高三数学二轮复习第一篇专题通关攻略不等式选讲课件理新人教版

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1、Click to edit Master title style,,Click to edit Master text styles,,Second level,,Third level,,Fourth level,,Fifth level,,*,,*,,,不等式选讲,第一页，共52页。,1.绝对值不等式,(1)定理(dìnglǐ)1:,如果a,b是实数,则|a+b|___|a|+|b|.当且仅当______,时,等号成立.,(2)定理(dìnglǐ)2:,如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤____________,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.,≤,ab≥0,|a-b|+

2、|b-c|,第二页，共52页。,2.|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法(jiě fǎ),(1)|ax+b|≤c(c>0)⇔____________.,(2)|ax+b|≥c(c>0)⇔__________________.,-c≤ax+b≤c,ax+b≥c或ax+b≤-c,第三页，共52页。,3.|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法,方法一:利用绝对值不等式的_________求解,体现数形结合思想.,方法二:利用“___________”求解,体现分类讨论思想.,方法三:通过构建函数,利用函数的图象(tú

3、xiànɡ)求解,体现函数与方程思想.,几何(jǐ hé)意义,零点(línɡ diǎn)分段法,第四页，共52页。,【易错提醒】,1.忽略条件致误:应用绝对值不等式的性质求函数的最值时,一定要注意等号成立的条件,特别是多次使用不等式时,必须使等号同时成立.,2.不能准确去掉绝对值号致误:在去掉绝对值号时,不能正确分类,导致(dǎozhì)解题失误.,第五页，共52页。,3.忽略(hūlüè)对分母符号的判断致误:在使用作商比较法时,易忽视对分母的符号进行判断而致误.,第六页，共52页。,热点考向一　绝对值不等式的解法(jiě fǎ),命题解读:主要考查绝对值不等式的解法(jiě fǎ)以及分

4、类讨论和转化与化归的数学思想.,第七页，共52页。,【典例1】(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.,(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集.,(2)若f(x)的图象(tú xiànɡ)与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.,第八页，共52页。,【解题导引】(1)利用零点分段法将不等式f(x)>1化为一元一次不等式组来解.,(2)将f(x)化为分段函数,求出f(x)与x轴围成三角形的顶点坐标(zuòbiāo),即可求出三角形的面积,根据题意列出关于a的不等式,即可解出a的取值范围.,第九页，共52页。,【规范解答(jiědá)】(1)当a=1时

5、,不等式f(x)>1化为,|x+1|-2|x-1|-1>0.,当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;,当-10,,解得 0,解得1≤x<2.,所以f(x)>1的解集为{x| 6,故a>2.所以(suǒyǐ)a的取值,范围为(2,+∞).,第十一页，共52页。,【规律方法】,1.用零点分段(f

6、ēn duàn)法解绝对值不等式的步骤,(1)求零点.,(2)划区间、去绝对值号.,(3)分别解去掉绝对值的不等式(组).,(4)取每个结果的并集,注意在分段(fēn duàn)时不要遗漏区间的端点值.,第十二页，共52页。,2.图象法求解不等式,用图象法,数形结合可以求解含有绝对值的不等式,使得代数问题几何化,既通俗易懂,又简洁(jiǎnjié)直观,是一种较好的方法.,第十三页，共52页。,【变式训练】(2016·全国(quán ɡuó)卷Ⅲ)已知函数f(x)=|2x-a|+a.,(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集.,(2)设函数g(x)=|2x-1|,当x∈R时,f(x)+g(

7、x)≥3,求a的取值范围.,第十四页，共52页。,【解析(jiě xī)】(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2,,解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.,因此f(x)≤6的解集为{ x|-1≤x≤3}.,第十五页，共52页。,(2)当x∈R时,,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|,≥|2x-a+1-2x|+a,=|1-a|+a,,所以(suǒyǐ)当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于,|1-a|+a≥3,　　　　①,第十六页，共52页。,当a≤1时，①等价于 1-a+a≥3，无解.,当a>1时，①等价于 a-1+a≥3，解得a≥2.,所以(suǒyǐ)a的取值

