二次根式应用

《二次根式应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二次根式应用（27页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第十八章《勾股定理》教材分析及教学建议 本章主要内容是勾股定理及其逆定理。首先让学生通过观察得出直角三角形两条直角边的平方和等于 斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理，然后运用勾股定理解决问题。在此基础上，引入勾股 定理的逆定理，并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念。 本章教学时间约需8课时，具体安排如下： 18. 1勾股定理 4 课时 19. 2 勾股定理的逆定理 3 课时 数学活动 小结 1 课时 、教科书内容和课程学习目标 本章知识结构框图： 互逆定理 直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，如两个锐角互余， 30。的角所对的直角

2、边等 于斜边的一半。本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是一条非常重要的性质。 勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以 解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大。它不 仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用。 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类 的语言、音乐、各种图形等。据说我国著名数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇 宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种“语言”的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义

3、，发现 勾股定理，尤其在 2000多年前，是非常了不起的成就。 在第一节中，教科书让学生通过观察计算一些直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积与以斜边 为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形 的面积，从而发现勾股定理。 勾股定理的证明方法很多，教科书正文中介绍的是一种面积证法。其中的依据是图形经过割补拼接后， 只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。在教科书中，图 18.1 -3 (1)中的图形经过割补拼接后得到图 19.1 —3（3）中的图形。由此就证明了勾股定理。通过推理证实命题 1的正确性后，教科书顺势指出什么 是定理。

4、由勾股定理可知，已知两条直角边的长 a,b,就可以求出斜边c的长。由勾股定理可得以，二白2一占二或 由此可知，已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长。也就是说，在直 角三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长。教科书相应安排了三个探究栏目，让学生运用 勾股定理解决问题。 在第二节中，教科书让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角 形是直角三角形。从而猜想如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直 角三角形。这个猜想可以利用全等三角形证明，得到勾股定理的逆定理。 勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形

5、的方法。教科书安排了两个例题，让学生学会 运用这种方法。这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它通过代数运算“算”出来。实际上利用计算 证明几何问题学生已经见过，计算在几何里也是很重要的。从这个意义上讲，勾股定理的逆定理的学习， 对开阔学生眼界，进一步体会数学中的各种方法有很大的意义。 几何中有许多互逆的命题，互逆的定理，它们从正反两个方面揭示了图形的特征性质，所以互逆命题 和互逆定理是几何中的重要概念。学生已见过一些互逆命题（定理），例如：“两直线平行，内错角相等” 与“内错角相等，两直线平行”；“全等三角形的对应边相等”与“对应边相等的三角形是全等三角形” 等，都是互逆命题。勾股定理与勾

6、股定理的逆定理也是互逆的命题，而且这两个命题的题设和结论都比较 简单。因此，教科书在前面已有感性认识的基础上，在第二节中，结合勾股定理的逆定理的内容的展开， 穿插介绍了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立。为巩固这些内容，相应 配备了一些练习与习题。 本章学习目标如下： 1 .体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题； 2 .会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形； 3 .通过具体的例子，了解定理的含义，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定 成立。 二、本章编写特点 （一）让学生体验勾股定理的探索和运用过程 勾股定理的发现从传说故

7、事讲起，从故事中可以发现等腰直角三角形有这样的性质：以等腰直角三角 形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。再看一些其他直角三角形, 发现也有上述性质。因而猜想所有直角三角形都有这个性质，即如果直角三角形的两直角边长分别为 斜边长为匚，那么疗口 +&'=/（教科书把这个猜想记作命题1,把下节“如果三角形的三边长 明瓦匚满 足0=十上，=/,那么这个三角形是直角三角形”记作命题 2,便于引出互逆命题）。 教科书让学生用勾股定理探究三个问题。探究 1是木板进门问题。按照已知数据，木板横着、竖着都 不能进门，只能斜着试试。由此想到求长方形门框的对角线的长，而这个问

8、题可以用勾股定理解决。探究 2 是梯子滑动问题：梯子顶端滑动一段距离，梯子的底端是否也滑动相同的距离。这个问题可以转化为已知 斜边与一条直角边的长求另一条直角边的长的问题，这也可以用勾股定理解决。 探究3是在数轴上画出表示 小 的点。分以下四步引导学生： （1）将在数轴上画出表示 屈 的点的问题转化为画出长为 厢 的线段的问题。 （2）由长为 J5的线段是直角边都为 1的直角三角形的斜边，联想到长为 距的线段能否是直角边为 正整数的直角三角形的斜边。 （3）通过尝试发现，长为 屈的线段是直角边为 2,3的直角三角形的斜边。 （4）画出长为,两 的线段，从而在数轴上画出表示 上 的点

