数学分析刘玉琏16-1

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1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,西南财经大学,省级精品课程,经济管理数学分析课题组版权所有,请勿外传,1,第十六章 多元函数的极限与连续,2,二元函数的极限,3,二元函数的连续性,1,平面点集与多元函数,经济管理数学分析,2,1,平面点集与多元函数,第十六章 多元函数的极限与连续,3,一 平面点集,1.,平面点集的基本概念,(P85),第十六章多元函数的极限与连续,1,平面点集与多元函数,4,2.,点与点集的关系,(按内外关系),：,第十六章多元函数的极限与连续1 平面点集与多元函数,5,x+y,=0,x,y,O,如图,D,1,例如，,平

2、面点集,D,1,=(,x,y,)|,x+y,0：,易见，直线上方每一点,都是,D,1,的内点.,但直线上的,点不是,D,1,的内点.,第十六章多元函数的极限与连续1 平面点集与多元函数,6,x,y,O,x,2,+,y,2,=1,1,1,D,2,易知，圆内部的每一点都是,D,2,的内点.但圆周上的点不是,D,2,的内点.,又如，,平面点集,D,2,=(,x,y,)|,x,2,+,y,2,1,，,如图：,第十六章多元函数的极限与连续1 平面点集与多元函数,7,其中,CE,=R,2,E,是,E,关于全平面的,余集,，,E,的全体界点所成集合称为,E,的,边界,，,记作,E,.,例如，,平面点集,D,

3、1,=(,x,y,)|,x+y,0,的边界是直线,x,+,y,=0,上,点的全体.平面点集,D,2,=(,x,y,)|,x,2,+,y,2,1,的边界是单位圆周,x,2,+,y,2,=1,上的点的全体.如图所示：,第十六章多元函数的极限与连续1 平面点集与多元函数,8,x,y,O,1,1,x,2,+,y,2,=1,D,2,x+y,=0,x,y,O,E,的界点可以是,E,中的点，也可以不是,E,中的点.,D,1,例如，,平面点集,D,1,=(,x,y,)|,x+y,0,的边界是直线,x,+,y,=0,上点的全体.平面点集,D,2,=(,x,y,)|,x,2,+,y,2,1,的边界是单位圆周,x,

4、2,+,y,2,=1,上的点的全体.如图所示：,第十六章多元函数的极限与连续1 平面点集与多元函数,9,从几何上看，所谓,A,是,E,的聚点是指在,A,的附近聚集了无限多个,E,中的点.即在,A,的任意近旁都有无限多个,E,中的点.,A,如图所示,3.,点与点集的关系,(按疏密关系),：,第十六章多元函数的极限与连续1 平面点集与多元函数,10,D,1,的界点是,D,1,的聚点，但它不属于,D,1,；,D,2,的界点是,D,2,的聚,点，但它属于,D,2,.,例如,平面点集,D,1,=(,x,y,)|,x+y,0和,D,2,=(,x,y,)|,x,2,+,y,2,1,如图所示：,x,y,O,1

5、,1,x,2,+,y,2,=1,D,2,x+y,=0,x,y,O,D,1,第十六章多元函数的极限与连续1 平面点集与多元函数,11,第十六章多元函数的极限与连续1 平面点集与多元函数,12,例如，,平面点集,D,1,=(,x,y,)|,x+y,0是开集,.平面点集,D,2,=,(,x,y,)|,x,2,+,y,2,1,不是开集.,x,y,O,E,一般地，,E,如右图所示：,若,E,不包含边界，则,E,为开集.,若,E,包含边界，则,E,不是开集.,4.,一些重要的平面点集,第十六章多元函数的极限与连续1 平面点集与多元函数,13,如图,X,Y,E,连通,Y,X,E,不连通,例如,平面点集,D,

6、2,=(,x,y,)|,x,2,+,y,2,1,是闭集.,第十六章多元函数的极限与连续1 平面点集与多元函数,14,从几何上看，闭区域是连成一片的，包括边界的平面点集.,从几何上看，所谓,E,是连通集，是指,E,是连成一片的，,E,中的,点都可用折线连接.,例如，,平面点集,D,1,=(,x,y,)|,x+y,0和,D,2,=(,x,y,)|,x,2,+,y,2,1,都是连通集.,例如，,平面点集,D,2,=(,x,y,)|,x,2,+,y,2,1,是闭区域.,第十六章多元函数的极限与连续1 平面点集与多元函数,15,例如，,平面点集,D,1,=(,x,y,)|,x+y,0,是无界集，它是无界

7、开区,域，而平面点集,D,2,=(,x,y,)|,x,2,+,y,2,1,是有界集，它是有界闭区域.,第十六章多元函数的极限与连续1 平面点集与多元函数,16,第十六章多元函数的极限与连续1 平面点集与多元函数,17,第十六章多元函数的极限与连续1 平面点集与多元函数,18,点集,D,定义域,，,值域,.,x,、,y,自变量,，,z,因变量,.,函数的两个要素:,定义域、对应法则.,第十六章多元函数的极限与连续1 平面点集与多元函数,19,与一元函数相类似，对于定义域约定：,定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.,解,所求定义域为,第十六章多元函数的极限与连续1 平面点集与多元函数,其

8、中,D,为有界半开半闭区域.,20,二元函数,z,=,f,(,x,y,),的,几何意义,如图所示,设函数,z,=,f,(,x,y,),的定义域为,D,，对于任意取定的,(,x,y,),D,，,对应的函数值为,z,=,f,(,x,y,),.,以,x,为横坐标、,y,为纵坐标、,z,为竖坐标在空间就确定一点,M,(,x,y,z,),，当,(,x,y,),取遍,D,上一切点时，得一个空间点集,(,x,y,z,)|,z,=,f,(,x,y,),(,x,y,),D,，,二元函数的图形,通常是一张曲面.,第十六章多元函数的极限与连续1 平面点集与多元函数,21,例如，1.,z,=,ax,+,by,+,c,

9、一张平面,，如图,O,x,y,z,球心在,(0，0，0)，,半径为,R,的上半球球面,S,，如图,R,O,x,y,z,S,第十六章多元函数的极限与连续1 平面点集与多元函数,22,顶点在原点，位于,xoy,面上方 的园锥面,S,O,x,y,z,S,O,y,z,x,S,双曲抛物面,(马鞍面),S,注 与例4(P91)的区别,第十六章多元函数的极限与连续1 平面点集与多元函数,23,第十六章多元函数的极限与连续1 平面点集与多元函数,24,习题：P921习题 1,2,6,8题,第十六章多元函数的极限与连续1 平面点集与多元函数,25,*齐次函数,二元,k,次齐次函数：,（,t,R,，,k,常数）,例如：,一次齐次函数,二次齐次函数,(,+,)次齐次函数,（Cobb-Douglas生产函数）,一般地，生产函数通常假定为齐次函数,当,k,=1,时，称规模报酬不变或固定规模报酬,（产出与生产规模成比例）；,当,k,1,时，称规模报酬递增；,当,k,1,时，称规模报酬递减.,第十六章多元函数的极限与连续1 平面点集与多元函数,26,