8、范围是[2，+∞).,第十七页，共52页。,【加固(jiā ɡù)训练】,已知函数f(x)=|x-3|-5,g(x)=|x+2|-2.,(1)求不等式f(x)≤2的解集.,(2)若不等式f(x)-g(x)≥m-3有解,求实数m的取值范围.,第十八页，共52页。,【解析(jiě xī)】(1)由f(x)≤2,得|x-3|≤7,,所以-7≤x-3≤7,所以-4≤x≤10,,所以不等式f(x)≤2的解集为[-4,10].,第十九页，共52页。,(2)因为f(x)-g(x)≥m-3有解,,所以(suǒyǐ)|x-3|-|x+2|≥m有解.,因为||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=5

9、,,所以(suǒyǐ)-5≤|x-3|-|x+2|≤5,,所以(suǒyǐ)m≤5,即m的取值范围是(-∞,5].,第二十页，共52页。,热点(rè diǎn)考向二　绝对值不等式的恒成立问题,命题解读:主要考查绝对值不等式的性质,常和绝对值不等式的解法交汇命题.,第二十一页，共52页。,【典例2】(2016·哈尔滨二模)设函数f(x)=|x-1|+ |2x-1|.,(1)求不等式f(x)≥2的解集.,(2)若∀x∈R,不等式f(x)≥a|x|恒成立,求实数(shìshù)a的取值范围.,第二十二页，共52页。,【题目拆解】解答本题第(2)问,可拆解成三个小题:,①讨论当x=0时,不等式成立的

10、情况;,②当x≠0时,分离变量a,把所求问题转化为求最值问题;,③利用(lìyòng)绝对值不等式的性质求最值.,第二十三页，共52页。,【规范解答(jiědá)】(1)由f(x)≥2得 或,或,解得x≤0或x≥,所以原不等式的解集为{x|x≤0或x≥ }.,第二十四页，共52页。,(2)当x=0时,f(x)=2,a|x|=0,原不等式恒成立(chénglì);,当x≠0时,原式等价转换为 ≥a恒成立(chénglì),即a≤,因为,当且仅当 ≤0,,即 ≤x≤1时取等号,所以a≤1.,第二十五页，共52页。,【母题变式】,1.若本例题

11、的条件不变,当不等式f(x)≥a恒成立(chénglì)时,试求a的取值范围.,【解析】f(x)=|x-1|+|2x-1|=,,则f(x)≥f( )= ,从而a≤ .,第二十六页，共52页。,2.若本例题条件(tiáojiàn)变为“已知函数f(x)=|x-a|+ 2|x+b|(a>0,b>0)的最小值为1”.试求:,(1)a+b的值.,(2) 的最小值.,第二十七页，共52页。,【解析】(1)f(x)= 其图象(tú xiànɡ)如图所示,,因此,f(x)的最小值是f(-b)=a+b,依题意,有a+b=1.,第二十八页，共52页。,(2)a>0,b

12、>0,且a+b=1,,,当且仅当 时,上式取等号,又a+b=1,,故当且仅当a= -1,b=2- 时, 有最小值3+2 .,第二十九页，共52页。,【规律(guīlǜ)方法】求含绝对值号函数的最值的两种方法,(1)利用|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|求解.,(2)将函数化为分段函数,数形结合求解.,第三十页，共52页。,【变式训练】(2016·揭阳二模)设a∈R,f(x)=|x-a|+ (1-a)x.,(1)解关于(guānyú)a的不等式f(2)<0.,(2)如果f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.,第三十一页，共52页。,【解析】(1)方法一:f

13、(2)=|2-a|+2(1-a)=,不等式f(2)<0等价于 或者(huòzhě),解得a>2或 ,,所以所求不等式的解集为,第三十二页，共52页。,方法(fāngfǎ)二:由f(2)<0,得|2-a|+2(1-a)<0,,即|a-2|<2(a-1),,-2(a-1) ,解集为,第三十三页，共52页。,(2)f(x)=|x-a|+(1-a)x=,因为(yīn wèi)f(x)≥0恒成立,故有,解得0≤a≤1.,第三十四页，共52页。,【加固训练】,已知函数f(x)=|x-3|+|x-2|+k.,(1)若f(x)≥3恒成立(chénglì

