吗？,题型二　数学建模活动主要过程的探究,【例,5,】　关于外卖垃圾问题的分析与解决,[,选题,],餐饮业作为我国第三产业中一个传统服务性行业，经历了改革开放进步、数量型扩张、规模连锁发展和品牌提升战略,4,个阶段，取得突

11、飞猛进的发展,.,为了满足当今社会快速的生活节奏，,“,外卖,”,这一餐饮方式便应运而生,.,“,外卖,”,这个词是舶来品，原意是离店销售,.,目前，无论是地处繁华地带的市中心，还是相对冷清的城郊地区，原先并不涉足外卖的餐馆都经营了外卖快餐,.,外卖有好有坏，它既方便了我们的生活，但同时也制造了大量的垃圾，这些垃圾造成了生态环境的破坏，海洋动物的死亡，也已经威胁到了我们的生活,.,本文就此问题，展开对外卖垃圾该如何处理的分析与讨论,.,[,开题,],从具体的处理方式考虑,.,通过资料我们了解到填埋是我国最重要的垃圾处理方式,.,而填埋对环境的影响则大多体现在填埋场对周围土地的污染,.,因此，我

12、们想要在不减少填埋场地所能填埋垃圾的数量的情况下，减少对土地的污染,.,而填埋数量与填埋场的体积有关,.,目前，填埋场的深度基本已达最大,.,因此我们通过改变填埋场的形状，寻找更好的可建为填埋场的图形,.,在此过程中，我们猜测填埋场对周围土地的污染是以,c,为半径的,.,并假设填埋场形状可以为任意形状,.,在尝试过长方形、正方形、圆形、正三角形后，我们通过公式及定量分析得出圆形为更好的一种选择,.,因此，在一定的条件下，填埋场建为圆形可以更有效的减少对周围土地的污染,.,一、固体废物数据的搜集与处理,,我们,通过技术手段,(,代码见附件,),，在知名外卖网站,“,饿了么,”,上面定点抓取了一个

13、地区方圆,7 500 m,左右所有已在该网站上注册的店铺的数据约,32 109,条，合计月销量,267 305,份，并写了一个简单的基于字典的分类算法，分类了,135 655,份月销量，并按照一个理想数值为每一种商品产生的垃圾进行估算,.,分类结果如下：,,外卖网站数据分类结果,商品类型,饭类,面类,汉堡,烤肉,饺子,菜类,饮料,汤类,数量,34 258,12 409,6 416,11 420,2 996,31 841,10 588,7 647,占比,29.23%,10.59%,5.47%,9.74%,2.56%,27.16%,9.03%,6.52%,根据我们的理想数值，其产生的垃圾如下：,网

14、站,ele.me,理论单月垃圾产生量,垃圾种类,一次性筷子,塑料袋,塑料碗,锡箔,包装纸,数量,113 496,195 355,111 254,1 268,72 010,占比,23.00%,39.60%,22.55%,0.26%,14.60%,根据网络搜集的市场份额与分类算法的处理偏差可以合理计算出附近外卖垃圾的月总量,.,线上外卖网站理论单月垃圾产生量,垃圾种类,一次性筷子,塑料袋,塑料碗,锡箔,包装纸,数量,302 656,520 947,296 677,3 381,192 027,占比,23.00%,39.60%,22.55%,0.26%,14.60%,根据以上的数据我们可以清楚地看到：

15、,①,饭类、面类、菜类占比较高，根据本小组的实践，这类外卖都会产生塑料碗、塑料袋、一次性筷子，而这些塑料是最难处理的，当塑料上沾上油的时候，清洗也是件困难的事情,.,②,在这些外卖产生的垃圾中，塑料袋最多，一次性筷子其次，塑料碗也较多,.,二、固体废弃物处理情况,由问题一我们推出的一个区域的废弃物再结合网络上的数据我们可以合理推理：,垃圾回收方式占比,质量,(kg),未处理,(kg),填埋,(kg),焚烧,(kg),回收,(kg),12 077.208 5,326.084 629 5,9 988.455 29,940.089 909 6,822.578 670 9,根据我们在网络上了解的知识：

16、,①,大部分的塑料都是以填埋的方式处理；,②,筷子、包装纸等可回收的一般是能回收则回收，但是难以回收的会放弃；,③,塑料制品一般是填埋,.,根据以上的信息并结合我们手上的数据，可以猜想：,预测垃圾单类回收方法占比,垃圾种类,一次性筷子,塑料袋,塑料碗,锡箔,包装纸,质量,(kg),1 513.28,1 041.89,8 900.31,45.64,576.08,未处理,(kg),75.66,104.19,445.02,9.59,23.04,填埋,(kg),75.66,771.00,7 743.27,4.11,34.56,焚烧,(kg),15.13,125.03,356.01,0.46,51.85

17、,回收,(kg),1 346.82,41.68,356.01,31.49,466.63,[,做题,],改变填埋场形状以降低污染,1.,问题分析,填埋作为重要的处理方式，可以优化填埋所进行的具体措施来减少污染,.,我们了解到，填埋的污染主要为土地污染，因此减少土地污染即可,.,我们通过查找资料得知，填埋对土地的污染大多是以填埋场地为中心，并往四周拓展一定区域，我们假定其是以均匀半径进行拓展,.,因此可以尝试在同体积的情况下减小其污染的土地,.,因为目前的填埋场深度基本已达最大深度，所以在此暂不考虑对深度的拓展,.,假设垃圾填埋场为规则的立体图形,.,因此要保证同体积的情况下，深度一样，则表面积一

