精算模型第2章

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2、第二章 个别保单的理赔额和理赔次数,,第一节 理赔额的分布,,一、常用名词,,投保人（,insurer,）,,承保人,,,保险公司（,insurance,）,,损失事件（,loss event or claim,）,,注意：事故不等于损失事件,,损失额（,loss,）,,理赔事件（,payment event,）,,赔付额，理赔额（,amount paid,）,,注意：损失事件不等于理赔事件，理赔额不等于损失额,,,记号：,,X,表示投保人实际损失额（,ground-up loss,）。,,,Y,表示保险人每次理赔事件的赔付额,(amount paid,per payment,),，简称理赔额

3、,;,,Y,*,表示投保人每次损失事件中获得的实际索赔额,(amount paid,per loss,),,,,二、常见的部分赔偿形式,1,、,免赔额（,deductible,）,,含义：当损失额低于某一限额时不做赔偿，这一限额称为免赔额（或自付额），当损失额高于免赔额，只赔偿高出的部分。,,例如,,免赔额为,50,元,,数学形式：,,例,1,：已知某风险标的的原始损失额如下：,,,,0,,,1,,,2,,,3,,,4,,,,,0.4,,,0.2,,,0.2,,,0.15,,,0.5,,,,假设免赔额为,1,，求每次理赔事件的赔付额,Y,,和每次损失事件的赔付额的分布。,,,,0,,,1,,,

4、2,,,3,,,4,,,,,0.4,,,0.2,,,0.2,,,0.15,,,0.05,,,,,0,,,0,,,1,,,2,,,3,,,,,,,,,,,0.2/0.4,,,0.15/0.4,,,0.05/0.4,,,,,0.4,,,0.2,,,0.2,,,0.15,,,0.05,,,,,Y,L,的分布容易计算，,,,,,Y,P,的分布是在,X,>,d,的条件下，,,X,－,d,的条件分布。记,Y,P,的分布函数记为,F,YP,(,y,),，,,当,y,>0,时为，,,,,,当,y,＝,0,时，,,Y,P,的分布密度函数可以写为,,,2,、保单限额（,Policy limit,）,,含义：每次保

5、险事故中按保险单所约定的最高赔偿金额。,,例如,:,最高保单限额为,1500,元,,数学形式：,,,,,,,请问,：当免赔额和保单限额同时存在时，情况会怎样？,,例,2,:,设某医疗保险单上规定了免赔额为,100,,保单限额为,5,000,，,,有三个投保人看病花费分别为,50, 4000,,和,5500,,问他们获得的赔付额各是多少,?,,注意,：如果同时规定最高保单限额为,u,，免赔额为,d,，则投保人所能得到的最高赔偿金额为,u,。,,,,,,未定义,,解,：设,X,i,表示第,i,个投保人的损失额,, Y,i,,表示他所获得的赔付,,,则,,,,,,,所以，由,X1=40, X2=40

6、00, X3=5500,,得,,Y1=0,Y2=4000-100=3900, Y3=5000,例,3,：假设某险种的保单规定免赔额为,100,元，保单限额为,9,00,元。假设损失服从,Weibull,分布，,,,,,,求理赔额,Y,P,的分布。,,,解,：设,X,表示实际损失额，,Y,P,表示理赔额，则,,,Y,P,的分布函数和分布密度分别为,,,未定义,,,当,y,＝,900,时，,,,当时，,,,3,、比例分担,,含义：在保险单中约定一个比例常数，当损失事故中的实际损失额为,X,时，保险公司只赔付,a,X,，,,例如，,a,＝,0.8,,,,,当免赔额、保单限额和比例分担三者同时存在时,

7、,,未定义,,,三、理赔额的期望,,记号,,,,显然，,,,设,X,表示损失额，,Y,P,表示每次赔偿理赔额，,Y,L,每次损失的赔付额,,免赔额情形：,,,保单限额,,,保单限额、免赔额同时存在,,,比例分担、保单限额、免赔额同时存在：,,,1,、有限期望函数,,性质,,1.,,,,2.,对于非负随机变量,X,,,3,、对非负随机变量,X,,,,证明：,,,,例,4,：设某险种的损失额,X,具有密度函数,,,x,>0,,假定最高理赔额为,u,=4,万元,,,求理赔额的期望是多少,?,,解,：设理赔额为,Y,，则,,,,由,,,知,,2,、剩余期望函数,,,E,(,X,),，,e,X,(,d,