14、),求k的取值范围.,(2)当k=1时,解不等式f(x)<3x.,第三十五页，共52页。,【解析】(1)由题意,得|x-3|+|x-2|+k≥3,,对∀x∈R恒成立(chénglì),,即(|x-3|+|x-2|)min≥3-k,,又|x-3|+|x-2|≥|x-3-x+2|=1,,所以(|x-3|+|x-2|)min=1≥3-k,解得:k≥2.,第三十六页，共52页。,(2)当k=1时,不等式可化为,f(x)=|x-3|+|x-2|+1<3x,,当x≤2时,变形(biàn xíng)为5x>6,解得:x> ,,此时不等式解集为 ,,此时不等式解集为2

15、<3;,第三十七页，共52页。,此时(cǐ shí)不等式解集为2-4,,此时(cǐ shí)不等式解集为x≥3,,综上,原不等式的解集为,第三十八页，共52页。,热点考向三　不等式的证明,命题解读:主要考查利用(lìyòng)比较法比较大小,利用(lìyòng)综合法、分析法证明不等式.,第三十九页，共52页。,【典例3】(2016·重庆二模)设不等式|2x-1|<1的解集为M,且a∈M,b∈M.,(1)试比较ab+1与a+b的大小.,(2)设max{A}表示(biǎoshì)数集A中的最大数,且h=max,求证:h>2.,第四十页，共52页。,【解

16、题导引】(1)利用作差比较法比较大小(dàxiǎo).,(2)先利用不等式的性质得到h3≥ .再利用不等式的放缩得h3>8.,第四十一页，共52页。,【规范(guīfàn)解答】(1)M={x|00,,所以ab+1>a+b.,(2)因为,所以h3≥ =8,所以h>2.,第四十二页，共52页。,【规律方法】证明不等式的基本方法,证明不等式的传统方法有:比较法、综合法、分析法.,(1)比较法有作差比较法和作商比较法两种.,(2)用综合法证明不等式时,主要是运用基本不等式证明,一方面要注意基本不等式成立的条件,另一方面要善于对式子(shì zi)

17、进行恰当的转化、变形.,第四十三页，共52页。,(3)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显,可考虑用分析法.,(4)综合法往往是分析法的相反过程,其表述简单,条理清楚,当问题比较复杂时,通常把分析法和综合法结合(jiéhé)起来使用,以分析法寻找证明的思路,而用综合法叙述、表达整个证明过程.,第四十四页，共52页。,【变式训练】(2016·石家庄一模)已知函数f(x)=|x|+|x-1|.,(1)若f(x)≥|m-1|恒成立,求实数m的最大值M.,(2)在(1)成立的条件下,正实数a,b满足(mǎnzú)a2+b2=M,证明:a+b≥2ab.,第四十五页，共52页。,【解析】(1)由已知可

18、得,f(x)=,所以(suǒyǐ)f(x)min=1,所以(suǒyǐ)只需|m-1|≤1,,解得-1≤m-1≤1,,所以(suǒyǐ)0≤m≤2,所以(suǒyǐ)实数m的最大值M=2.,第四十六页，共52页。,(2)方法(fāngfǎ)一:综合法,因为a2+b2≥2ab,所以ab≤1,,所以 ≤1,当且仅当a=b时取等号,①,又因为 ,所以 ,所以,当且仅当a=b时取等号,②,由①②得,所以 所以a+b≥2ab.,第四十七页，共52页。,方法(fāngfǎ)二:分析法,因为a>0,b>0,所以要证a+b≥2ab,只需证(a+b)2≥4a2b

19、2,,即证a2+b2+2ab≥4a2b2,,因为a2+b2=M,所以只要证2+2ab≥4a2b2,,即证2(ab)2-ab-1≤0,即证(2ab+1)(ab-1)≤0,,因为2ab+1>0,所以只需证ab≤1,下证ab≤1,,第四十八页，共52页。,因为2=a2+b2≥2ab,所以(suǒyǐ)ab≤1成立,,所以(suǒyǐ)a+b≥2ab.,第四十九页，共52页。,【加固训练】,(2016·全国卷Ⅱ)已知函数(hánshù)f(x)= ,M为不等式f(x)<2的解集.,(1)求M.,(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.,第五十页，共52页。,【解析(jiě xī)】(1)当x<- 时,f(x)= -x-x- =-2x<2,解得,-1 时,f(x)=2x<2,解得 0,,即a,2,b,2,+1>a,2,+b,2,,则a,2,b,2,+2ab+1>a,2,+2ab+b,2,,,则(ab+1),2,>(a+b),2,,即|a+b|<|ab+1|.,第五十二页，共52页。,