2014-2015学年高中数学（人教A版必修四） 第二章 平面向量 第二章 章末检测（B）（含答案）

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1、 第二章　平面向量(B) (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知向量a＝(4,2)，b＝(x,3)，且a∥b，则x的值是(　　) A．－6 B．6 C．9 D．12 2．下列命题正确的是(　　) A．单位向量都相等 B．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 C．若|a＋b|＝|a－b|，则a·b＝0 D．若a与b都是单位向量，则a·b＝1. 3．设向量a＝(m－2，m＋3)，b＝(2m＋1，m－2)，若a与b的夹角大于90°，则实数m的取值范围是(　　) A．(

2、－，2) B．(－∞，－)∪(2，＋∞) C．(－2，) D．(－∞，2)∪(，＋∞) 4．平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则·等于(　　) A．8 B．6 C．－8 D．－6 5．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与向量b的夹角是(　　) A. B. C. D. 6．关于平面向量a，b，c，有下列四个命题： ①若a∥b，a≠0，则存在λ∈R，使得b＝λa； ②若a·b＝0，则a＝0或b＝0； ③存在不全为零的实数λ，μ使得c＝λ

3、a＋μb； ④若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)． 其中正确的命题是(　　) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 7．已知|a|＝5，|b|＝3，且a·b＝－12，则向量a在向量b上的投影等于(　　) A．－4 B．4 C．－ D. 8．设O，A，M，B为平面上四点，＝λ＋(1－λ)·，且λ∈(1,2)，则(　　) A．点M在线段AB上 B．点B在线段AM上 C．点A在线段BM上 D．O，A，B，M四点共线 9．P是△ABC内的一点，＝(＋)，则△ABC的面积与△ABP的面积之比为(　　

4、) A. B．2 C．3 D．6 10．在△ABC中，＝2，＝2，若＝m＋n，则m＋n等于(　　) A. B. C. D．1 11．已知3a＋4b＋5c＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·(b＋c)等于(　　) - 2 - / 11 A．－ B．－ C．0 D. 12．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错误的是(　　) A．若a与b共线，则a⊙b＝0 B．a⊙b＝b⊙a

5、 C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b) D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________. 14．a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________. 15．已知向量a＝(6,2)，b＝(－4，)，直线l过点A(3，－1)，且与向量a＋2b

6、垂直，则直线l的方程为________． 16．已知向量＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，设M是直线OP上任意一点(O为坐标原点)，则·的最小值为________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)如图所示，以向量＝a，＝b为边作▱AOBD，又＝，＝，用a，b表示、、. 18．(12分)已知a，b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2， 求：(1)(a－2b)·(a＋b)； (2)|a＋b|； (3)|3a－4b|. 19．(12分)已知a＝(，－1)，b＝，且存

7、在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb ，且x⊥y，试求的最小值． 20．(12分)设＝(2,5)，＝(3,1)，＝(6,3)．在线段OC上是否存在点M，使MA⊥MB？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 21．(12分)设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围． 22．(12分)已知线段PQ过△OAB的重心G，且P、

8、Q分别在OA、OB上，设＝a，＝b，＝ma，＝nb. 求证：＋＝3. 第二章　平面向量(B) 答案 1．B　[∵a∥b，∴4×3－2x＝0，∴x＝6.] 2．C　[∵|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b |a－b|2＝a2＋b2－2a·b |a＋b|＝|a－b|.∴a·b＝0.] 3．A　[∵a与b的夹角大于90°，∴a·b<0，∴(m－2)(2m＋1)＋(m＋3)(m－2)<0，即3m2－2m－8<0，∴－

9、－3，－5)＝8.] 5．C　[∵a(b－a)＝a·b－|a|2＝2，∴a·b＝3，∴cos〈a，b〉＝＝＝，∴〈a，b〉＝.] 6．B　[由向量共线定理知①正确；若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，所以②错误；在a，b能够作为基底时，对平面上任意向量，存在实数λ，μ使得c＝λa＋μb，所以③错误；若a·b＝a·c，则a(b－c)＝0，所以a⊥(b－c)，所以④正确，即正确命题序号是①④.] 7．A　[向量a在向量b上的投影为|a|cos〈a，b〉＝|a|·＝＝－＝－4.] 8．B　[∵＝λ＋(1－λ)＝＋λ(－)∴＝λ，λ∈(1,2)，∴点B在线段AM上，故选B.] 9．C　[

10、设△ABC边BC的中点为D，则＝＝. ∵＝(＋)＝，∴＝，∴||＝||.∴＝3.] 10．B　[＝＋＝＋＝＋(－)＝＋故有m＋n＝＋＝.] 11．B　[由已知得4b＝－3a－5c，将等式两边平方得(4b)2＝(－3a－5c)2，化简得a·c＝－.同理由5c＝－3a－4b两边平方得a·b＝0，∴a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝－.] 12．B　[若a＝(m，n)与b＝(p，q)共线，则mq－np＝0，依运算“⊙”知a⊙b＝0，故A正确．由于a⊙b＝mq－np，又b⊙a＝np－mq，因此a⊙b＝－b⊙a，故B不正确．对于C，由于λa＝(λm，λn)，因此(λa)⊙b＝λmq－λnp，又λ(

11、a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，故C正确．对于D，(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpq＋n2p2＋(mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2)＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，故D正确．] 13．2 解析　∵a＝(1,2)，b＝(2,3)， ∴λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)． ∵向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线， ∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0. ∴λ＝2. 14．7 解析　∵|5a－b|2＝(5a－b)2＝25a2＋b2－10a·b＝25×12＋32－10×1×3×(－)＝49. ∴

12、|5a－b|＝7. 15．2x－3y－9＝0 解析　设P(x，y)是直线上任意一点，根据题意，有·(a＋2b)＝(x－3，y＋1)·(－2,3)＝0，整理化简得2x－3y－9＝0. 16．－8 解析　设＝t＝(2t，t)，故有·＝(1－2t,7－t)·(5－2t,1－t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2 )2－8，故当t＝2时，·取得最小值－8. 17．解　＝－＝a－b.∴＝＋＝＋＝＋＝a＋b. 又＝a＋b.＝＋＝＋＝＝a＋b， ∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b. 18．解　a·b＝|a||b|cos 120°＝4×2×＝－4. (1)(a－2b)·(a＋b)＝a2

13、－2a·b＋a·b－2b2＝42－2×(－4)＋(－4)－2×22＝12. (2)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12. ∴|a＋b|＝2. (3)|3a－4b|2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝16×19， ∴|3a－4b|＝4. 19．解　由题意有|a|＝＝2，|b|＝＝1. ∵a·b＝×－1×＝0，∴a⊥b. ∵x·y＝0，∴[a＋(t2－3)b](－ka＋tb)＝0.化简得k＝. ∴＝(t2＋4t－3)＝(t＋2)2－.即t＝－2时，有最小值为－. 20．解　设＝t，t∈[0,1]，则＝

14、(6t,3t)，即M(6t,3t).＝－＝(2－6t,5－3t)， ＝－＝(3－6t,1－3t)．若MA⊥MB，则·＝(2－6t)(3－6t)＋(5－3t)(1－3t)＝0.即45t2－48t＋11＝0，t＝或t＝.∴存在点M，M点的坐标为(2,1)或. 21．解　由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角， 得<0， 即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0. 整理得：2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te<0.(*) ∵|e1|＝2，|e2|＝1，〈e1，e2〉＝60°. ∴e1·e2＝2×1×cos 60°＝1 ∴(*)式化简得：2t2＋15t＋7<0.解得：

15、－7