自考第1.1复数及其运算

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1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,作业,18,页习题,1,1.,2.(1),(3),(5),(6),4,2,第一章,复数与复变函数,一、复数的表示法,1.1,复数,二、复数的运算,3,一、,复数的表示法,虚数单位,方程,的根是,是两个实数,称为,复数,为,的,实部,为,的,虚部,的,共轭,复数,时,为,实数,时,为,纯,虚数,1.,复数的定义,4,例如,2.,复数的,几何,表示,任何一个,复数,对应平面上的一个,点,轴上的点,轴,称为,实,轴,轴上的点,轴,称为,虚,轴,整个平面,或,z,平面,O,任何一个,复数,一一对应一个向量,可以

2、用向量,来表示,向量的,长度,称为,z,的,模,或,绝对值,记为,时,以正实轴为始边,向量,为终边,的角的弧度数,称为,z,的,辐角,记为,任何一个非零,复数,有无穷多个,辐角,把满足,的,称为辐角的,主值,记为,为整数,对应一个,实,数,对应一个,纯虚,数,称为,复,平面,5,3.,辐角,主值,的算法,零,没有辐角,O,时,时,时,时,时,时,6,欧拉公式,为实数,为整数,7,4.,复数的三角指数表示,设,复数,O,模,辐角主值,称为复数,称为复数,例,1,设,求,解,的,三角,式,和,指数,式,的,三角,表示式,的,指数,表示式,8,求下列复数的三角式、指数式,9,5.,无穷远点与扩充复平

3、面,球面,S,与复平面切于原点,O,ON,为球面的直径,南极,北极,复平面,对于复平面内任何一点,z,直线段,Nz,必,相交于球面一点,P,对于球面上异于,N,的一点,P,，,直线,NP,必,相交于复平面一点,z,任何一个复数可以用,复平面内一个点表示,因此复平面内的点,z,一一对应球面上,也可以用球面上,若,则,我们规定,模为,的复数,对应着复平面的无穷远点,对应着球面上的点,N,用球面上的点,N,表示,复数,含有,无穷远点的平面,称为,扩充,复平面,不含有无穷远点的平面,称为有限复平面,简称为复平面,不同于,N,的点,P,不同于,N,的点,P,表示,10,二、复数的运算,设,(1),相等,

4、若两个复数的,实部,和,虚部,分别相等,则称这两个复数相等,且,且,(2),加法,(3),减法,11,(4),乘法,设,容易证明,例如,12,乘法的几何意义,设,任何两个复数,等于它们模,任何两个复数,等于它们辐角的,和,特别设,则,则,复数,z,得到复数,旋转,特别,乘积,的模,的,乘积,乘积,的辐角,13,课本第,5,页例,1.3,已知,正,三角形的两个顶点为,求其第三个顶点,解,或,第三个顶点为,或,14,(5),倒数,设,15,(6),除法,设,例,1,设,则,16,课本第,7,页例,1.6,设,求,的三角式指数式,解,三角式,指数式,17,除法的几何意义,设,任何两个复数,商,的模,

5、等于它们模的,商,任何两个复数,商,的辐角,等于它们辐角的,差,18,(7),乘方,设,为正整数,则,19,课本,7,页例,1.7,设,为实数,若,则,为实数,证明,由条件得,代入得,例如,课本第,6,页例,1.5,设,n,为自然数，,20,例,2,求,解,例,3,求,解,21,(8),开方,如果,设,则,称为,的,n,次,方根,则,其中,时,的,n,次方根,共有,n,个不同的值,22,例,4,求,解,23,例,5,求方程,的所有根,解,方程的所有根为,24,18,页,11,试证,三点共直线,证明,因此,由,顺时针,旋转,180,度,再乘以,得到,故,三点共直线,25,18,页,11(2),试证,四点共圆周,证明,其中四点在以,为中心、,为半径的圆周上,根据条件得到,在虚轴上取一点,则,的距离为,的距离为,若,的距离为,则,于是,与,的距离为,条件中四点在以,为中心、,为半径的圆周上,其中,26,补充例,1,如果,证明,证,上面两式相加得到,上面两式相减得到,27,补充例,2,若,试求,n,的值,解,同样,由条件得到,其中,k,为整数,