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1、*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 特征值与特征向量,习题一 矩阵的特征值和特征向量,一、填空题,1,数域 上的 阶矩阵 的特征值和数域,有关。,2,若 是 的属于特征值 的特征向量，则,则也是,的属于特征值,的特征向量。,3,若 是矩阵 的特征值，则 是,_,的根,4,阶矩阵 与,_,有相同的特征值,二、计算题,求下列矩阵在复数域上的特征值和特征向量,解：,解：,三、证明题,1,若,阶矩阵满足,，则,特征值可能是或,证明：设,2,若,阶矩阵,，存在自然数,，使得,，则,的特征值是,证明：,3,如果,可逆，,是,的特征值，则,
2、是,的特征值,.,证明：,4,证明：,证明,:,设,习题二 相似矩阵和矩阵可对角化,一、填空题,1,若,，则,，则,2,若,，则,3,若,4,可对角化当且仅当,与对角阵相似,5,阶矩阵,有,个互不相同的特征值是,可对角化的,充分条件。,6,判别矩阵,可对角化的方法是：判断 是否有 个,线性无关的特征向量,二、,1,证明：设 是,阶方阵，且至少有一个可逆，则,证明：若 可逆,若 可逆,2,证明：主对角线上的元素互不相同的上三角矩阵,必可对角化,证明：,有,个互不相同的特征值，可对角化,三、判别下列矩阵是否可对角化,复数域可对角化,实数域不可对角化,四、已知,，求,解：,习题三 实对称矩阵的对角化
3、,一、求正交矩阵 ，使 为对角矩阵,解：,单位化,解：,二、证明题,1,设 是 阶实对称矩阵，且 ，证明：,存在正交矩阵，使,证明：设,2,证明：反对称实矩阵的特征值是零或纯虚数,证明：,为 的任意特征值，,为 的属于 的特征向量,(1),两边转置,取共轭,(2),(2),右乘,(1),左乘,(3)+(4),3,是两个实对称矩阵，证明：存在正交矩阵,Q,，使,的充分必要条件是 具有相同的特征值,证明：必要性：,因为存在正交矩阵,Q,，使,所以,相似矩阵具有相同的特征值,具有相同的特征值,充分性：,具有相同的特征值,设,实对称矩阵,存在正交矩阵 ，,实对称矩阵,存在正交矩阵 ，,令,正交,自测题
4、,一、填空题,1,若 为 阶矩阵，有非零解则 必有一特征值为,0,提示：,2,若 是 特征值，则 （为正整数）有特征值为,3,若 为 的特征向量，则 的特征向量为,_,提示：,4,若 阶矩阵 有 个属于特征值 的线性无关的特征向量，,则,提示：,5,已知三阶矩阵 的三个特征值为,1,，,2,，,3,，则,的特征值为,提示：,6,阶零矩阵的全部特征向量是,全体非零列向量,7,若 ，则,_,提示：,8,若 阶矩阵 与 相似，且 ，则,提示：,9,已知,且,，则,提示：,10,三阶矩阵 的三个互异特征值为 ，它们对应,的特征列向量分别为,则矩阵,的秩为,3,二、选择题,1,设 是非奇异矩阵 的特征值
5、，则矩阵,有一特征值等于,（,A,）；,(B),；,(C),；,(D).,2,若 阶矩阵 的任意行中的 个元素的和都是,，则,的一个特征值为（）,（,A,）,；,(B),；,(C),；,(D).,提示：,3,设 是 阶矩阵，是 的特征值，是 的分别,对应于 的特征向量，则（）,（,A,）当 时，一定成比例；,（,B,）当 时，一定不成比例；,（,C,）当 时，一定成比例；,（,D,）,当 时，一定不成比例；,4,设 阶矩阵 与 相似，则（）,.,（,A,）,(B),(C),（,D),与 都相似一个对角矩阵,.,5,阶矩阵 具有 个特征值是 与对角矩阵相似的,（,A,）充分必要条件；,(B),充
6、分而非必要条件 ；,(C),必要而非充分条件；,(D),既非充分也非必要条件,.,6,矩阵,与下列哪个矩阵相似（）,(C),7,阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是,（,A,）有 个不全相同的特征值 ；,(B),方阵 有 个不相同的特征值；,(C),方阵 一定是对角矩阵；,(D),方阵 有 个线性无关的特征向量,.,(B),有 个不全相同的特征值；,(C),有 个不相同的特征值 ；,(D),有 个线性无关的特征向量,.,8,若 阶方阵 与某个对角矩阵相似，则（）,.,（,A,）方阵 的秩等于 ；,9,实 阶矩阵 为满秩矩阵，则（）,.,（,A,）必有 个互不相同的特征值；,(B),必有 个线性
7、无关的特征向量；,(C),必相似于一个满秩的对角矩阵；,(D),的特征值必不为零,.,当 时,10,设 是 阶矩阵，是 的特征值，是 的分别,对应于 的特征向量，对于不全为零的常数,有,（,A,）当 时，必为 的特征向量；,（,B,）当 时，是 相应于 唯一的,两个线性无关的特征相量；,（,C,）,当 时，若 是非零向量，则它必为 的,特征向量；,（,D,）当 时，必为 相应于 的两个,线性无关的特征相量,.,三、计算题,1,设,（,1,）试求矩阵 的特征值；,（）利用（,1,）的结果，求 的特征值,解：,（,1,）,（）,2,设实对称矩阵,求正交矩阵 使 为,对角矩阵,解：,3,设 为 阶实
8、矩阵，满足 ，试求 的,伴随矩阵 的一个特征值,证明：,设,A,的一个特征值,即证,方程有非零解,即证,的一个特征值,4,已知三阶矩阵 的特征值为 矩阵,（,1,）矩阵 的特征值和与 相似的对角矩阵；,(2),行列式 和,解：,试求,（,1,）,的特征值,(2),5,设,，求（,1,）的所有特征值与特征向量；,（,2,）判别 能否对角化，若能对角化，则求出可逆矩阵 ，使 为对角矩阵；,（,3,）计算 ,解：,可对角化,四、证明题,1,若 阶矩阵 满足 ，则 的特征值仅能是,1,或 ,证明：,2,设 满足 证明：的特征值只能是,1,或,2,证明：,3,设 ，在 上可对角化，,证明：在 上可对角化,阶方阵,多项式,证明：,在 上可对角化，,对角阵的和仍为对角阵,在 上可对角化,
线性代数练习册答案5
