泰勒公式和泰勒级数

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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,*,三、幂级数的性质,1,加减法,设,f,(,x,)=,和,g,(,x,)=,,的收敛半径,分别各为,R,1,>0,和,R,2,>0,,,,则,=,f,(,x,),,g,(,x,).,的收敛半径,,R,, min{,R,1,,,R,2,},.,2,,设幂级数 的收敛半径,R,>0,,则在收敛区间,(,,R,,,R,),内,,,其,和函数,S,(,x,),是,连续,函数,.,若级数 在端点收敛,,,则,S,(,x,),在端点单侧连续,.,,

2、3,幂级数 的和函数,S,(,x,),在收敛区间,(,,R,,,R,),内可导,,,并可以,逐项求导,任意次,,,且求导后级数的收敛半径不变,.,即,,f,,(,x,),=,x,,(,R,,,R,),,4,幂级数 的和函数,S,(,x,),在收敛区间,(,,R,,,R,),内可积,,,并可,逐项求积分,,,且积分后级数的收敛半径不变,.,x,,(,R,,,R,),,即,n,=1,,(,a,n,x,n,),,,,注,,:,常用已知和函数的幂级数,(1),(,,1<,x,<1),(2),(3),(4),(5),,二、麦克劳林,(,Mac

3、laurin,),公式,三、,泰勒级数,一、泰勒公式的建立,§7.6,泰勒,(,Taylor,),公式与泰勒级数,4,,一次多项式,在微分的应用中有近似计算公式,:,若,f,,(,x,0,),存在,,,则在,x,0,点附近有,f,(,x,) =,f,(,x,0,) +,f,(,x,0,) (,x,,x,0,),f,(,x,),,,f,(,x,0,) +,f,(,x,0,) (,x,,x,0,),+,o,(,x,,x,0,),需要解决的问题,如何提高精度,?,如何估计误差,?,不足,:,1.,精确度不高,;,2.,误差不能定量的估计,.,希望,:,在,x,0,点附近,,,用适当的,

4、高次多项式,P,n,(,x,)=,a,0,+,a,1,(,x,,x,0,)+,a,2,(,x,,x,0,),2,+,···,+,a,n,(,x,,x,0,),n,,f,(,x,),,一、泰勒公式,,猜想,2,若有相同的切线,3,若弯曲方向相同,近似程度越来越好,,n,次多项式系数的确定,,1,若在,x,0,点相交,P,n,(,x,0,)=,f,(,x,0,),P,n,,(,x,0,)=,f,,(,x,0,),P,n,,(,x,0,)=,f,,,(,x,0,),,y,=,f,(,x,),假设,P,n,(,k,),(,x,0,)=,f,(,k,),(,x,0,),y,=

5、,P,n,,(,x,),x,o,y,x,0,,即有,P,n,(,x,),=,a,0,+,a,1,(,x,,x,0,)+,a,2,(,x,,x,0,),2,+,···,+,a,n,(,x,,x,0,),n,假设,P,n,(,k,),(,x,0,)=,f,(,k,),(,x,0,),P,n,,(,n,),(,x,),=,n,!,a,n,P,n,,,(,x,),=,a,1,+2,a,2,(,x,,x,0,)+3,a,3,(,x,,x,0,),2,+,···,+,na,n,(,x,,x,0,),n,,1,P,n,,(,x,),=2,a,2,+32,a,2,(,x,,x,0,)+,

6、···,+,n,(,n,1,),a,n,(,x,,x,0,),n,2,,a,0,=,,f,(,x,0,),,2,a,2,=,f,,(,x,0,),,n,!,a,n,=,f,(,n,),(,x,0,),,,k,=0, 1, 2,,3,,···,,n,令,x,,=,x,0,得,a,1,=,f,,(,x,0,),,,a,0,=,,f,(,x,0,),,a,1,=,f,,(,x,0,),,,k,=0, 1, 2,,3,,···,,n,代入,P,n,(,x,),中得,P,n,(,x,),=,f,(,x,0,),+,f,(,x,0,),(,x,,x,

7、0,)+,(,x,,x,0,),2,+,···,+ (,x,,x,0,),n,P,n,(,x,),=,a,0,+,a,1,(,x,,x,0,)+,a,2,(,x,,x,0,),2,+,···,+,a,n,(,x,,x,0,),n,称为函数,f,(,x,),在,x,0,处的,泰勒多项式,.,k,=0, 1, 2,,3,,···,,n,称为泰勒系数,f,(,x,) =,P,n,(,x,) +,o,(,x,,x,0,),n,.,,其中,定理,1 (,泰勒中值定理,),,若函数,f,(,x,),在,x,0,点的某邻域,U,R,(,x,0,),内具有直到,n,+1

8、,阶连续导数,,,则当,x,取,U,R,(,x,0,),内任何值,时,,,f,(,x,),可按,(,x,,x,0,),的方幂展开为,f,(,x,),=,f,(,x,0,)+,f,(,x,0,)(,x,,x,0,)+,(,,,在,x,0,与,x,之间,),+,R,n,(,x,),公式,(1),称为函数,f,(,x,),在,x,0,处的,泰勒公式,.,(1),,R,n,(,x,),称为,拉格朗日,(,Lagrange,),余项,.,泰勒系数,k,=0, 1, 2,,,···,,n,是唯一的,.,,设,f,(,x,),=,f,(,x,0,)+,f,(,x,0,)(,x,,x,0,)+,k

