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1、抓主干,,双基知,,能优化,菜 单,悟真题,,透析解,,题策略,研考向,,要点知,,识探究,隐 藏,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,提素能,,高效题,,组训练,2014,·,,新课标高考总复习,·,,数学（,B,·,,理）,第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件,,一、命题的概念,,在数学中用语言、符号或式子表达的，可以,,的陈述句叫做命题．其中,,的语句叫做真命题，,,的语句叫做假命题．,判断真假,判断为真,判断为假,二、四种命题及其关系,,1,．,四种命题间的相互关系,,,,,,,,2,．,四种命题的关系,,(1),互为逆否的两个命题等价,(,同真或
2、同假,),，因此，要证明原命题也可以只证明它的逆否命题；,,(2),互逆或互否的两个命题不等价．,三、充分条件与必要条件,,1,．如果,p,⇒,q,，则,p,是,q,的,,，,q,是,p,的,,．,,2,．如果,p,⇒,q,，,q,⇒,p,，则,p,是,q,的,,．,,[,疑难关注,],,1,．,充分条件与必要条件的两个特征,,(1),对称性：若,p,是,q,的充分条件，则,q,是,p,的必要条件．即,“,p,⇒,q,”,⇔,“,q,⇐,p,”,；,,(2),传递性：若,p,是,q,的充分,(,必要,),条件，,q,是,r,的充分,(,必要,),条件，则,p,是,r,的充分,(,必要,),条件
3、．,,2,．由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．,充分条件,必要条件,充要条件,,,1,．,(,课本习题改编,),命题若,“,m,2,＋,n,2,＝,0,，,m,，,n,∈,R,，则,m,＝,n,＝,0,”,的逆否命题是,(,,),,A,．若,m,≠,n,≠,0,，,m,，,n,∈,R,，则,m,2,＋,n,2,＝,0,,B,．若,m,＝,n,≠,0,，,m,，,n,∈,R,，则,m,2,＋,n,2,≠,0,,C,．若,m,≠,0,且,n,≠,0,，,m,，,n,∈,R,，则,m,2,＋,n,2,≠,0,,D,．若,m,≠
4、,0,或,n,≠,0,，,m,，,n,∈,R,，则,m,2,＋,n,2,≠,0,,解析：,由逆否命题的含义知交换原命题的条件与结论，并分别否定条件与结论即可，故选,D.,,答案：,D,,2,．,(2013,年宁波模拟,),已知复数,z,＝,a,＋,b,i(,a,，,b,∈,R,，,i,是虚数单位,),，则,“,a,＝,0,”,是,“,复数,z,＝,a,＋,b,i,为纯虚数,”,的,(,,),,A,．充分不必要条件,,B,．必要不充分条件,,C,．充要条件,,D,．既不充分也不必要条件,,解析：,当,a,＝,0,时，,z,＝,a,＋,b,i,＝,b,i,可能不是纯虚数，如,b,＝,0,时；反过来
5、，当,z,＝,a,＋,b,i,是纯虚数时，必有,a,＝,0.,因此，,“,a,＝,0,”,是,“,z,＝,a,＋,b,i,是纯虚数,”,的必要不充分条件，选,B.,,答案：,B,3,．,(,课本习题改编,),|,x,|>2,是,x,>3,的,(,,),,A,．充分不必要条件,,B,．必要不充分条件,,C,．充分必要条件,,D,．既不充分也不必要条件,,解析：,|,x,|>2,⇔,x,>2,或,x,<,－,2,，故,x,>3,⇒,|,x,|>2,，反之不一定成立，故选,B.,,答案：,B,,4,．,(2013,年北京东城质检,),“,x,<2”,是,“,x,2,－,x,－,2<0,”,的,___
