2014-2015学年高中数学 第二章 2.5等比数列的前n项和（二）导学案新人教A版必修

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1、 §2.5　等比数列的前n项和(二) 课时目标 1．熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题． 2．能用等比数列的前n项和公式解决实际问题． 1．等比数列{an}的前n项和为Sn，当公比q≠1时，Sn＝＝；当q＝1时，Sn＝na1. 2．等比数列前n项和的性质： (1)连续m项的和(如Sm、S2m－Sm、S3m－S2m)，仍构成等比数列．(注意：q≠－1或m为奇数) (2)Sm＋n＝Sm＋qmSn(q为数列{an}的公比)． (3)若{an}是项数为偶数、公比为q的等比数列，则＝q. 3．解决等比数列的前n项和的实际应用问题，关键是在实际问题中建立等比数列模型．

2、 一、选择题 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5等于(　　) A．33 B．72 C．84 D．189 答案　C 解析　由S3＝a1(1＋q＋q2)＝21且a1＝3，得q＋q2－6＝0.∵q>0，∴q＝2.∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝22·S3＝84. 2．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为(　　) A．1.14a B．1.15a C．10a(1.15－1)

3、 D．11a(1.15－1) 答案　D 解析　注意去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a. ∴1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11a(1.15－1)． 3．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为(　　) A.或5 B.或5 C. D. 答案　C 解析　若q＝1，则由9S3＝S6得9×3a1＝6a1， 则a1＝0，不满足题意，故q≠1. 由9S3＝S6得9×＝，

4、解得q＝2. 故an＝a1qn－1＝2n－1， ＝()n－1. 1 / 7 所以数列{}是以1为首项，为公比的等比数列，其前5项和为 S5＝＝. 4．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)(　　) A．300米 B．299米 C．199米 D．166米 答案　A 解析　小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×8＝299≈300(米)． 5．在等比数列中，S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于(　　) A．90 B．70

5、C．40 D．30 答案　C 解析　q≠1 (否则S30＝3S10)， 由，∴， ∴，∴q20＋q10－12＝0. ∴q10＝3，∴S20＝＝S10(1＋q10) ＝10×(1＋3)＝40. 6．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还(　　) A.万元 B.万元 C.万元 D.万元 答案　B 解析　设每年偿还x万元，则：x＋x(1＋γ)＋x(1＋γ)2＋x(1＋γ)3＋x(1＋γ)4＝a(1＋γ)5， ∴x＝. 二、填空题 7．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S

6、2,3S3成等差数列，则{an}的公比为________． 答案　 解析　由已知4S2＝S1＋3S3，即4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3)． ∴a2＝3a3， ∴{an}的公比q＝＝. 8．在等比数列{an}中，已知S4＝48，S8＝60，则S12＝ ________________________________________________________________________. 答案　63 解析　方法一　∵S8≠2S4，∴q≠1， 由已知得 由②÷①得 1＋q4＝，∴q4＝　　　　　　　　　　③ 将③代入①得＝64， ∴S12＝＝

7、64(1－)＝63. 方法二　因为{an}为等比数列， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列， 所以(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， 所以S3n＝＋S2n， 所以S12＝＋S8＝＋60＝63. 9．一个蜂巢里有一只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了2个伙伴；第2天，3只蜜蜂飞出去，各自找回了2个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂． 答案　729 解析　每天蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数列，a1＝3，q＝3，∴第6天所有蜜蜂归巢后，蜜蜂总数为a6＝36＝729(只)． 10．某工厂月生产总值的平

8、均增长率为q，则该工厂的年平均增长率为________． 答案　(1＋q)12－1 解析　设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1＋q)，该厂第一年的生产总值为S1＝1＋(1＋q)＋(1＋q)2＋…＋(1＋q)11. 则第2年第1个月的生产总值为(1＋q)12， 第2年全年生产总值S2＝(1＋q)12＋(1＋q)13＋…＋(1＋q)23＝(1＋q)12S1， ∴该厂生产总值的平均增长率为＝－1＝(1＋q)12－1. 三、解答题 11．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.

9、 (1)以2010年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式； (2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数) 参考数据：0.910≈0.35. 解　(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1＝a，公比q＝1－10%＝0.9，∴an＝a·0.9n－1 (n≥1)． (2)10年的出口总量S10＝＝10a(1－0.910)． ∵S10≤80，∴10a(1－0.910)≤80， 即a≤，∴a≤12.3. 故2010年最多出口12.3吨． 12．某市2008年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2009年投

10、入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： (1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车？ (2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的？(lg 657＝2.82，lg 2＝0.30，lg 3＝0.48) 解　(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{an}，其中a1＝128，q＝1.5，则在2015年应该投入的电力型公交车为a7＝a1·q6＝128×1.56＝1 458(辆)． (2)记Sn＝a1＋a2＋…＋an， 依据题意，得>， 于是Sn＝>5 000(辆)，即1.5n>. 两边取常用对数，则n·lg

11、1.5>lg ， 即n>≈7.3，又n∈N＋，因此n≥8. 所以到2016年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的. 能力提升 13．有纯酒精a L(a>1)，从中取出1 L，再用水加满，然后再取出1 L，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共倒出纯酒精________L. 答案　8 解析　用{an}表示每次取出的纯酒精，a1＝1，加水后浓度为＝1－，a2＝1－，加水后浓度为＝2，a3＝2， 依次类推：a9＝8，a10＝9. ∴8＋9＝8. 14．现在有某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的

12、利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元，两方案使用期都是10年，到期后一次性归还本息，若银行贷款利息均按本息10%的复利计算，试比较两种方案谁获利更多？(精确到千元，数据1.110≈2.594,1.310≈13.79) 解　甲方案10年中每年获利数组成首项为1，公比为1＋30%的等比数列，其和为 1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9＝≈42.63(万元)， 到期时银行贷款的本息为 10(1＋0.1)10≈10×2.594＝25.94(万元)， ∴甲方案扣除贷款本息后，净获利约为 42．63－25.94≈16.7(万元)．

13、 乙方案10年中逐年获利数组成等差数列， 1＋1.5＋…＋(1＋9×0.5) ＝ ＝32.50(万元)， 而贷款本利和为 1．1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9] ＝1.1× ≈17.53(万元)． ∴乙方案扣除贷款本息后，净获利约为 32．50－17.53≈15.0(万元)， 比较得，甲方案净获利多于乙方案净获利． 1．准确理解等比数列的性质，熟悉它们的推导过程是记忆的关键．用好其性质也会降低解题的运算量，从而减少错误． 2．利用等比数列解决实际问题，关键是构建等比数列模型．要确定a1与项数n的实际含义，同时要搞清是求 an还是求Sn的问题． 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！