9、。 （二）结合具体例子介绍抽象概念 在本章中，结合勾股定理、勾股定理的逆定理介绍了定理、逆命题、逆定理的内容。 在勾股定理一节中，先让学生通过观察得出命题 1,然后通过面积变形证明命题 1。由此说明，经过证 明被确认正确的命题叫做定理。 在勾股定理的逆定理一节中，从古埃及人画直角的方法谈起，然后让学生画一些三角形（已知三边， 并且两边的平方和等于第三边的平方），可以发现画出的三角形是直角三角形。因而猜想如果三角形的三 边长演，瓦二满足十方，二二\那么这个三角形是直角三角形，即教科书中的命题 2。把命题2的条件、结 论与上节命题1的条件、结论作比较，引出逆命题的概念。接着探究证明命

10、题 2的思路。用三角形全等证 明命题2后，顺势引出逆定理的概念。 命题1,命题2属于原命题成立，逆命题也成立的情况。为了防止学生由此误以为原命题成立，逆命题 一定成立，教科书特别举例说明有的原命题成立，逆命题不成立。 （三）注重介绍数学文化 我国古代的学者们对勾股定理的研究有许多重要成就，不仅在很久以前独立地发现了勾股定理，而且 使用了许多巧妙的方法证明了它，尤其在勾股定理的应用方面，对其他国家的影响很大，这些都是我国人 民对人类的重要贡献。 本章介绍了我国古代的有关研究成果。在引言中介绍我国古算书《周髀算经》的记载“如果勾是三、 股是四、那么弦是五"。有很多方法可以证明勾股定理。教

11、科书为了弘扬我国古代数学成就，介绍了我国 古人赵爽的证法。首先介绍赵爽弦图，然后介绍赵爽利用弦图证明命题 1的基本思路。“赵爽弦图”表现 了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲。正因为此，这个图案被选为 2002年 在北京召开的世界数学家大会的会徽。还在习题中安排我国古代数学著作《九章算术》中的问题，展现我 国古人在勾股定理应用研究方面的成果。 本章也介绍了国外的有关研究成果。如勾股定理的发现是从与毕达哥拉斯有关传说故事引入的。又如 勾股定理的逆定理从古埃及人画直角的方法引入。再如介绍古希腊哲学家柏拉图关于勾股数的结论。 三、几个值得关注的问题 （一）让学生获得

12、更多与勾股定理有关的背景知识 与勾股定理有关的背景知识丰富， 除正文介绍的有关内容外， 教科书在“阅读与思考 勾股定理的证明” 中介绍了另外几种证明勾股定理的方法，还安排了一个数学活动，让学生收集一些证明勾股定理的方法， 并与同学交流。 在教学中，应注意展现与勾股定理有关的背景知识，使学生对勾股定理的发展过程有所了解，感受勾 股定理的丰富文化内涵，激发学生的学习兴趣。特别应通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究方面的成 就，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感，同时教育学生发奋图强， 努力学习，为将来担负起振兴中华的重任打下基础。 （二）适当总结与定理、逆定

13、理有关的内容 第3页 本章中给出了定理、逆定理的概念，可以在小结中回顾已学的一些结论。例如，在第七章“三角形” 中， “三角形的内角和等于 180 °”是由平行线的性质与平角的定义推出的，这个结论也称为三角形内角和 定理。又如，在第十三章“全等三角形”中，都是利用三角形全等证明的，前一个结论也称为角的平分线 的性质定理，而后一个结论是角的平分线的性质定理的逆定理。这样就可以从定理、逆定理的角度认识已 学的一些结论，明确其中一些结论之间的关系。 互逆命题、互逆定理的概念，学生接受它们困难不大，对于那些不是以“如果……那么……”形式给 出的命题，叙述它们的逆命题困难较大，是教学

14、中的一个难点。解决这个难点的方法是，适当复习命题的 有关内容，学会把一个命题变为“如果……那么……”的形式。注意这些概念是第一次学习，不要要求过 高。 四、教学建议 本章内容的重点与难点是勾股定理及其应用，勾股定理的互定理及其应用。勾股定理是解几何题中有关 线段计算问题的重要依据，也是以后学习解直角三角形的主要依据之一。本章的难点是掌握勾股定理并能 熟练的运用勾股定理。要注意：在直角三角形中，反映的是直角三角形的三边关系。直角三角形两直角边 a,b 的平方和等于斜边的平方和。在其它三角形中不存在这样的关系。这是一个非常重要的定理。它是 把形 转化为数 ，它的应用非常广泛。勾股定理

