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1、Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,第,3.4,节 向量组的秩,向量组等价,定 义,性质,计算方法,3.4.1 向量组的等价关系,设有两个向量组,A,:,1,2,.,m,示，则称这两个向量组,等价,.,线性表示,.,若向量组,A,与向量组,B,能相互线性表,量组,A,线性表示，则称,向量组,B,能由向量组,A,及,B,:,1,2,.,s,若,B,组中的每个向量都能由向,例1,设有向量组,A,和
2、,B,求证：向量组,A,和向量组,B,等价,向量组之间的等价关系具有下面的三条性质：,（）反身性：,向量组,A,与向量组,A,自身等价；,（）对称性：,若向量组,A,与向量组,B,等价，则,向量组,B,与向量组,A,等价；,（）传递性：,若向量组,A,与向量组,B,等价，向,量组,B,与向量组,C,等价,则向量组,A,与向量组,C,等价,定义3.4.2,设有向量组,A,如果,A,的一个部分,含向量个数,r,称为,向量组的秩,.,极大无关组所,无关向量组,(简称,极大无关组,),;,合，那么称部分向量组,A,0,是,A,的一个,极大线性,(ii),向量组,A,中每一个向量都是,A,0,的线性组,
3、(i),向量组,A,0,线性无关;,向量组,A,0,满足：,3.4.2 定义,例2,设有向量组,A,求向量组,A,的极大无关组和秩,例3,设有向量组,A,求向量组,A,的极大无关组和秩,上面两个例子说明，一个向量组的极大无关组,可能不是唯一的，,但极大无关组中所包含的向量个,却是相同,有如下定理,对一个,向量组，其所有极大无关,组所含向量的个数都相同,从定理3.4.1可得到以下推论：,3.4.3 性质,推论3.4.3,等价的向量组有相同的秩,推论3.4.1,若,向量组,A,能由向量组,B,线性,表示，则向量组,A,的秩不大于向量组,B,的秩,推论3.4.2,两个等价的线性无关向量组所包,含向量
4、个数一定相等,对于一个向量组，一般情况下如何求它的秩和,极大无关组呢？,下面来讨论这个问题,例4,考虑构成上三角形矩阵,的,n,个列向量所构成的向量组的秩,由于,R,(,A,)=,n,，所以这,n,个列向量是线性无关,的，故这向量组的秩为,n,例5,考虑构成下列阶梯形矩阵,的6个列向量（,a,11,a,23,a,34,a,46,不为零）,显然，列向量组,是线性无关的，而若再加上一个向量就是线性相,关的，,因此这6个列向量构成的向量组的秩为4，,也是就是矩阵,A,的秩，而极大无关组就是上述,列向量组,上例的结论对于一般的阶梯形矩阵是成立的，,当矩阵不是阶梯形矩阵时，又如何求呢？,我们知,道任何一
5、个矩阵都可以通过初等行变换化为阶梯,形矩阵,因此，有下列结论,列向量组通过初等行变换不改变,线性相关性,至此，我们一方面知道可以用初等行变换来求,列向量组的秩和极大无关组，,另一方面又对矩阵,秩有了新的了解，,即矩阵秩就是列向量组中极大无,关组的个数,矩阵,A,的秩=矩阵,A,的列向量组,的秩=矩阵,A,的行向量组的秩,又知,R,(,A,)=,R,(,A,T,)，因此有,3.4.4 向量组的极大无关组的求法,前面的讨论为我们提供了一个求向量组的秩、,极大无关组并用极大无关组表示其余向量的有效,方法，,这个方法的步骤如下：,Step1,把向量组中的每个向量作为矩阵的一列,构造一个矩阵；,Step
6、2,对所作的矩阵施行初等行变换，直至化,为行最简形矩阵；,Step3,在所得的行最简形矩阵中，每个非零行,的第一个非零元所在的列对应的向量构成一个极大,无关组，不在极大无关组中的列上的元素即为用极,大无关组表示该列所在的向量的表示系数,下面的例子都要用这种方法,例6,设,试求向量组,1,2,3,4,5,的秩及其一个极大无关,组，并将其余向量用这个极大无关组线性表示,解,例7,设,求矩阵,A,的列向量组的秩及其一个极大无关组，,并将其余向量用这个极大无关组线性表示,解,例8,设,证明向量组,1,2,与,1,2,3,等价,由极大无关组的定义可知，向量组中每一个向,量都可由极大无关组表出，,例6和例7对这一事实,进行了验证,下面的定理说明，这种表示式还是唯,一的,向量组中每一个向量由极大无关组,的向量线性表出的表达式是唯一确定的,
线性代数智能化教系统第4节
