Matlab微积分问题计算机求解实验教学课件

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1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,Matlab微积分问题计算机求解实验,Matlab微积分问题计算机求解实验Matlab微积分问题计算机求解实验微积分实验,Matlab微积分问题计算机求解实验Matlab微积分问题计,1,微积分实验,符号表达式基础操作,1,符号微积分,2,数值积分,3,卫星轨道的长度,4,国土面积的计算,5,微积分实验

2、 符号表达式基础操作1符号微积分2数值积分3卫星轨,2,sym 函数用来建立单个符号变量，一般调用格式为：,符号对象的建立：sym 和 syms,符号对象的建立,例：,a=sym(a),符号变量,=,sym,(A,),参数,A,可以是一个数或数值矩阵，也可以是字符串,a,是符号变量,b,是符号常量,b=sym(1/3),c,是符号矩阵,c=sym(1 ab;c d),sym 函数用来建立单个符号变量，一般调用格式为：符号对,3,符号对象的建立：sym 和 syms,符号对象的建立,syms 命令用来建立多个符号变量，一般调用格式为：,syms 符号变量1 符号变量2.符号变量n,例：,syms

3、 a b c,a=sym(a);,b=sym(b);,c=sym(c);,经常用,符号对象的建立：sym 和 syms符号对象的建立 sym,4,符号表达式的建立：,例：,建立符号表达式通常有以下2种方法：,(1)用 sym 函数直接建立符号表达式。(2)使用已经定义的符号变量组成符号表达式。,y=sym(sin(x)+cos(x),符号表达式的建立,符号表达式的建立：例：建立符号表达式通常有以下2种方法：,5,符号表达式的替换,subs(f,x,a),用 a 替换字符函数 f 中的字符变量 x a 是可以是 数/数值变量/表达式 或 字符变量/表达式,若 x 是一个由多个字符变量组成的数组或

4、矩阵，,则 a 应该具有与 x 相同的形状的数组或矩阵。,用给定的数据替换符号表达式中的指定的符号变量,符号表达式的替换subs(f,x,a)若 x 是一个由多个,6,subs 举例,f=sym(2*u);,subs(f,u,2),f2=subs(f,u,u+2),a=3;,subs(f2,u,a+2),subs(f2,u,a+2),syms x y,f3=subs(f,u,x+y),subs(f3,x,y,1,2),ans=4,f2=2*(u+2),ans=14,ans=2*(a+2)+2),f3=2*x+2*y,ans=6,例：指出下面各条语句的输出结果,f=2*u,下面的命令运行结果会是

5、什么？,subs(f3,x,y,x+y,x+y),subs 举例 f=sym(2*u);ans=4f2,7,计算函数值,练习：,计算函数值练习：,8,符号表达式的数值化,R=vpa(A)或 R=vpa(A,d),对符号表达式A求给定精度的值；d：输出数值的有效位数,Vpa的默认精度是23位。,对符号求值的命令为vpa，即Variable precision arithmetic,digits(25);,p=vpa(pi),w=vpa(1+sqrt(5)/2,4),符号表达式的数值化R=vpa(A)或 R=vpa(A,d),9,计算极限,limit(f,x,a),:,计算,limit(f,a),

6、:,当默认变量趋向于,a,时的极限,limit(f),:,计算,a,=0,时的极限,limit(f,x,a,right),:,计算右极限,limit(f,x,a,left),:,计算左极限,例：计算 ，,syms x h n;,L=limit(log(x+h)-log(x)/h,h,0),M=limit(1-x/n)n,n,inf),计算极限limit(f,x,a):计算例：计算,10,计算导数,g=diff(f,v)：求符号表达式 f 关于 v 的导数,g=diff(f)：求符号表达式 f 关于默认变量的导数,g=diff(f,v,n)：求 f 关于 v 的 n 阶导数,diff,syms

7、x;,f=sin(x)+3*x2;,g=diff(f,x),z=y2*sin(x2);,dxd2y=diff(diff(z,x,1),y,2),计算导数g=diff(f,v)：求符号表达式 f 关于 v,11,计算导数,练习：,计算导数练习：,12,计算积分,int(f,v,a,b):计算定积分,int(f,a,b):计算关于默认变量的定积分,int(f,v):计算不定积分,int(f):计算关于默认变量的不定积分,syms x;f=(x2+1)/(x2-2*x+2)2;,I=int(f,x),K=int(exp(-x2),x,0,inf),例：计算 和,计算积分int(f,v,a,b):计算

8、定积分 syms,13,计算积分,练习：,计算积分练习：,14,符号求和,syms n;f=1/n2;,S=symsum(f,n,1,inf),S100=symsum(f,n,1,100),symsum,(u,n,n0,nn),:,symsum,(f,a,b),:,关于默认变量求和,例：计算级数 及其前,100,项的部分和,例：计算函数级数,syms n x;f=x/n2;,S=symsum(f,n,1,inf),符号求和 syms n;f=1/n2;symsum(,15,Taylor级数展开,taylor(f):求f在默认自变量=0处的5阶Taylor级数展开式定积分,taylor(f,n,