15、的互定理则是 把数转化为形 ，通过计算判定一个三角形是否为直 角三角形。 相关知识点回顾 ： （ 1 ）直角三角形的两个锐角互余 （ 2 ）直角三角形中 30 度角所对的直角边等于斜边的一半。 （ 3 ）斜边大于任一条直角边 （ 4 ）全等三角形判定方法。 （ 5 ）面积公式 学生在本章学习中存在认知误区和思维障碍。 ⑴忽视题目中的隐含条件。如在 RtAABC中，/ B=90, a, b, c分别为三条边，a= 3, b=4,求边c 的长。不少学生会认为 c=5,忽视了 b是斜边这一隐含条件。 4 2） 忽视定理成立的条件是在直角三角形中， 有的同学看到三角形的两边是 3

16、和 4， 就会认为第三边是 5 ， （3）考虑问题不全面造成漏解．如已知直角三角形的两边长分别为 5 和 12，求第三边。 （4）通过添加辅助线将非直角三角形转化为直角三角形. 如（a）连结两点构造直角三角形 （b）作高构造直 角三角形（ c ）构造几何图形解决代数问题。 教学建议 本章教学教师可采用主体性学习的教学模式， 提出问题让学生思考，设计问题让学生做，错误原因让 学生找，方法与规律让学生归纳．教师的作用在于组织、点拨、引导，促进学生主动探索、积极思考、大 胆想象、总结规律，充分发挥学生的主体作用，让学生真正成为教学活动的主人。本章的教学步骤可分五 步：探索结论一一验

17、证结论一一 初步应用结论一一证明结论一一应用结论解决实际问题。 1、在探索结论阶段，应调动学生的积极性，让学生充分参与 例如，教材设计了在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动，教师鼓励学生尝试求出方格 中三个正方形的面积、比较这三个正方形的面积的关系，由此得到直角三角形三边的关系、通过对几个特 殊例子的考察归纳出直角三角形三边之间的一般规律，运用自己的语言表达探索过程和所得结论。 2、在勾股定理的探索和验证过程中，数形结合的思想有较多的体现 例如，在探索勾股定理的过程中，教师应引导学生由正方形的面积想到；而在勾股定理的验证过程中, 教师又应引导学生由数想到正方形的面积. 3、

18、初步应用结论阶段的重点是让学生明确：在直角三角形中，知道两边的长度，可以求得第三边的 长度，教师应充分利用教材让学生体会勾股定理及其逆定理在现实世界中有着较为广泛的应用，如埃及人 利用结绳的方法作出直角，利用勾股定理求出蚂蚁的最短路线等。 4、证明结论阶段主要是理清思路，而不只是介绍某一种证明方法教师在教学中应激发学生探索更多 的证明方法，注意训练学生书写规范。 5、应用结论解决实际问题要注意强调两类问题：探索性问题和应用性问题通过问题的解决，让学生 学会从不同角度分析问题、解决问题；让学生学会引申、变更问题，以培养学生发现问题、提出问题的创 造能力 例有一个边长为 50分米的正方形洞口

19、，问用直径为多长的圆形铁片来堵住洞 y 口？ 表面看上去这是一个有关圆的问题。其实圆形铁片的直径就应该是等腰三角形的 I 斜边长边长是50分米，把它看成一个直角三角形， 然后用勾股定理，两条直角边的平 果: 方和等于斜边的平方。就是 50x50+50x50=5000 ,答案是50,2=70.5 要求学生记住勾股定理， 然后对待问题套公式， 这样可以解决一系列的问题 6、注重介绍数学史，凸显数学的文化价值 7、关注学生学习过程的评价，对于本章的学习，除了考查勾股定理的解题应用外，还应该关注对学 生学习过程的评价。例如，让学生动手截、害U、拼、补，使学生参与定理的发现、探索、验证过程

20、，既能 培养学生数学的直观能力，又能体现教学的针对性、活动性、开放性与合作性。 五常见典型错误简析 (1)如何求第三边？ 第5页 例1在RtAABC中，/ B = 90, a, b, c分别为三条边，a=3, b= 4,求边c的长。 不少学生会认为c=5,忽视了 b是斜边这一隐含条件。 例2判断：在^ ABC中，AC = 3, BC = 4,求AB的长 不少学生会认为 AB=5,忽视了△ ABC是直角三角形这个条件。 例3已知直角三角形的两边长分别为 5和12,求第三边。 不少学生会认为第三边为 13,忽视了 12可能是直角边也可能是斜边。 例 4 如图，/ A =45