8、),与,E,(,X,∧,d,),的关系,,,,E,(,X,)=,E,(,X,∧,d,)+,e,X,(,d,)(1-,F,(,d,)),,例,5,：设某险种的损失额,X,具有密度函数,,,假定免赔额等于,0.2,万元,,,求每次损失事件实际赔付额和每次理赔额事件理赔额,Y,的期望。,,解,,经计算得到,,，且,,,,,,上面的例子可以总结为下面的定理：,,,,定理,,设,X,表示实际损失额，,,免赔额为,d,，,,比例分担额,a,,,保单覆盖的最大损失,u,，则每次损失赔付额,Y,L,和赔偿的理赔额,Y,的期望分别为,,,,证明：保单覆盖的最大损失,u,，则最高赔偿额为,,,可以表示为,,,所以

9、,,,由于,Y,P,是,X>d,条件下，的值，因此,,,四、通货膨胀效应,1,、通货膨胀率已知为,r,,对损失额的影响,,设,X,表示过去时期内损失额,, Z,表示现在或未来时期内的损失额,,,则两者的关系为,Z=(1+r)X,。容易计算得到,,,对理赔额的影响：,,定理：,设,X,表示实际损失额,,,免赔额为,d,,保单覆盖的最大损失,u,和比例分担额,a,,,,通货膨胀率为,r,,,则明年每次损失赔付额为,,,每次理赔的理赔额为,,,,,例,6,,假设某险种在,2003,年的实际损失额服从离散分布,,。保单上规定每次损失的免赔额为,1500,元。假设从,2003,年到,2004,年的通货膨

10、胀额为,5,％，,2004,年的免赔额保持不变，求,2004,年的每次损失赔付额的期望是多少。比今年相比，增长率是多少？,,,解,,,今年每次损失的索赔额为,,,,明年每次损失的索赔额为,,增长率为,8,％,,2,通货膨胀率是随机的,,考虑模型,Y=CX,,随机变量,C,和,X,是独立的,,,C,>1,，,C,表示随机通货膨胀,,,一般是主观预测得来，设其分布函数为,F,C,(c),,密度为,f,C,(c),。若,X,的分布函数为,,,满足,,，则,,,,容易计算出，明年的损失额的期望和方差为,,,,,这是因为,例,7,预测明年的通货膨胀率在,2%,到,6%,之间，,,而且低通货膨胀率的可能性

11、更大。设损失,X,服从均值为,10,的指数分布，,,，求明年损失额的期望。,,,,解,：不妨考虑这样一个密度函数,,,,其中,,,这个密度函数满足低通货膨胀率的可能性更大这个条件。经计算得到,C,的期望和方差为,,,,于是由公式计算得到,,,,第,2,节 理赔次数,,主要内容,1,、母函数与矩母函数,,2,、一张保单的理赔次数分布,,3,、理赔次数的混合分布,,4,、理赔次数的复合分布,,5,、免赔额对理赔次数分布的影响,,1,、,N,的母函数与矩母函数,,设,N,是一个离散随机变量，取值于,0,1,2,,…,,记,,,其母函数为,矩母函数为,,母函数与矩母函数的关系,,母,(,矩母,),函数

12、性质,,1,、若,N,的母,(,矩母,),函数存在，那么母,(,矩母,),函数与分布函数是相互唯一决定的。,,2,、由母,(,矩母,),函数可以导出矩的计算：,,,请问,,3,、设,N,＝,N,1,+…+N,n,, N,i,相互独立，则,,二、一张保单的理赔次数分布,,,1,、泊松分布,(Poisson),,对于保险公司而言，客户因发生损失而提出理赔的人数类似于等待服务现象，因此对大多数险种来说，个别保单的理赔次数可用泊松分布来表示，即在单位时间内个别保单发生理赔次数,N,的分布列为：,,,在单位时间内理赔次数,N,的分布列为,,,泊松分布的性质：,,（,1,）均值和方差,,,（,2,）母函数

13、,,,,（,3,）矩母函数,,,,（,4,）可加性,,定理,1,：设,,,是,相互独立,的泊松随机变量，参数分别为,,，则,,服从泊松分布，参数为,,。,,证明：,,,,故,N,服从泊松分布，参数为,,。,（,5,）可分解性,,假设损失事故可以分为,m,个不同类型,C,1,,…,C,m,,E,i,表示第,i,类事故发生。,,p,i,表示第,i,类事故发生的概率，,,N,i,表示第,i,类事故发生的次数，,,N,表示所有事故发生的次数。,,,,,定理,2,：若,N,服从参数为,l,的泊松分布，则,N,1,,N,2,,…,N,n,都是相互独立的，且服从泊松分布，参数分别是,l,p,i,，。,,证明