9、x):求f在默认自变量x=0处的n-1阶Taylor级数展开式定积分,taylor(f,n,x,a):求f在默认自变量x=a处的n-1阶Taylor级数展开式定积分,syms x;,taylor(exp(x),x,7,-1),Taylor级数展开taylor(f):求f在默认自变量=,16,上机作业,1.,2.,3.,4.,5.,上机作业1.,17,数值积分,函数quad()采用递推自适应Simpson法计算积分，精度较高，较常使用。,q=quad(fun,a,b),q=quad(fun,a,b,tol),功能：求一元函数fun的积分，积分上限和下限分别为a和b，绝对误差为tol，默认时取值1

10、0-6，函数fun是待求解的对象，可以是字符串、内联函数、函数文件名的函数句柄。,数值积分函数quad()采用递推自适应Simpson法计算积,18,Simpson Formula,Simpson Formula,19,数值积分,【例】求exp(-x2)在0,1上的积分。,1、f=inline(exp(-x.2);内联函数,q1=quad(f,0,1),数值积分【例】求exp(-x2)在0,1上的积分。1、f,20,数值积分,【例】求exp(-x2)在0,1上的积分。,2、编写被积函数表达式，函数名为quad1.m,function f=quad1(x),f=exp(-x.2);,q2=qua

11、d(quad1,0,1),数值积分【例】求exp(-x2)在0,1上的积分。2、编,21,数值积分,【例】求exp(-x2)在0,1上的积分。,3、编写被积函数表达式，函数名为f=(x).exp(-x.2);,q2=quad(f,0,1),数值积分【例】求exp(-x2)在0,1上的积分。3、编,22,数值积分,(2)梯形法（被积函数由一个表格定义）,trapz函数采用梯形法求取数值积分，适用于由表格形式定义的函数关系的求定积分问题，求值速度快，但精度差。,q=trapz(Y),q=trapz(X,Y),其中向量X,Y定义函数关系Y=f(X)。,【例】求exp(-x2)在0,1上的积分。,X=

12、0:0.01:1;,Y=exp(-X.2);,q=trapz(X,Y),数值积分(2)梯形法（被积函数由一个表格定义）X=0:0.0,23,Matlab微积分问题计算机求解实验课件,24,上机作业,取一定数量的点，利用梯形数值积分公式近似计算圆周率pi,上机作业取一定数量的点，利用梯形数值积分公式近似计算圆周率p,25,数值积分,(3)二重积分的数值求解,dblquad函数就可以直接求出上述二重定积分的数值解。该函数的调用格式为：,I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace),功能：该函数求f(x,y)在a,bc,d区域上的二重定积分。参数tol，trace的用法与函数quad

13、完全相同。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。,数值积分(3)二重积分的数值求解,26,数值积分,【例】计算二重定积分,(1)建立一个函数文件fxy.m：,function f=fxy(x,y),f=exp(-x.2/2).*sin(x.2+y);,(2)调用dblquad函数求解。,I=dblquad(fxy,-2,2,-1,1),f=inline(exp(-x.2/2).*sin(x.2+y),I=dblquad(f,-2,2,-1,1),数值积分【例】计算二重定积分(1)建立一个函数文件fxy,27,Fourier级数,定理 设周

14、期为 的周期函数 f(x)满足收敛定理条件，则它的Fourier级数展开式为：,其中系数 为：,Fourier级数定理 设周期为 的周,28,Fourier级数的Matlab程序,A,B,F=fseries(f,x,n,a,b),其中f为待展开的函数，,x为自变量，,n为展开项数，,a,b为展开区间，省略为-pi,pi，,A,B为记录Fourier级数的系数向量,F为返回的Fourier级数的展开式,29,Fourier级数的Matlab程序,具体程序：,functionA,B,F=fseries(f,x,n,a,b),if nargin=3,a=-pi;,b=pi;,end%若输入为3个参数

15、，表示函数f(x)在-pi,pi内进行展开,L=(b-a)/2;,Fourier级数的Matlab程序具体程序：,30,Fourier级数的Matlab程序,if a+b,subs(f,x,x+L+a);,end,A=int(f,x,-L,L);%f(x)在-pi,pi内展开,B=;,for i=1:n,an=int(f*cos(i*pi*x/L),x,-L,L)/L;,bn=int(f*sin(i*pi*x/L),x,-L,L)/L;,end,Fourier级数的Matlab程序 if a+b,31,Fourier级数的Matlab程序,A=A,an;%记录所有cos前面的系数,B=B,bn

16、;%记录所有sin前面的系数,F=F+an*cos(i*pi*x/L)+bn*sin(i*pi*x/L);,%记录得到的Fourier展开式,Fourier级数的Matlab程序 A=A,a,32,Fourier级数的Matlab程序,例：考虑方波函数f(x)=abs(x)/x,定义域 为-pi,pi,并且x 不等于0。,将f(x)进行Fourier展开，具体 命令如下：,syms x;,f=abs(x)/x;%给出待展开的函数,xx=-pi:pi/200:pi;,xx=xx(xx=0);,xx=sort(xx,-eps,eps);,Fourier级数的Matlab程序例：考虑方波函数f(x),33,Fourier级数的Matlab程序,yy=subs(f,x,xx);%计算f(x)的值,for i=1:20,A,B,F=fseries(f,x,n);,y=subs(F,x,xx);,subplot(4,5,n);,plot(xx,yy);%画出f(x)的图像,hold on,plot(xx,y);%画出Fourier级数的图像,end,Fourier级数的Matlab程序 yy=su