21、, / B= Z D=90 , BC=1 , AD =2, 求 CD 的长。 不少学生会在四边形 ABCD里面加辅助线，破坏了已知的条件。增加了解题的难度。应该把AB,CD边 延长，构造出新的直角三角形，利用勾股定理解题。 (2)蚂蚁怎么走最近？ 例5如图，有一个圆柱，它的高等于 12厘米，底面半径等于 3厘米.在圆柱的下底面 A点有一只蚂 蚁，它想吃到上底面上与 A点相对的C点处的食物，需要爬行的最短路程是多少 ？(兀的值取3). 本题常见错误有两个：一是不能正确地将圆柱的侧面展开，从而无法进行求解；二是误将圆柱侧面展 第9页

22、 (3)木板能否经过门框？ 例6 一个门框的长为 2m,宽为1m,如图所示，一块长 3 m,宽2.2m的薄木 板能否从门框内通过？为什么？不少学生一看此题，就会给出答案： 不能.而不知应先利用勾股定理求出 AC的长再进行判断。 (4)梯子底端下滑几米？ 例7 一个3 m长的才^子AB ,斜靠在一竖直的墙 AO上，这时AO的距离为 2. 5 m,如果梯子的顶端 A沿墙下滑0. 5m,那么梯子底端 B也外移0. 5吗？ 本题学生容易错误地理解为梯子的顶端 A沿墙下滑0. 5 m时， 梯子底端C向外移动的距离是 CD ,因为梯子的长度没有改变, 认为CD=AE ,得

23、出错误解答。 （5）湖水如何知深浅？ 例8荷花问题”：平平湖水清可当 忙向前，花离原位一尺远；能算诸用请解 六中考热点 勾股定理在中考数学中单独命题考杳 程、函数、四边形、圆以及相似形等知识 要求身。 1（2009年达州）图『株美丽的勾股力 止方形A、B、C、D的边长分别是3、 A. 13 B. 26 2 （2009年滨州）如图 3,已知△ AD = 8, 则边BC的长为（ A. 21 B. 15 C. 6 3（2009年安顺）图甲是我国古代著空 个全等的直角三角形围成的。在 RtA 四个直角三角形中边长为 6的直角边攻 1, 面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一

24、边，渔人观看 逝，湖水如何知深浅 ？”请用学过的数学知识解答这个问题. :的选择题和填空题相对较少，而主要是m 综合在一起考查，灵活性强，涉及面广、能力 、乙 E 对，其中所有的四边形都是止方形， 所有的三角形都是直角三角形. 若 5、2、3,则最大正方形 E的面积是 C. 47 D. 94 【答案】C ABC 中，AB =17, AC = 10, BC 边上的高 ） ………B/I\c D.以上答案都不对 【答案】A B D C 1的“赵爽弦图”的示意图，它是由四 ABC 中，若直角边 AC = 6, BC=6,将 总 >别向外延长一倍，得到图乙所示的“数 卜曲

25、 学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是 【答案】76 4 （2009年湖南长沙）如图，等腰△ ABC中， 若 AB 5cm, BC 6cm ,则 AD cm 5 （2009恩施市）如图，长方体的长为 15,5 距离为5, 一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 （ ）A. 5>/21 B. 25 C. 10 AB AC, AD是底边上的高， 1.［答案］4 / \ B D C 置为10,图为20,点B离点C的 / 7 A爬到点B ,需要爬行的最短距离是 I；—B * 51c V5 5 D. 35【答案】B ： 20 6 （2009年滨州）某楼梯的侧面

26、视图如图 4所示， C 90° ,因某种活动要求铺设红色地毯，则在 其中 AB 4米， BAC 30° , J-4 L——15 M0 AB段楼梯所铺地毯的长 P^IB C 度应为.【答案】（2+2 与）米. 7（2009年四川省内江市）已知RtAABC的周长是4 443 , A 斜边上的中线长是 2,则Saabc =

27、【答案】8 8 （2009年宜宾）已知：如图，以 RtAABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形. ^9 若斜边AB= 3,则图中阴影部分的面积为 .【答案】9. 2 DF 9 （2009年崇左）如图，在等腰梯形 ABCD中，已知 AD//BC , AB = DC,AD =2, BC = 4,延长 BC 至U E,使 CE = AD. (1)证明：A BAD 0 A DCE; (2)如果AC ± BD,求等腰梯形 ABCD的高DF的值.答案 10 （09白银市）如图13, 4ACB和△ ECD都是等腰直角三角形，/ ACB=/ECD = 90