14、,：给定,N=n,，,N,i,|n,服从二项分布,B(1,p,i,),，,N,1,,,…,,N,n,服从多项分布,,,因此,,其中,n,＝,n,1,+n,2,+…+n,n,,因此，,,的联合分布等于,N,i,分布的乘积，,N,i,是相互独立的随机变量。,,例,1,：设,N,表示损失事故发生的次数，,X,表示损失额，服从泊松分布，,l,=10,，,X,～,U[0, 20],。问损失额超过,5,的事故发生次数的概率分布。,,,,,解,：令,E,表示事件“损失额超过,5,”,,,,,所以损失额超过,5,的次数服从参数为,10×0.75=7.5,的泊松分布。,,例,2,：假设某险种的个体保单损失,X,

15、的分布为,,,,,,又假设个体保单在一年内发生的损失事件的次数,N,服从泊松分布，,l,＝,200,。,N,i,表示损失额为,i,的损失事件的次数。,,,,（,1,）,,求,,的分布。,,,（,2,）假设免赔额为,1,，求个体保单在一年内发生的理赔事件次数的分布。,,,解,：由于,,，且,N,服从泊松分布，由定理知，,N,i,相互独立且服从泊松分布。,,参数,l,i,等于,,,计算得到,,,,,,,（,2,）留作课堂练习,,2,、其他常见的理赔次数分布,,（,1,）负二项分布,,其中：,,,负二项分布的性质,,（,1,）当,r,＝,1,，负二项分布退化为几何分布,,,,（,2,）母函数,,,,

16、注意：我们这里的负二项是广义的负二项分布，,,r,可以为非整数。,将,,化简得到,,,（,3,）均值和方差,,,,,（,2,）二项分布,,,性质,,,（,1,）母函数与矩母函数,,,（,2,）均值与方差,,,,,请问：如何从观察数据简单区别,,负二项分布、二项分布和泊松分布,例,3,：设有,100,个,40,岁的投保人投保生命险，,q,表示一个投保人明年死亡的概率，问明年死亡人数的分布是什么？,,3,、,(a, b, 0),分布族,,上述,3,种分布都可以用,(a, b, 0),分布来表示,,,定义,：设随机变量,N,的分布列满足,,,,,,则称分布族为,(a, b, 0),分布族,,,,注：

17、泊松分布，二项分布，负二项分布是（,a,b,0),分布族,,泊松分布：,,,负二项分布,,,,,,,因此，,,当,r,＝,1,时，负二项分布是几何分布，,,,二项分布,,,,,,,例,4,：设,N,是一随机变量，令,,，如果,,,,,问,N,的分布是什么？,,解：由,,知，,N,服从二项式分布,,,,,练习,：设,X,的分布属于,(a,b,0),,分布族,，已知,,,求,,,三、理赔次数的混合分布,背景：,,从保单中随意抽取一份保单，求该保单的理赔次数分布。,,同质性,：指所有的保单相互独立，且都有相同的风险水平，即各保单的损失额的分布相同，损失次数的分布也相同。,,非同质性,：保单组合中的每

18、个保单风险水平各不相同。表示其风险水平。,,数学模型,,设,Q,是一个随机变量，当,Q,＝,q,时，,,,令,,为,Q,的累积分布，,u,(q),为,q,的密度函数，,则,N,的分布列为,,,,或者,,,N,的分布称为混合分布。,,,,例,5,：某司机总体被平均分成两个类型。每个司机发生车祸的次数都服从泊松分布。第一种类型的司机的平均发生车祸的次数服从（,0.2,，,1.8,）的均匀分布。第二种类型的司机的平均发生车祸的次数服从（,0.5,，,2.0,）的均匀分布。从这个总体中随机抽取一个司机，求他不发生车祸的概率。,,解,,,混合分布性质,,,1.,母函数,,,或者,,,其中,P,N,(z|

