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1、返回返回上页上页下页下页目录目录2021年10月16日星期六1第二节第二节 二重积分的计算方法二重积分的计算方法 第八章第八章 (Calculation of Double Integral)一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分三、小结与思考练习三、小结与思考练习返回返回上页上页下页下页目录目录2021年10月16日星期六2解法解法: 类似定积分解决问题的思想:复习复习.求曲顶柱体的体积求曲顶柱体的体积 I给定曲顶柱体:0),(yxfz底：底： xoy 面上的闭区域 D顶顶: 连续曲面侧侧面：面：以 D 的边界为准线 ,
2、母线平行于 z 轴的柱面求体积.“大化小, 常代变, 近似和, 求极限” D),(yxfz ( , )dDf x ynkkkkfI10),(lim记作( , )d.Df x yxdy记作返回返回上页上页下页下页目录目录2021年10月16日星期六3复习：直角坐标系情形复习：直角坐标系情形 : 若积分区域为)()(,),(21xyyxybxayxD则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若积分区域为)()(,),(21yxxyxdycyxD则xy)(1yxx Ddc)(2yxx )()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xyb
3、aD返回返回上页上页下页下页目录目录2021年10月16日星期六4,dDyx其中D 是抛物线xy 2所围成的闭区域. 解解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy845Dxy22 xy214oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直线则 例例1 计算返回返回上页上页下页下页目录目录2021年10月16日星期六5一、利用极坐标计算二重积分一、利用极坐标计算二重积分xyokkkrrkkkkkkrrsin,cos对应有在极坐标系下, 用同心圆 r =常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积kkkkkkrrrr
4、)(21),2, 1(nkk在k),(kkrkkkkrrkkkr221内取点kkkrr221)(及射线 =常数, 分划区域D 为krkrkkkr返回返回上页上页下页下页目录目录2021年10月16日星期六6kkkkkkknkrrrrf)sin,cos(lim10kknkkf),(lim10Dyxfd),(ddrr即Drrf)sin,cos(Do)(1r)(2r)(1ro)(2r)()(21d)sin,cos(rrrrf,)()(:21rD则Drrrrfdd)sin,cos(d设设返回返回上页上页下页下页目录目录2021年10月16日星期六7222ln(1)d dln(1)d d ,DDxyx
5、y 21200dln(1)d122100 (1)ln(1)2d (2ln21)返回返回上页上页下页下页目录目录2021年10月16日星期六83261sin4 ryxyxDdd)(22sin4sin22drrr)32(15yyx422yyx22203 yx其中D 为由圆所围成的,dd)(22yxyxD,222yyxyyx42203 xy及直线, 03yx解：解：平面闭区域.03 xysin2 roxy2436d例例3. 计算返回返回上页上页下页下页目录目录2021年10月16日星期六9特别地特别地, 对20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)
6、(roD若 f 1 则可求得D 的面积d)(21202Dd返回返回上页上页下页下页目录目录2021年10月16日星期六10思考思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试答答: ;0) 1 ()(rDoyx)(rDoyx问 的变化范围是什么?(1)(2)22)2(返回返回上页上页下页下页目录目录2021年10月16日星期六11,dd22Dyxyxe其中.:222ayxD解解: 在极坐标系下0:,02raD原式Drerard02are02212)1(2ae2xe的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角2reddrr20d由于故坐标计算.例例4 计算返回返回上页上页下页下页目录目
7、录2021年10月16日星期六12利用例利用例4可得到一个在概率论与数理统计及工程上可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式非常有用的反常积分公式2d02xex事实上事实上, 当当D 为为 R2 时时,Dyxyxedd22yexeyxdd2220d42xex利用例利用例6的结果的结果, 得得)1 (limd42220aaxexe故故式成立式成立 .注注:返回返回上页上页下页下页目录目录2021年10月16日星期六1322224azyx被圆柱面xayx222)0( a所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解解: 设由对称性可知20,cos20:arDdd4422rrraVD20
8、d4cos2022d4arrrad)sin1 (3322033a)322(3323aoxyza2例例5 求球体2 cosra2a返回返回上页上页下页下页目录目录2021年10月16日星期六14内容小结内容小结直角坐标系情形直角坐标系情形 : 若积分区域为)()(,),(21xyyxybxayxD则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若积分区域为)()(,),(21yxxyxdycyxD则xy)(1yxx Ddc)(2yxx )()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaD返回返回上页上页下页下页目录目录2021年10月16日星期六15Do)(1r)(2r)()(,),(21rrD( , )dDf x y则极坐标系情形极坐标系情形: 若积分区域为( cos , sin)Df rr)()(21d)sin,cos(drrrrfddrr返回返回上页上页下页下页目录目录2021年10月16日星期六16课外练习课外练习习题习题82 第二次第二次作业作业 7（1）（）（2）(4)； 8； 11; 12(选选做做)
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