28、 第十八章勾股定理 18. 1勾股定理（一） 、教学目标 1 . 了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2 .培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3 .介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。 、重点、难点 4 .重点：勾股定理的内容及证明。 5 .难点：勾股定理的证明。 三、例题的意图分析 例1 （补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思

29、维，锻炼学生的 动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国 情怀。 例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。进一步让学生确信勾 股定理的正确性。 四、课堂引入 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类 的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文 明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前， 是非常了不起的成就。 让学生画一个直角边为 3cm和4cm的直角△

30、ABC ,用刻度尺量出 AB的长。 以上这个事实是我国古代 3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段 连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的 长是3,长的直角边（股）的长是 4,那么斜边（弦）的长是 5。 再画一个两直角边为 5和12的直角△ ABC,用刻度尺量 AB的长。 你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52, 52+122=132,那么就有勾2+股2=弦 2 O 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 五、例习题分析 例1 （补充）已知：在^ AB

31、C中，/ C=90°，/ A、/ B、/ C的对边 为 a、b、c。 求证：a2+b2=c2。 分析：⑴让学生准备多个三角形模型， 最好是有颜色的吹塑纸， 让学生拼摆 不同的形状，利用面积相等进行证明。 ⑵拼成如图所示，其等量关系为： 4Sa+S小『S大正 4X — ab+ ( b— a) 2=c2,化简可证。 2 ⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。 （4）勾股定理的证明方法，达 300余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生 的民族自豪感，和爱国情怀。 a b a 例2已知：在^ ABC中，/ C=90° A、/ B、/ C 的对边

32、为 a、b、Co 求证：a2+b2=c2。 分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。 左边 S=4X 1ab+c2 2 右边 S= (a+b) 2 左边和右边面积相等，即 4X — ab+ c2= (a+b) 2 2 化简可证。 六、课堂练习 1 .勾股定理的具体内容是： 2 .如图，直角△ ABC的主要性质是：/ C=90° ,(用几何语言表示) ⑴两锐角之间的关系：; ⑵若D为斜边中点，则斜边中线 ; ⑶若/ B=30° ,贝U/ B的对边和斜边： ; ⑷三边之间的关系： 。 3 . △ ABC的三边a、b、c,若满足b2= a2+c2,

33、则=90° ;若满足b2 >c2+a2,则/ B是 角； 若满足b2A ABC的三边，则 a、b,求 c) b、 c,求 a) a、c,求 b) 2 .如下表，表中所给的每行的三个数 a、b、c,有a< bvc,试根据表中已有数的规律，写出当 a=19时, b, c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。 3、4、5 32+42=52 5、12、13 52+122=

34、132 7、 24、 25 72+242=252 9、 40、 41 92+402=412 19, b、 c 192+b2=c2 3 .在^ ABC中，/ BAC=120 ° , AB=AC= 1073 cm, 一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，问当 4.已知：如图，在^ ABC中，AB=AC , 求证：⑴ AD2-AB 2=BD - CD D在CB的延长 B 线上。 P点移动多少秒时，PA与腰垂直。 课后反思: ⑵若D在CB上，结论如何，试证明你的结论。 八、参考答案 课堂练习 1 .略； 2 .⑴/ A+/B=90° ;⑵ CD=1AB

35、;⑶ AC=1AB;⑷ AC2+BC2=AB 2。 3 . 3 B,钝角, 锐角; 4 .提示：因为 S 梯形 ABCD = S^ABE+ S^BCE+ $△ EDA ,又因为 S 梯形 ACDG = g (a+b) 2, 1 SABCE= Sa EDA = — at), 2 1 2 Saabe = — c2, 2 c 1 (a+b) 2=2x 一 2 ab+ -c2o 2 课后练习 1. .⑴ c= . b2 ⑵ a= , b2 c2 ⑶ b= c2 a2 2 2 a b 2. c b 则 b,j, 2 2 a c=— 1 一， 一；当

36、 a=19 时，b=180, c=181。 3. 5秒或 10秒。 4 .提示：过A作AEXBC于E。 18. 1 勾股定理（二） 第13页 -、教学目标 1 .会用勾股定理进行简单的计算。 2 .树立数形结合的思想、分类讨论思想。 二、重点、难点 1 .重点：勾股定理的简单计算。 2 .难点：勾股定理的灵活运用。 三、例题的意图分析 例1 （补充）使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的 关系。让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。并学会利用不同的条件转化为已知 两边求第三边。 例2 （补充）让学生注

