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1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,1,表象,:,量子力学中的态和力学量的具体表示方式称为表象,4.1,态的表象,一个粒子的态完全可由归一化的波函数,(,r,t,),来描述，将,(,r,t,),称为,坐标表象,。下面将讨论用动量为,变量,描述波函数。,c,(,p,t,),为展开系数，,p,(,x,),是动量的本征函数,2,c,(,p,t,),和,(,r,t,),描述的是粒子态同一个状态，,(,r,t,),是这个状态在坐标表象中的波函数，而,c,(,p,t,),为同一状态在动量表象中的波函数。,表示在,所描写的态中测量粒子动量所,结果在 范围内
2、的几率,如果,(x,t),描述的状态是具有动量,p,的自由粒子的状态,3,在动量表象中，具有确定动量,p,的粒子波函数是,函数。,同样，在坐标表象中，具有确定坐标,x,的粒子波函数也是,函数。,4,解：首先对波函数进行归一化,例题：一维粒子运动的状态是,求：（,1,）,粒子动量的几率分布；,（,2,）粒子的平均动量,5,动量的几率分布为,6,动量的平均值为,另一种解法,7,考虑任意力学量,Q,本征值为,1,2,n,对应的本征函数,u,1,(x),u,2,(x),u,n,(x),则任意波函数,（,x,）按,Q,的本征函数,展开为,如果,（,x,）和,u,n,(x),都是归一化的，则,8,所以,在
3、,（,x,）所描写的量子态中测量,力学量,Q,所得的结果为,Q,n,的几率,数列,就是,（,x,）所描写的量子态中在,Q,表象中的表示,9,共轭转置矩阵,波函数的归一化表示成,10,如果力学量,Q,除了有分立的本征值，还有连续的本征值，则,其中,归一化可表示为,11,直角坐标系中，矢量,A,的方向由,i,j,k,三个单位矢量基矢决定，大小由,A,x,A,y,A,z,三个分量（基矢的系数）决定。,在量子力学中，选定一个,F,表象，将,Q,的本征函数,u,1,(x),u,2,(x),u,n,(x),看作一组基矢，有无限多个，大小由,a,1,(t),a,2,(t),a,n,(t),系数决定。,常用的
4、表象有坐标表象、动量表象、能量表象和角动量表象,所以，量子力学中态矢量所决定的空间是无限维的空间函数，基矢是正交归一的波函数。数学上称为希尔伯特（,Hilbert,）空间,.,12,例 质量为,m,的粒子在均匀力场,V,(,x,),Fx,(,F,0),中运动，,试在动量表象中粒子的波函数。,解,：,在动量表象中，坐标,x,的算符表示为,13,定态的薛定谔方程,动量表象中粒子的函数,变到坐标表象中，则波函数为,14,其中,（,Ariy,函数）,15,4.2,算符的矩阵表示,在,Q,表象中，,Q,的本征值分别为,Q,1,，,Q,2,，,Q,3,，,Q,n,对应的本征函数分别为,u,1,(x),u,
5、2,(x),u,n,(x),.,将,(x,t),和,(x,t),分别在,Q,表象中按,Q,的本征函数展开,16,两边同乘以,并在整个空间积分,利用本征函数,u,n,(x),的正交性,17,引进记号,这就是,在,Q,表项中的表述方式,表示成矩阵的形式：,得,18,矩阵,F,nm,的共轭矩阵表示为,因为量子力学中的算符都是厄米算符，,即,将满足该式的矩阵称为,厄密矩阵,19,若在转置矩阵中，每个矩阵元素用它的共轭复数来代替，得到的新矩阵称为,F,的共轭转置矩阵，简称为共扼矩阵,F,nm,的转置矩阵为,根据厄密矩阵的定义,所以,20,例 求一维无限深势阱中（宽度为,a,）粒子的坐标和动量在能量表象中
6、的矩阵元,解：在能量表象中,能量的本征值及本征函数为,21,22,Q,在自身表象中的矩阵元,Q,m,为,Q,在自身空间中的的本征值,结论：算符在自身的表象中是一个对角矩阵,23,如,x,在坐标空间中可表示为,动量,p,在动量空间中表示为,一维谐振子能量表象中能量的矩阵元,24,如果,Q,只具有连续分布的本征值,q,，那么算符,F,在,Q,表象中依然是一个矩阵：,这个矩阵的行列不再可数，而是用连续变化的下标来表示,在动量表象中，算符,F,的矩阵元为：,其中,p,(,x,),是动量的本征函数,25,4.3,量子力学公式的矩阵表述,1.,平均值公式,26,写成矩阵形式,简写为,27,2.,本征值方程
7、,在量子力学中最重要的问题是找算符的本征值和本征函数。,首先，算符,F,的本征函数满足,28,有非零解的条件是其系数行列式为零,这是一个线性齐次代数方程组,这是一个久期（,secular,）方程。将有,1,，,2,.,n,n,个解，就是,F,的本征值。,29,3.,矩阵形式的薛定谔方程,薛定谔方程,不显含时间的波函数的,能量表象,波函数根据哈密顿本征函数展开,代入薛定谔方程,30,两边同乘以,并积分,简写为,H,均为矩阵元。,31,例题：求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数,线性谐振子的总能量为,解法一：在动量表象中，,x,的算符表示为：,则,H,算符表示为,定态的薛定谔方程写为,32,c(p),是动量表象中的本征函数,仿照一维谐振子坐标空间的求解方法可解出,c(p),。,33,例：设已知在 和 的共同表象中，算符 的矩阵为：,求 的本征值和归一化的本征函数，最后将矩阵 对角化,解：设 的本征态为,其本征方程为：,34,即,分别有,35,欲求 的非零解，其系数行列式为零：,得,36,是 的本征值,把解得的,值代入本征方程，可以得到,a,1,，,a,2,，,a,3,值,本征态为,本征态为,37,本征态为,矩阵 对角化矩阵为,38,习题：第,130,页,1,、,2,、,3,、,4,
态和力学量的表象课件