18、样,.,所以我们的目的便是使在相同的表面积下，什么图形所构成的表面会对土地污染数量最小,.,2.,模型建立,我们通过网上的信息了解到，目前的填埋场形状大多为长方形,.,如图：,(,周围为污染区,),设长为,a,，宽为,b,，对四周土地进行污染的半径为,c,，总污染面积为,S,.,那么,S,＝,ab,＋,2,ac,＋,2,bc,＋,π,c,2,＝,ab,＋,2,c,(,a,＋,b,),＋,π,c,2,(1),圆形,在这里为方便，把正方形的图与圆形的图放在一起做对比,.,(2),正三角形,综上所述，目前的填埋场形状为长方形，而我们通过计算得出，圆形实则为更好的一种方案,.,因此我们可以通过把长方形

19、的填埋场改建为圆形的填埋场，这样可以有效的减少土地污染体积,.,模型优化成立,.,[,结题,],,1.,模型优点：,A.,该模型可以有效的减少土地污染体积；,B.,该模型不需要耗费大量的人力物力,.,2.,模型缺点：,A.,该模型没有考虑渗滤液处理区等方面的限制条件；,B.,该模型只能用于填埋场形状为圆形的填埋场,.,3.,我们了解到填埋是我国目前最重要的垃圾处理方式,.,而填埋造成的环境污染主要体现在对周围土地的污染,.,因此我们想在不影响填埋数量的情况下，通过改变填埋场形状来减少对土地的污染,.,在此模型中，我们采用了枚举法，通过比较不同的形状带来的污染，最后得出结论,.,在一定的条件下，

20、圆形较好,.,最后，我们通过调查问卷和数据抓取的方式，得到订外卖的主体为服务业的年轻人,.,大量的外卖垃圾正威胁着我们的环境，但并非无解决方法,.,但是，最重要的还是我们自身需建立起环境保护意识，自觉保护环境，维护生态平衡,.,只有这样，我们才能继续绿色、健康的生存和发展下去,.,2.,模型假设,设如下变量：,商品价格为,C,，商品重量为,W,，单位重量价格为,c,，商品包装面积为,S,，生产成本为,C,1,，包装成本为,C,2,，其它成本为,C,3,.,3.,研究的大体思路、方法与步骤,(1),分析商品价格,C,与商品重量,W,的关系,.,价格由生产成本、包装和其它成本等决定，这些成本中有的

21、与重量,W,成正比，有的与表面积成正比，还有与,W,无关的因素,.,(2),求单位重量价格,c,与,W,的关系，可以用简图分析,.,最后结合实验结论，对商家或顾客提出合理的建议,.,4.,研究此问题的意义,实际生活中，经常会遇到大、小包装的问题，如洗衣粉、洗发水、纯净水等,.,在选择购买时，可依据下面的数学模型做选择,.,2.,模型解释,c,－,W,的简图如图所示：,由函数解析式及图象可知单位商品价格关于商品重量的函数是一个减函数，即随着,W,的增加，,c,的减少幅度减少，当,W,很大时，则,c,不再减少，所以说，不要盲目追求大包装商品,.,[,结题,],对于商家，一般来说，小包装商品的利润较

22、高，但成本也相应的增多，所以应该包装大小适宜，在适当情况下，可以尽量生产小包装的商品；,对于顾客，在用得完的情况下，尽量买较大的包装，可以节省包装的费用，但是也不能盲目地认为越大包装的商品就越便宜，可能会有其他消耗，如用不完的情况,.,数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法、数学模型解题的过程,.,在构建模型时,,，经常会遇到没有现成数据可用的情况，这时就需要先收集数据，再进行分析、建模,.,下面摘录一些中学生曾经研究过的问题供参考，同学们可根据情况组织团队进行建模活动,.,自然方面的问题,公路上雪的融化速度；,都江堰宝瓶口的水有多深；,圭表与日晷原理的数学分析；,利

23、用灯光促进植物生长的实验；,由氢键理论推算冰的密度；,从拼图游戏到人类基因组计划；,水草治理问题；,天体日、月相在旋转点阵屏上运行的数学模型；,云南白马雪山地区树木年轮宽度与气候变化的相关性研究；,植物叶表粗糙程度与吸附大气颗粒物能力的关系探究；,孔雀鱼体色基因类型初步研究,.,社会方面的问题,“110”,巡警站的位置安排；,公路护栏的改良；,防错拨的城市电话号码设置方案；,对小区学生择校问题的研究；,如何使防护林达到最佳防护效果；,保安巡更路线方案及软件流程设计；,高峰期学校门前十字路口红绿灯周期时间的设计；,利用数码相机测量桥梁裂纹；,埙的容积对音高的影响；,考试焦虑的影响因素分析；,老年

24、人免费乘公交车的社会成本；,“,梦之队,”,组建的最优化选择；,汉字结构特征及其识别；,“,月上柳梢头，人约黄昏后,”,——,古诗中的天文学问题；,中国古建筑建造中,“,举折法,”,屋面曲线猜想；,泰森多边形在环境空气监测网络布设中的应用,.,生活方面的问题,流行歌曲的流行趋势分析；,地铁站旅客流通情况及优化方案；,暖瓶的最佳保温水位；,讨论适合拼音输入法的键盘布局；,游览卢浮宫的最佳路线；,抽取式面巾纸的包装盒优化设计；,汽车后视镜的角度分析及安装改进；,14,款笔记本电脑性价比报告；,地区加油站各区域分布数量方案；,为数独定难度；,太阳能电池板发电设备优化；,区域养老院规划；,城市周边地区住房入住率估算与分析；,碘酸钾碘盐在烹饪食物时碘损失率的研究,.,结束语　数学建模是一个让纯粹数学家,(,指只懂数学不懂数学在实际中的应用的数学家,),变成物理学家、生物学家、经济学家甚至心理学家等等的过程,.,