37、意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。 例3 （补充）勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造 直角三角形的辅助线做法。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高综合能力。 四、课堂引入 复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重在应用。 五、例习题分析 例 1 （补充）在 RtAABC , / C=90° ⑴已知a=b=5,求c。 ⑵已知a=1,c=2,求bo ⑶已知c=17,b=8,求a。 ⑷已知 a： b=1: 2,c=5,求 a。 ⑸已知 b=15, /A=30 ° ,求 a, c。

38、分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。⑴已知两直角边，求斜 边直接用勾股定理。⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。⑷⑸已知一边和两 边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学 生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的 转化思想。 则此题可解。 例2 （补充）已知直角三角形的两边长分别为 5和12,求第三边。 分析：已知两边中较大边 12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况 分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想

39、。 例3 （补充）已知：如图，等边△ ABC的边长是6cm。 ⑴求等边^ ABC的高。 ⑵求Sa ABC o 分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要 创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做 法。欲求高 CD,可将其置身于 RtAADC或RtABDC中， 但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求 AD=CD= - AB=3cm , 2 六、课堂练习 1 .填空题 ⑴在 RtAABC , /C=90° , a=8, b=15,贝U c=。 ⑵在 RtAABC , / B=90° , a=3, b=4,贝U c=。 ⑶在 RtAABC ,

40、 /C=90° , c=10, a： b=3: 4,贝U a=, b= ⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ⑸已知直角三角形的两边长分别为 3cm和5cm,,则第三边长为 ⑹已知等边三角形的边长为 2cm,则它的高为 ,面积为 。 2 .已知：如图，在^ ABC 中，/ C=60° , AB= 473 , AC=4 , AD 是 BC 边上的高，求BC的长。 3 .已知等腰三角形腰长是 10,底边长是16,求这个等腰三角形的面积。 七、课后练习 1 .填空题 在 RtAABC , / C=90° , ⑴如果 a=7, c=25,贝U b=。 ⑵如果

41、/ A=30 ° , a=4,贝U b=。 ⑶如果/ A=45 ° , a=3,贝U c=。 ⑷如果 c=10, a-b=2,贝U b=。 ⑸如果a、b、c是连续整数，则 a+b+c=。 ⑹如果 b=8, a： c=3： 5,贝U c=。 2 .已知：如图，四边形 ABCD中，AD//BC, AD ± DC , AB LAC, / B=60° , CD=1cm ,求 BC 的长。 课后反思: 八、参考答案 课堂练习 1. 17; 77; 6, 8; 6, 8, 10; 4 或 V34; 芯,33 ; 2. 8; 3. 48。 课后练习 2. 1. 24; 473 ;

42、3 J2 ; 6; 12; 10; 、教学目标 1 .会用勾股定理解决简单的实际问题。 2 .树立数形结合的思想。 、重点、难点 1 .重点：勾股定理的应用。 2 .难点：实际问题向数学问题的转化。 三、例题的意图分析 例1 （教材P74页探究1）明确如何将实际问题转化为数学问题，注意条件的转化; 知识、思想、方法解决实际问题。 例2 （教材P75页探究2）使学生进一步熟练使用勾股定理，探究直角三角形三 边的关系：保证一边不变，其它两边的变化。 四、课堂引入 勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。勾股定理的发现和使用解决 了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定

43、理解决一些问题，你可以吗？试一 试。 五、例习题分析 学会如何利用数学 例1 （教材P74页探究1） 分析：⑴在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是 直角。⑵让学生深入探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？⑶指出薄木板在数学问题 ⑸注意给学生 例2 （教材P75页探究2） 分析：⑴在△ AOB中，已知 ⑵在ACOD中，已知 则BD=OD —OB,通过计算可知 AB=3 , AO=2.5 ,利用勾股定理计算 CD=3, CO=2,利用勾股定理计算 OD。 BDWAC。 OB 。 ⑶进一步让学生探究 AC和BD的关系

44、，给AC不同的值，计算 BD。 六、课堂练习 1 .小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着 45度的坡路走了 500米, 离地面的高度是 米。 看到了一棵红叶树，这棵红叶树的 4^3米，则这两株树之间的垂直距离是 2.如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是 3.如图，一根12米高的电线杆两侧各用 4题图 15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？⑷转化为勾股定理的计算，采用多种方法。 小结深化数学建模思想，激发数学兴趣。 18. 1勾股定理（三） 第15页 4.如图，原计划从 A地经C地到B地修建一条高速公

45、路，后因技术 攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为 300万元，隧道总长为 2公里，隧道造价为 500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用 是多少？ 七、课后练习 1 .如图，欲测量松花江的宽度， 沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点 A,使AC垂直江岸，测得BC=50 米， ZB=60° ,则江面的宽度为 。 2 .有一个边长为 1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞 口，则圆形盖半径至少为 米。 3 . 一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在 P、Q两点，PQ=16 厘米，且 RPL PQ 则RQ=厘米。 4 .如图

