单辉祖材力(弯曲变形)课件

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1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,,,*,剪力,弯矩,弯曲正应力及强度条件,弯曲切应力及强度条件,弯曲刚度分析,静不定梁分析,,弯曲变形的计算,,,,,第七章 弯曲变形,弯曲内力,弯曲强度,弯曲变形,,,剪力弯矩弯曲正应力及强度条件弯曲切应力及强度条件弯曲刚度分析,1,1、齿轮传动,轮齿不均匀磨损，噪声增大，产生振动；,加速轴承磨损，降低使用寿命；若变形过大，使传动失效。,,,,,§7-1 引言,一、弯曲实例,弊端：,,,1,2,,,,,1,2,,,1、齿轮传动 轮齿不均匀磨损，噪声增大，产生振动； 加速轴承,2,2、继电器中的簧片,,,电磁力

2、,当变形足够大时，可以有效接通电路；,触点,,当变形不够大时，不能有效接通电路；,簧片,,,,,工程中，一方面要限制变形，另一方面要利用变形。,,,2、继电器中的簧片电磁力当变形足够大时，可以有效接通电路；触,3,,,x,w,挠曲轴,m—m,n—n,（1）挠度,,w,,：横截面形心在垂直于轴线方向的位移,（2）转角,θ,：横截面绕中性轴的转过的角度,w,θ,符号规定：向上为正，向下为负。,,符号规定：逆时针为正，顺时针为负。,,（3）轴向位移,Δx,：,横截面形心在轴线方向的位移 ，,小变形情况下，略去不计。,ΔX,x,（连续、,,光滑,平坦的平面曲线）,,w,z,,,,,,,二、梁变形的表示

3、方法,θ,,,xw挠曲轴m—mn—n（1）挠度 w ：横截面形心在垂直于轴,4,,,(通常,θ,<1º=0.0175弧度),挠曲轴曲线性质：,,挠曲轴,x,w,x,w(x),o,θ(x),θ(x),,,（2）挠曲轴上任一点的切线斜率等于梁上该截面的转角值。,（,1）挠曲轴上任一点的纵坐标等于梁上该截面的挠度值；,,,,,三、挠度和转角之间的关系,,,(通常θ<1º=0.0175弧度)挠曲轴曲线性质：挠曲轴xw,5,1、中性层曲率表示的弯曲变形公式,,(纯弯曲变形公式，,EI,为抗弯刚度）,,2、数学中的曲率公式,一、挠曲轴微分方程,,,M,ρ,o,x,w,,ρ(x),M(x),,,,,§7-2

4、 梁变形基本方程,,,1、中性层曲率表示的弯曲变形公式(纯弯曲变形公式，EI为抗弯,6,,,3、挠曲轴微分方程,4、挠曲轴近似微分方程,弧度,,（1）在小变形条件下，,,,,,,o,x,w,,,,,,,M > 0,M < 0,（2）正负号确定：,M,与,w″,保持同号,（1）线弹性范围,（2）小变形条件,（3）平面弯曲,适用条件：,,,3、挠曲轴微分方程4、挠曲轴近似微分方程 弧度（1）在小变形,7,二、积分法计算梁的变形,,,,C、D为积分常数，,它由位移边界与连续,条件确定。,,,,,,,二、积分法计算梁的变形C、D为积分常数，它由位移边界与连续,8,,,,,,,,边界条件：,(2)铰支

5、座：,,,,A,B,C,A,B,（1）固定端约束：,连续条件 ：,C,,,边界条件：(2)铰支座：ABCAB（1）固定端约束：连续条件,9,例1：,悬臂梁AB，弯曲刚度,EI,为常数，受力,F,和力偶,M = FL,作用，求,w(,x)，,θ(x),；,并计算B截面的挠度和转角值。,解：1、 建立挠曲轴微分方程并积分,A端约束反力,F,Ay,=F,梁的弯矩方程：,L,B,M,A,F,F,Ay,x,挠曲轴近似微分方程：,,,,,x,w,,,例1：悬臂梁AB，弯曲刚度 EI 为常数，受力F 和力偶M,10,2、确定积分常数,A端为固定端约束，,x=0, w=0,x=0,,θ=0,,C,=0,,

6、 D,=0,3、挠度方程、转角方程及B截面的转角,将,x=L,代入转角方程：,,,,,L,B,M,A,F,F,Ay,x,w,x,,,2、确定积分常数A端为固定端约束，x=0, w=0C=0 ,,11,,例2：由积分法求图示梁的,w,A,、,,A,。,解：1) 坐标系如图；,AC,段：,则近似微分方程为：,积分可得：,,,,,,x,,,,,,w,x,,,,x,,,,,,,,,,,,,,,,,Fa,,,,a,,,,,a,,F,EI,C,A,B,,,,,,,2) 分两段进行分析：,BC,段：,,,例2：由积分法求图示梁的wA、A。解：1) 坐标系如图；A,12,,,积分可得：,则近似微分方程为：