9、,,证,由于,f,(,x,),在,U,R,(,x,0,),内具有,n,+1,阶连续导数,,,作辅助函数,,(,t,),=,f,(,x,)[,f,(,t,)+,f,,(,t,)(,x,,t,)+,,(,x,),=0,=,(,x,0,),,不妨设,x,0,<,x,,,则,,(,t,),在,[,x,0,,,x,],连续,,,在,(,x,0,,,x,),可导,,,罗尔定理知,,,至少存在一点,,,(,x,0,,,x,),,使,,(,,)=0,,,因,,(,t,),=,,f,,(,t,),,(,t,),=,f,(,x,),f,(,t,),f,,(,t,)(,x,

10、,t,),,,[,f,,(,t,)(,x,,t,),,f,(,t,)],,,所以,,,(,x,0,,,x,),,故,解得,k,=,f,(,n,+1),(,,),,,x,0,>,x,时同理可证,,,,其中,f,(,x,),=,f,(0)+,f,(0),x,+,1,,当,x,0,=0,时,,,(,,,在,0,与,x,之间,),或令,,,=,,x,, 0<,,<1,,则,+,R,n,(,x,),.,称为函数,f,(,x,),的,麦克劳林,(,Maclaurin,),公式,.,2,,,f,(,x,) ,f,(,x,0,)+,f,(,x,0,)(,x,,x

11、,0,)+,其误差为,:,,R,n,(,x,),,解,例,1*,,求,f,(,x,),=,e,x,在,x,=0,的,n,阶,泰勒公式,.,因为,f,(,n,),(,x,),=,e,x,,,n,=1, 2, 3,,,所以,f,(,n,),(,0,),=,e,0,=1,,n,=1, 2, 3,,,于是,,f,(,x,),=,e,x,在,x,=0,的,n,阶,泰勒公式为,:,其中,0<,,<1.,,定义,如果函数,f,(,x,),在,x,0,的某邻域内是存在,任意阶导数,,,则幂级数,称为函数,f,(,x,),在,x,0,处的,泰勒级数,.,=,f,(,x,0,) +,f,(,x,0

12、,)(,x,,x,0,),二、泰勒级数,称为函数,f,(,x,),的,麦克劳林级数,.,问题,:,泰勒级数在收敛区间是否收敛于,f,(,x,)?,不一定,.,,解,例,2*,,求,f,(,x,),=,sin,x,,在,x,=0,的,泰勒级数,.,当,n,=2,k,时,,,,f,(2,k,),(0),=,sin(,k,,,)=0,,k,=0,1,2,,,,当,n,=2,k,+1,时,,,,f,(2,k,+1),(0),=sin (,k,,+,,),=,,(1),k,,,得,因,=0,,于是,R,=+,,定理,2,,f,(,x,),在,x,0,点的,泰勒级数,在,U,R,,(,x,

13、0,),内收敛于,f,(,x,),,,,,在,U,R,,(,x,0,),内,,,R,n,(,x,),0.,,=0,,所以,sin,x,,=,,0,,,其中,收敛区间为,:,(,, +,).,,x,,(,, +,).,即,,麦克劳林多项式逼近,sin,x,y,=,sin,x,y,=,x,,§7.7,初等函数的幂,级数展开式,一、直接法,(,泰勒级数法,),,二、间接法,,三、常见函数的幂级数展开式,,步骤,:,(1),求,f,(,n,),(,x,),,n,=0,1,2,,,,(4),讨论,?,并求出其收敛区间,.,(3),写出幂级数,利用,泰勒公式,或,麦克劳林公式,将

14、,f,(,x,),展开为幂级数,若,为,0,,,则幂级数在此,收敛,区间内等,于,函数,,f,(,x,),;,若,不为,0,,,则幂级数虽然,收敛,,,但它的,和不是,f,(,x,).,一、直接法,(,泰勒级数法,),(2),计算,a,n,=,,f,(,n,),(,x,0,),,,n,=0,1,2,,,,,解,例,1,,将,f,(,x,),=,e,x,在展开成,x,的幂级数,.,因,f,(,n,),(,x,),=,e,x,,,n,=1, 2, 3,,,,,f,(,n,),(,0,),=,e,0,=1,,于是,,f,(,x,),=,e,x,在,x,=0,的,麦克劳林级数,为,:,其中

15、,0<,,<1,=,0,,所以,,e,x,=1+,x,+,,<,x,<+.,收敛,区间为,:,(,, +,),,二项展开式,+,+,nx,n,1,+,x,n,(1+,x,),n,=,1+,nx,+,(1+,x,),,=,1+,x,+,?,,解,例,2,,将,f,(,x,),=(1+,x,,),,展开成,x,的幂级数,.,n,=0,1,2,,,,,f,(,n,),(0),=,,(,,1)(,,2)(,,,n,+1),=1,,得,[(1+,x,),,],(,n,),,=,,(,,1),(,,2,),(,,,n,+,1)(1

16、+,x,),(, n,),,,,注意,:,当,x,=,,1,时,,,级数的收敛性与,,的取值有关,.,,,,,1,,收敛区间为,: (,1, 1,).,,1<,,<0,,,收敛区间为,: (,1, 1],.,,>0,,,收敛区间为,: [,1, 1],.,所以,(1+,x,),,的泰勒级数的收敛区间是,(1, 1),,,,x,(1, 1),(1+,x,),,=,1+,x,+,牛顿二项式展开式,当,,,=,,,1,时,,,x,,(,1, 1,).,=,1,,x,+,x,2,,x,3,+,···,+(1,),n,x,n,+,···,,三、小结,1.,如何求函数的泰勒级数,;,2.,泰勒级数收敛于函数的条件,;,3.,函数展开成泰勒级数的方法,.,,