46、，钢索斜拉大桥为等腰三角形， 支柱高24米，/ B= / C=30° , E、F分别为BD、CD中点，试求B、C两点之间的距离，钢索 AB和 AE的长度。 （精确到1米） 课后反思: 八、参考答案： 课堂练习： 1. 250拒； 2. 6, 243 3. 18 米； 4. 11600; 课后练习 … 2 1. 50 V 3 米； 2.—; 3. 20; 4. 83 米，48 米，32 米; 18. 1勾股定理（四） 一、教学目标 1 .会用勾股定理解决较综合的问题。 2 .树立数形结合的思想。 二、重点、难点 1 .重点：勾股定理的综合应用。 2 .难点：

47、勾股定理的综合应用。 三、例题的意图分析 例1 （补充）“双垂图”是中考重要的考点，熟练掌握“双垂图”的图形结构和图形性质，通过讨论、 计算等使学生能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有： 3个直角三角形，三个勾股定理及推导 式BC2-BD2=AC2-AD2,两对相等锐角，四对互余角，及 30。或45。特殊角的特殊性质等。 例2 （补充）让学生注意所求结论的开放性，根据已知条件，作适当辅助线求出三角形中的边和角。让 学生掌握解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。使学生清楚作辅助线不能破坏已知 角。 例3 （补充）让学生掌握不规则图形的面积，可转化为特殊图形

48、求解，本题通过将图形转化为直角三角 形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。在转化的过程中注意条件的合理运用。让学生把前面学 过的知识和新知识综合运用，提高解题的综合能力。 例4 （教材P76页探究3）让学生利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上 的点与实数 对应的理论。 四、课堂引入 复习勾股定理的内容。本节课探究勾股定理的综合应用。 五、例习题分析 例 1 （补充）1.已知：在 Rt^ABC 中，/C=90° , CD^BC 于 D, Z A=60 ° , CD= J3 , 求线段AB的长。 分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点

49、，所以要求学生对图形及性质掌握非常 熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有： 3个直角三角形, C A B 三个勾股定理及推导式 BC2-BD2=AC2-AD2,两对相等锐角，四对互余角，及 30°或45°特殊角的特殊性质等。 要求学生能够自己画图，并正确标图。引导学生分析：欲求 AB ,可由 AB=BD+CD ,分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出 BD=3和 ad=1。或欲求 ab,可由ab Jac2 bc2 ,分别在两个三角形中利用勾 股定理和特殊角，求出 AC=2和BC=6。 例 2 （补充）已知：如图，△ ABC 中，AC=4 , / B=4

50、5° , / A=60 ° 根据题设可知什么？ 分析：由于本题中的△ ABC不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得/ ACB=75。。在学生充分思考和讨论后，发现添置 AB边上的高这条辅助线, 就可以求得 AD , CD, BD , AB, BC及S”bc。让学生充分讨论还可以作其 它辅助线吗？为什么？ 小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。 并指出如何作辅助线？ 解略。 例 3（补充）已知：如图，/B=/D=90° , /A=60° , AB=4 , CD=2。 求：四边形ABCD的面积。 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结 AC,或

51、延长 AB、DC交于F,或延长 AD、BC交 于E,根据本题给定的角应选后两种， 进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 教学中要逐层展示给学 生，让学生深入体会。 解：延长AD、BC交于E。 •. /A=/60° , Z B=90 ° , . E=30° 。 AE=2AB=8 , CE=2CD=4 , BE2=AE 2-AB 2=82-42=48, BE= <48 =4用。 d DE2= CE2-CD2=42-22=12，.= DE= 7T2 = 2V3 。 S 四边形 ABCD =SaaBE-SacDE = 小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图

52、形转化为直角三角形的方法，把四 边形面积转化为三角形面积之差。 例4 （教材P76页探究3） 分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。 变式训练：在数轴上画出表示 忑3 1,2 J2的点。 六、课堂练习 1 . △ ABC 中，AB=AC=25cm ,高 AD=20cm,则 BC=, S*bc=。 2 . △ ABC 中，若/ A=2/B=3/C, AC= 273 cm,则/ A=度，/ B=度，/C= 度, BC=, S/\ ABC =o 3 . AABC 中，/ C=90° , AB=4 , BC= 2 上,CD± AB