7、,利用约束和连续条件确定,C,1,、,D,1,、,C,2,、,D,2,四个常数：,,,时,，,约束条件：,,,积分可得：则,13,连续条件：,处,，,由此可得：,即：,,,,由此可得：,,,连续条件：处，由此可得：即： 由此可得：,14,最后可得：,（向下）,（逆时针）,(2) 由约束和连续条件求积分常数；,(1) 两段：四个常数，每增加一段，就增加 两个积分常数；,小结：,(3) 坐标原点一律放在左边，分段写出,M,(,x,)；,,,(4) 注意,x,的范围。,,,最后可得：（向下）（逆时针）(2) 由约束和连续条件求积分常,15,§7-3计算梁位移的叠加法,由于：,1）,小变形，轴向位

8、移可忽略；,简单载荷下梁的挠度和转角见附录E。,因此，,梁的挠度和转角与载荷成线性关系，可用叠加原理求复杂载荷作用下梁的挠度和转角。,2）线弹性范围工作。,,,,,§7-3计算梁位移的叠加法由于：1）小变形，轴向位移可忽略；,16,例：利用叠加原理求图示弯曲刚度为,EI,的悬臂梁自由端,B,截面的挠度和转角。,解：原荷载可看成为图a和b两种荷载的叠加，对应 的变形和相关量如图所示。,F,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,l,,,,,l,,,,,l,,EI,F,A,B,,,,,,,C,D,q,B,1,F,,,,,,,,q,C,1,w,C,1,w,C,1,q,C,1,,

9、2,l,,,,,,,,,直线,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,w,B,1,(a),q,D,1,q,B,2,w,D,1,·,,,,,,,,,,,F,,,,,,,,q,D,1,BD,,,,,,,直线,w,D,1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,w,B,2,(b),,,,,,例：利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁自由端B截面的挠,17,对图a，可得,C,截面的挠度和转角为：,由位移关系可得此时,B,截面的挠度和转角为：,（向下）,（顺时针）,q,B,1,F,,,,,,,,q,C,1,w,C,1,w,C,1,q,C,1,,2,l,,,,,,,,,直线,,,,,,,

10、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,w,B,1,(a),,,,,对图a，可得C截面的挠度和转角为：由位移关系可得此时B截面的,18,对图b，可得,D,截面的挠度和转角为：,同理可得此时,B,截面的挠度和转角为：,（向下）,（顺时针）,q,D,1,q,B,2,w,D,1,·,,,,,,,,,,,F,,,,,,,,q,D,1,BD,,,,,,,直线,w,D,1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,w,B,2,(b),,,,,,对图b，可得D截面的挠度和转角为：同理可得此时B截面的挠度和,19,,,将相应的位移进行叠加，即得：,（向下）,（顺时针）,,,,,将相,20,例：由叠加原理求图示

11、弯曲刚度为,EI,的外伸梁,C,截面 的挠度和转角以及,D,截面的挠度。,解：可将外伸梁看成是图a和b所示的简支梁和悬臂 梁的叠加。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B,C,(b),F=qa,,,,,,A,EI,,D,B,qa,qa,2,/2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(a),,,,,,,,,,,,A,C,,,,,a,,,,,a,,,,,a,,,,,,,,,,,,,,F=qa,B,D,EI,,,,,,（1）对图a，其又可看成为图c和d所示荷载的组合。,,,,,例：由叠加原理求图示弯曲刚度为EI的外伸梁C截面,21,+,,,,,,A

12、,,,,,,,F=qa,(c),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,qa,2,/2,(d),,图c中,D,截面的挠度和,B,截面的转角为：,图d中,D,截面的挠度和,B,截面的转角为：,,,,,+AF=qa(c)qa2/2(d)图c中D截面的挠度和B截面,22,将相应的位移进行叠加，即得：,（向下）,（顺时针）,（2）对图b，,C,截面的挠度和转角分别为：,,,,,将相应的位移进行叠加，即得：（向下）（顺时针）（2）对图b，,23,,,所以：,原外伸梁,C,端的挠度和转角也可按叠加原理求得，即：,（向下）,（顺时针）,,,,,,,,,,,,A,C,,,,,a,,,,,a,,,,

13、,a,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,F=qa,B,D,EI,q,B,q,Cq,q,B,×,a,w,Cq,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,所以：原外伸梁C端的挠度和,24,例：利用叠加原理求图示弯曲刚度为,EI,的中间铰梁铰 接点,B,处的挠度和,B,点右截面的转角以及,D,截面的挠度，其中：,F,=2,qa,。,,,,,,解：可在铰接点处将梁分成图a和b所示两部分，并可求得铰接点处的一对作用力与反作用力为：,q,A,,,,,,,,,,EI,EI,F,B,C,,,,a,/2,,D,,,,,,,,,,a,,,,,a,,,,,,,,,,,,,,,