6、_____,条件．,,解析：,∵,x,2,－,x,－,2<0,，即－,1<,x,<2,，,∴,“,x,<2,”,是,“,x,2,－,x,－,2<0,”,的必要不充分条件．,,答案：,必要不充分,,5,．,(2013,年厦门模拟,),有下列四个命题：,,①“,若,xy,＝,1,，则,x,，,y,互为倒数,”,的逆命题；,,②“,相似三角形的周长相等,”,的否命题；,,③“,若,b,≤,－,1,，则方程,x,2,－,2,bx,＋,b,2,＋,b,＝,0,有实根,”,的逆命题；,,④“,若,A,∪,B,＝,B,，则,A,⊇,B,”,的逆否命题．,,其中真命题有,________,．,(,写出所有真命
7、题的序号,),,解析：,①,正确，,②③④,错误．,,答案：,①,[,答案,],,C,,,1,．,(2013,年济南模拟,),在命题,p,的四种形式,(,原命题、逆命题、否命题、逆否命题,),中，正确命题的个数记为,f,(,p,),，已知命题,p,：,“,若两条直线,l,1,：,a,1,x,＋,b,1,y,＋,c,1,＝,0,，,l,2,：,a,2,x,＋,b,2,y,＋,c,2,＝,0,平行，则,a,1,b,2,－,a,2,b,1,＝,0,”,．,那么,f,(,p,),＝,(,,),,A,．,1,,B,．,2,,C,．,3 D,．,4,,解析：,若两条直线,l,1,：,a,1,x,＋
8、,b,1,y,＋,c,1,＝,0,与,l,2,：,a,2,x,＋,b,2,y,＋,c,2,＝,0,平行，则必有,a,1,b,2,－,a,2,b,1,＝,0,，但当,a,1,b,2,－,a,2,b,1,＝,0,时，直线,l,1,与,l,2,不一定平行，还有可能重合，因此命题,p,是真命题，但其逆命题是假命题，从而其否命题为假命题，逆否命题为真命题，所以在命题,p,的四种形式,(,原命题、逆命题、否命题、逆否命题,),中，有,2,个正确命题，即,f,(,p,),＝,2.,,答案：,B,考向二 充分条件和必要条件的判定,,[,例,2],,(2012,年高考浙江卷,),设,a,∈,R,，则,“,a,＝
9、,1,”,是,“,直线,l,1,：,ax,＋,2,y,－,1,＝,0,与直线,l,2,：,x,＋,(,a,＋,1),y,＋,4,＝,0,平行,”,的,(,,),,A,．充分不必要条件,,B,．必要不充分条件,,C,．充分必要条件,,D,．既不充分也不必要条件,,[,解析,],,先求出两条直线平行的充要条件，再判断．,,若直线,l,1,与,l,2,平行，则,a,(,a,＋,1),－,2,×,1,＝,0,，即,a,＝－,2,或,a,＝,1,，所以,a,＝,1,是直线,l,1,与直线,l,2,平行的充分不必要条件．,,[,答案,],,A,,2,．,(2013,年北京西城模拟,),已知,a,，,b,∈
10、,R,，下列四个条件中，使,a,>,b,成立的必要而不充分的条件是,(,,),,A,．,a,>,b,－,1 B,．,a,>,b,＋,1,,C,．,|,a,|>|,b,| D,．,2,a,>2,b,,解析：,由,a,>,b,⇒,a,>,b,－,1,，但由,a,>,b,－,1,不能得出,a,>,b,，,∴,a,>,b,－,1,是,a,>,b,成立的必要而不充分条件；由,a,>,b,＋,1,⇒,a,>,b,，但由,a,>,b,不能得出,a,>,b,＋,1,，,∴,a,>,b,＋,1,是,a,>,b,成立的充分而不必要条件；易知,a,>,b,是,|,a,|>|,b,|,的既不充分也不必要条件
