对弧长曲线积分解析

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1、单击此处编辑母版标题样式,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,二、对弧长的曲线积分的计算,11.1 对弧长的曲线积分,上页,下页,铃,完毕,返回,首页,把曲线弧,L,分成,n,个小段,s,1,s,2,s,n,(,s,i,也表示弧长,),一、对弧长的曲线积分的概念与性质,曲线形构件的质量,下页,设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上 曲线形构件在点(x y)处的线密度为(x y),任取,(,i,i,),s,i,得第,i,小段质量的近似值,(,i,i,),s,i,令,max,s,1,s,2,s,n,0,则整个曲线形构件的质量为,整个曲线形构件的质量近似为

2、,下页,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上 曲线形构件在点(x y)处的线密度为(x y),曲线形构件的质量,把曲线弧,L,分成,n,个小段,s,1,s,2,s,n,(,s,i,也表示弧长,),任取,(,i,i,),s,i,得第,i,小段质量的近似值,(,i,i,),s,i,将,L,任意分成,n,个小弧段,s,1,s,2,s,n,(,s,i,也表示第,i,个小弧段的长度),在每个小弧段,s,i,上任取一点(,i,i,),作和,对弧长的曲线积分,下页,设,L,为,xOy,面内的一条光滑曲线弧,函数,f,(,x,y,)在,L,上有界,如果当,max

3、,s,1,s,2,s,n,0时,这和的极限总存在,则称此极限为函数,f,(,x,y,)在曲线弧,L,上对弧长的曲线积分,记作,其中,f,(,x,y,)叫做被积函数,L,叫做积分弧段,光滑曲线,下页,对弧长的曲线积分,说明,当函数,f,(,x,y,),在光滑曲线弧,L,上连续时,函数,f,(,x,y,),在曲线弧,L,上对弧长的曲线积分是存在的,以后我们总假定,f,(,x,y,),在,L,上是连续的,对弧长的曲线积分也称为第一类曲线积分,曲线形构件的质量就是曲线积分 的值,类似地可以定义函数,f,(,x,y,z,),在空间曲线弧,上对弧长的曲线积分,下页,对弧长的曲线积分,假设L(或)是分段光滑

4、的 则规定函数在L(或)上的曲线积 分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和,例如 设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2 则规定,函数,f,(,x,y,),在闭曲线,L,上对弧长的曲线积分记作,说明,对弧长的曲线积分的性质,首页,性质,1,设,c,1,、,c,2,为常数,则,性质2 假设积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2 则,性质,4,设在,L,上,f,(,x,y,),g,(,x,y,),则,特殊地 有,(,l,曲线弧,的长度),性质,3,提示,二、对弧长的曲线积分的计算,下页,依据对弧长的曲线积分的定义 假设曲线形构件L的线密度为f(x y)则曲线形构件L的质量为,另一方面 假设曲线L是光

5、滑的 其参数方程为,x(t)y(t)(t),则曲线形构件L的质量为,曲线形构件,L,的质量元素为,二、对弧长的曲线积分的计算,依据对弧长的曲线积分的定义 假设曲线形构件L的线密度为f(x y)则曲线形构件L的质量为,下页,另一方面 假设曲线L是光滑的 其参数方程为,x(t)y(t)(t),则曲线形构件L的质量为,二、对弧长的曲线积分的计算,定理,下页,设,f,(,x,y,)在曲线弧,L,上有定义且连续,L,的参数方程为,x,(,t,),y,(,t,)(,t,),其中,(,t,)、,(,t,)在,上具有一阶连续导数,且,2,(,t,),2,(,t,),0,应留意的问题 1.定积分的下限肯定要小于

6、上限,下页,设曲线,L,的参数方程为,x,(,t,),y,(,t,)(,t,),则,争论,提示,(1),L,的参数方程为,x,x,y,(,x,)(,a,x,b,),下页,设曲线,L,的参数方程为,x,(,t,),y,(,t,)(,t,),则,争论,提示,(2),L,的参数方程为,x,(,y,),y,y,(,c,y,d,),下页,设曲线,L,的参数方程为,x,(,t,),y,(,t,)(,t,),则,争论,(3)假设曲线方程为极坐标形式,则,提示,下页,设曲线,L,的参数方程为,x,(,t,),y,(,t,)(,t,),则,争论,(4)若曲线,的参数方程为,x,(,t,),y,(,t,),z,(

7、,t,)(,t,),提示,下页,设曲线,L,的参数方程为,x,(,t,),y,(,t,)(,t,),则,B,(1,1)之间的一段弧,曲线,L,的参数方程为,x,x,y,x,2,(0,x,1),因此,解,例2,解:,例3.,计算,其中,L,为双纽线,解:,在极坐标系下,它在第一象限局部为,利用对称性,得,x,a,cos,t,、,y,a,sin,t,、,z,kt,上相应于,t,从0到达2,的一段弧,解,x,2,y,2,z,2,(,a,cos,t,),2,(,a,sin,t,),2,(,kt,),2,a,2,k,2,t,2,在曲线,上有,并且,下页,例,4,计算曲线积分,ds,z,y,x,),(,2

8、,2,2,+,+,G,其中,G,为螺旋线,完毕,x,a,cos,t,、,y,a,sin,t,、,z,kt,上相应于,t,从0到达2,的一段弧,解,在曲线,上有,并且,x,2,y,2,z,2,(,a,cos,t,),2,(,a,sin,t,),2,(,kt,),2,a,2,k,2,t,2,例,4,计算曲线积分,ds,z,y,x,),(,2,2,2,+,+,G,其中,G,为螺旋线,例5.,计算,其中,为球面,被平面 所截的圆周.,解:,由对称性可知,例6.设均匀螺旋形弹簧L的方程为,(1)求它关于,z,轴的转动惯量,(2)求它的质心.,解,:,设其密度为,(常数).,(2),L,的质量,而,(1),故重心坐标为,例7.,L为球面,面的交线,求其形心.,在第一卦限与三个坐标,解:如下图,交线长度为,由对称性,形心坐标为,机动 名目 上页 下页 返回 完毕,内容小结,1.定义,2.性质,(,l,曲线弧,的长度),3.计算,对光滑曲线弧,对光滑曲线弧,对光滑曲线弧,