14、,,,,,,,,,,,,,,,,,,例：利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的中间铰梁铰,25,F/,2,,,,,,,,,w,B,,,,直线,,,B,w,DF,,,w,/2,+,F/,2,,,,,,,,,,,,,,,,w,B,,,,,,,,q,B,,,,,,,,,,,,,,,C,,,,,A,,,,,,,,,,F,,,,,,,,,(a),B,C,q,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(b),F/,2,,,,,,B,,,,,,,,C,图a和b中分别给出了两部分的变形情况。,(c),并且图b又可分解为图c所示两种载荷的组合。,,,,,F/2wB直线BwDFw/2+F/2wBqBCAF(a

15、)BC,26,,（1）对图b，可得其,B,截面的挠度和转角为：,进行相应的叠加可得：,（向下）,（逆时针）,,,,,（1）对图b，可得其B,27,（2）图a可看成为右支座有一定竖直位移（位移量为,w,B,）的简支梁，此时,D,截面的挠度为：,（向下）,F/,2,,,,,,,,,w,B,,,,直线,,,B,w,DF,,,w,/2,A,,,,,,,,,,F,,,,,,,,,(a),,,,,（2）图a可看成为右支座有一定竖直位移（位移量为wB）的简支,28,§7-4 梁的刚度条件,,提高梁的刚度的措施,1、,梁的刚度校核,,保证梁的正常工作除要满足强度条件外，产生的变形也不能太大，应满足刚度条件，

16、即有：,与,为许可值，可查设计手册。,其中，,,,,,§7-4 梁的刚度条件提高梁的刚度的措施1、梁的刚度校核,29,例：图示空心圆截面外伸梁，已知,D,=80mm，,d,=40mm，,E,=200GPa，,C,点挠度不得大于,AB,跨长的10,-4,，,B,截面转角不得大于10,-3,rad，,校核刚度。,解：首先,可利用图a,由叠加原理求,w,C,和,,B,。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,200,,,,,200,,,,,100,,A,D,B,C,F,2,=1kN,F,1,=2kN,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

17、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D,,,,,,,,,,d,,,,(a),,,,,,,,A,,F,2,,,,,,,,,,C,F,1,B,,,,,,,,,,,,,,l,,,,,,,,,,,,,,,,,F,1,,×,BD,,,,,,例：图示空心圆截面外伸梁，已知D=80mm，d=40mm，E,30,图a可看成由图b和c的叠加而得，图b和c分别有：,,,,,,,,,,w,C,1,q,B,1,,,,,,,,,,,,w,C,2,q,B,2,,,,,,,,,A,,,,,,,,,,,B,F,2

18、,,,,(b),,,,,,,,,A,,C,,,,,,,,,,,,,,,,,,B,M,,(c),,,,,图a可看成由图b和c的叠加而得，图b和c分别有：wC1qB1,31,叠加可得：,因为：,,,,,叠加可得：因为：,32,所以：,刚度满足。,则：,,,,,所以：刚度满足。则：,33,2）减少梁的跨度或增加支承。,2、,提高刚度措施,除外加载荷外，梁的位移,w,、,,还与梁的弯曲刚度,EI,成反比，与跨长,l,的,n,次方成正比，因此，提高刚度的措施有：,1）升高,EI,。,各种钢材,E,相差不大，主要提高,I,，在截面面积,A,不变时，尽可能使面积分布远离中性轴。,如工字形、箱形等截面。,如

19、下图所示结构：,,,,,2）减少梁的跨度或增加支承。2、提高刚度措施,34,超静定梁:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,C,,,,,,,,,,,,,,,B,,,,,,,,,,,,,,,,,,,超静定梁:BABACB,35,§6-5 简单超静定梁,,,超静定问题：平衡方程不能完全求解，有多余约

20、束，需列补充方程。,,解除多余约束，得到相当系统，根据变形协调条件，列补充方程,列补充方程：,F,,,,,,,,,B,q,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B,,,,,,,,,,,,,,,,,F,A,A,M,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A,B,q,,,,,,,,,,,,l,,,,,A,q,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

21、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B,,,,,,,,,,Bq,,,,w,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A,,,,,,,,,,,,,F,,,,,,,,B,B,,w,,,,,BF,,,§6-5 简单超静定梁 超静定问题：平衡方程不,36,,可分别求出（也可查表）梁在均布载荷和集中力作用下的挠度为,,补充方程变为,,解得,,,可分别求出（也可查表）梁在均布载荷和集中力作用下,37,,也可以取支座,A,处阻止梁端面转动的约束作为“多余”约束，解除后可得相当系统,,根据原超静定梁端面,A,的转

22、角应等于零的变形相容条件，可由变形协调条件建立补充方程来求解。,,可从右向左作出剪力图和弯矩图,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,F,s,图,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,M图,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,M,A,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A,B,q,,,,,,l,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A,,,也可以取支座 A 处阻止梁端面转动的约束作为“,38,谢谢！再见！,,,,,谢谢！再见！,39,