11、；,a,>,b,是,2,a,>2,b,成立的充分必要条件．故选,A.,,答案：,A,3,．在整数集,Z,中，被,5,除所得余数为,k,的所有整数组成一个,“,类,”,，记为,[,k,],，即,[,k,],＝,{5,n,＋,k,|,n,∈,Z,},，,k,＝,0,1,2,3,4.,给出如下四个结论：,,①,2 012,∈,[2],；,②,－,3,∈,[3],；,③,Z,＝,[0],∪,[1],∪,[2],∪,[3],∪,[4],；,④,整数,a,，,b,属于同一,“,类,”,的充要条件是,“,a,－,b,∈,[0],”,．,其中正确结论的个数是,(,,),,A,．,1 B,．,2,,C,．
12、,3 D,．,4,,解析：,①,2 012,＝,2 010,＋,2,＝,402,×,5,＋,2,∈,[2],，正确；由－,3,＝－,5,＋,2,∈,[2],可知,②,不正确；根据题意信息可知,③,正确；若整数,a,，,b,属于同一,“,类,”,，不妨设,a,，,b,∈,[,k,],＝,{5,n,＋,k,|,n,∈,Z,},，则,a,＝,5,n,＋,k,，,b,＝,5,m,＋,k,，,n,，,m,为整数，,a,－,b,＝,5(,n,－,m,),＋,0,∈,[0],正确．故,①③④,正确，故选,C,项．,,答案：,C,[,答案,],,D,,,,,本例条件若变为,“,x,≥,a,”,是,“,2
13、,x,2,－,5,x,－,3,≥,0,成立,”,的一个充分不必要条件．求实数,a,的取值范围．,,,【,思路导析,】,,分别化简,p,，,q,两命题后，利用,綈,p,是,綈,q,的必要不充分条件的等价性．转化为,p,是,q,的充分不必要条件，利用集合的关系得出条件求解．,【,答案,】,,A,,,,,【,思维升华,】,,利用命题的等价性将问题转化是求解问题的一种常见思想，本例中将,“,綈,p,是,綈,q,的必要不充分,”,先转化为,“,p,是,q,的充分不必要条件,”,，再转化为命题,p,、,q,相应的集合间关系后，可得所求参数的不等关系．这是处理已知充要性求参数范围问题时常用的思想与方法．,,
14、,,,A,．充分不必要条件,,B,．必要不充分条件,,C,．充分必要条件,,D,．既不充分也不必要条件,答案：,B,,,,2,．,(2012,年高考重庆卷,),命题,“,若,p,则,q,”,的逆命题是,(,,),,A,．,若,q,则,p,,,B,．若,綈,p,则,綈,q,,C,．若,綈,q,则,綈,p,,,D,．若,p,则,綈,q,,解析：,利用原命题与逆命题间的关系进行转化．,,命题,“,若,p,则,q,”,的逆命题是,“,若,q,则,p,”,．,,答案：,A,3,．,(2012,年高考浙江卷,),设,a,>0,，,b,>0(,,),,A,．如果,2,a,＋,2,a,＝,2,b,＋,3,b,
15、，则,a,>,b,,B,．如果,2,a,＋,2,a,＝,2,b,＋,3,b,，则,a,<,b,,C,．如果,2,a,－,2,a,＝,2,b,－,3,b,，则,a,>,b,,D,．如果,2,a,－,2,a,＝,2,b,－,3,b,，则,a,<,b,,解析：,利用原命题与逆否命题的真假性相同求解．,,当,0<,a,≤,b,时，显然,2,a,≤,2,b,,2,a,≤,2,b,<3,b,，,∴,2,a,＋,2,a,<2,b,＋,3,b,，即,2,a,＋,2,a,≠,2,b,＋,3,b,成立．,∴,它的逆否命题：若,2,a,＋,2,a,＝,2,b,＋,3,b,，则,a,>,b,成立．故,A,正确，,B,错误．当,0<,a,≤,b,时，由,2,a,≤,2,b,,2,a,<3,b,，知,2,a,－,2,a,与,2,b,－,3,b,的大小关系不确定，,∴,C,不正确，同理,D,不正确．,,答案：,A,本小节结束,,请按,ESC,键返回,
2014·新课标高考总复习·数学1-2命题及其关系、充分条