19、,q,),表示在,Q,＝,q,条件下，,N,的母函数。,,2,．均值和方差,,,,,,常见的几种混合泊松分布,,1,、离散型混合,,对于规模较小的保单组合，假设保单组合由,n,种不同的风险水平构成，泊松参数取值于,,,,，设,,，,,。当,L,＝,l,k,时，保单的损失次数服从参数为,l,k,的泊松分布。则从保单组合中任意抽取一份保单的分布为,,,,,,,,例,6,：假设投保车险的驾驶员可以分为两类，他们出事的次数服从泊松分布，其中好的一类的泊松参数为,0.11,，坏的一类的泊松参数为,0.70,，好的驾驶员和坏的驾驶员的比例为,0.94,和,0.06,，则任意一个驾驶员出事的次数分布时多少？

20、,,,解,2,、连续型的混合,,对于规模较大的保单组合，可以假设其中的泊松参数服从连续分布。以,u(,l,),表示的密度函数，通常称为结构函数。则从保单组合中随机抽取一份保单的损失次数分布为,,,,,,性质：,,,(1),母函数的表达式,,,（,2,）结构函数的唯一性，设,P,1,和,P,2,是两个混合泊松分布的母函数，分别表示为,,,,,,若,P,1,(z)=P,2,(z),，则,u(,q,)=v(,q),。,,,,,例,7,：设,Q,的母函数为,,,,,,求,N,的分布。,,解,：利用母函数公式,,,,定理,3,：设保单组合中每张保单的理赔次数,N,服从泊松分布，但参数,l,是一个随机变量

21、，随每张保单变化而变化。若,l,服从伽玛分布，,,,，,,,,,则,N,服从负二项分布。,,,,,四、理赔次数的复合分布,,问题：一次损失事故的发生可能会导致多份保单同时发生索赔，如何求索赔次数的分布。,,,例,1,：设从城市,A,到城市,B,的某航线每个月有,70,个航班，假设每个航班有,,的可能性取消，假设每次飞行有,,的概率出事。进一步假设每趟飞机有,200,个座位，每次飞行有,,的就座率和,6,个机组人员，假设出事飞机上的每个人都死亡，并且都买了保险。,,,求每个月此航线的索赔次数的期望和方差。,.,,,,,解：令,S,表示下个月此航线的总索赔次数,,N,表示下个月出行的航班数,,P,

22、表示飞机上的人员数，,M,表示乘客数,,,,,D,表示发生事故的死亡人数，,,则,。,,,定义：设,M,和,N,分别为两个计数随机变量，,iid,与,M,的分别相同，则,N,的分布称为,,的复合分布,,,的分布称为第一分布，,M,称为第二分布。,,,,背景：,N,表示单位时间内损失事故的发生数，,,M,表示第,i,个损失事故产生的索赔次数，,,S,表示单位时间内索赔的总次数。,,,,,,S,的性质,,母函数,,,,例,1,：,M,服从泊松分布，,N,服从泊松分布，,,,，,,,例,2,：求例,1,中,S,的母函数：,,,,,,，,,,,均值和方差,,,,例,1,续：求例,1,中,S,的期望和方

23、差,,,,,,,,,,,,,注意：当免赔额存在时，理赔次数不等于损失次数。,,1,、免赔额存在时,,,X,表示损失，,N,L,表示损失次数，,d,表示免赔额，,N,P,表示理赔次数,,，,，,,五、,免赔额对理赔次数的分布的影响,,,例：设某损失事件的损失额有几种可能,,，发生的概率分别为,,，假设损失事件的次数服从,,的负二项分布，免赔额为,50,，求赔偿事件的次数的分布。,,解,,,,,,N,P,服从负二项分布,,,,,,,。,命题,1,,命题,1,：假设,N,L,的母函数,,，其中,B(.),是与参数,,无关的函数，则,N,L,和,N,P,的分布类型没有变化。,,证明：,,,,,,注：所

24、有的,,分布都保持原来的类型。,,,,,,,,,,,,,,2,、免赔额发生变化时,,设原来的免赔额为,d,，现在免赔额调整为,d*,，请问调整后新理赔次数发生了什么变化。,,记,N,d,,表示免赔额为,d,的理赔次数，,N,d,*,表示理赔额为,d*,的理赔次数，设,v’,表示在免赔额提高后，以前的索赔事件能够继续获得赔偿的比例，则,,,令,I=1,表示继续获得赔偿，,,表示,I=0,不能继续获得赔偿,,,,当,d,*,>d,时，若,N,的分布为（,a,b,0,），则,N,d,*,分布类型不会发生变化，参数有变化,,当,d,*,