53、于 D,则 AC= CD=, BD=, AD=Sabc =。 4 .已知：如图，△ ABC 中，AB=26 , BC=25 , AC=17 , 求 Saabc。 七、课后练习 1 .在 RtAABC 中，/ C=90 2.在 RtAABC 中，/ C=90 ,CD，BC 于 D, / A=60 ° , ,Saabc =30, c=13,且 avb, CD= V3 , AB=。 贝 U a=, b= 第19页 5 .已知：如图，在^ ABC 中，/ B=30° , / C=45° , AC= 272 , 求（1） AB 的长；（2） Sa ABC。 6 .在数轴上

54、画出表示一痴,我 J5的点。 课后反思: 八、参考答案： 课堂练习： 1. 30cm, 300cm2； 2. 90, 60, 30, 4, 2V3； 3. 2,8,3, 1, 243; 4,作 BDXAC 于 D,设 AD=x ,贝U CD=17-x, 252-x2=262- (17-x) 2, x=7 , BD=24 , 1 Saabc= — AC - BD=254 ; 2 课后练习： 1. 4; 2. 5, 12; 3,提示：作 AD ±BC 于 D, AD=CD=2 , AB=4 , BD= 273 , BC=2+ 2V3 ,字abc= =2+ 2y3 ；

55、4. 略。 18. 2勾股定理的逆定理（一） 、教学目标 1 .体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。 2 .探究勾股定理的逆定理的证明方法。 3 .理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。 、重点、难点 1 .重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。 2 .难点：勾股定理的逆定理的证明。 三、例题的意图分析 例1 （补充）使学生了解命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系。 例2 （P82探究）通过让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求 知欲，锻炼学生的动手操作能力，再通过探究理论证明方法，使实践上升到理论，提高学生的理性思

56、维。 例3 （补充）使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判 断那条边最大。②分别用代数方法计算出 a2+b2和c2的值。③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角 三角形；若不相等，则不是直角三角形。 四、课堂引入 创设情境：⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形? ⑵怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进 行猜想。 五、例习题分析 例1 （补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？ ⑴同旁内角互补，两条直线平行。 ⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。 ⑶线段垂直平分线上

57、的点到线段两端点的距离相等。 ⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。 分析：⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注 意语言的运用。 ⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能 都假。 解略。 例2（P82探究）证明：如果三角形的三边长 a,b,c满足a2+b2=c2, 那么这个三角形是直角三角形。 分析：⑴注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写 已知求证。 ⑵如何判断一个三角形是直角三角形， 现在只知道若有一个角 是直角的三角形是直角三角形， 从而将问题转化为如何

58、判断一个角 是直角。 ⑶利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等， 使问题得以解决。 ⑷先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边 A1B〔=c,则通过三边对应相等的两个三角 形全等可证。 ⑸先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理 论证明方法。充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受。 证明略。 例 3 （补充）已知：在^ ABC 中，/ A、/ B、/ C 的对边分别是 a、b、c, a=n2- 1, b=2n, c=n2+1 (n>1) 求证：/ C=90 。 分析：⑴运用勾股定理

59、的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断那条边最大。 ②分别用代数方法计算出 a2+b2和c2的值。③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相 等，则不是直角三角形。 ⑵要证/ C=90。，只要证△ ABC是直角三角形，并且c边最大。根据勾股定理的逆定理只要证明 a2+b2=c2 即可。 ⑶由于 a2+b2= (n2—1) 2+ (2n) 2=n4 + 2n2+1, c2= (n2+1) 2= n4+2n2+1,从而 a2+b2=c2,故命题 获证。 六、课堂练习 1 .判断题。 ⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这

60、条边所对的角是直角。 ⑵命题：“在一个三角形中，有一个角是 30。，那么它所对的边是另一边的一半。”的逆命题是真命 题。 ⑶勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 (4)A ABC的三边之比是1: 1: 四,则△ ABC是直角三角形。 2 . △ ABC中/A、/B、/ C的对边分别是 a、b、c,下列命题中的假命题是( ) A.如果/ C —/B=/A,则4ABC是直角三角形。 B.如果c2= b2-a2,则△ ABC是直角三角形，且/ C=90°。 C.如果(c + a) ( c- a) =b2,则△ ABC是直角三角形。 D

61、.如果/ A : /B: /C=5: 2: 3,则4ABC是直角三角形。 3 .下列四条线段不能组成直角三角形的是( ) A. a=8, b=15, c=17 B. a=9, b=12, c=15 C. a= v'5 , b= V3 , c= v2 D. a： b： c=2： 3: 4 4 .已知：在^ ABC中，/ A、/B、/C的对边分别是a、b、c,分别为下列长度，判断该三角形是否是 直角三角形？并指出那一个角是直角？ (1) a= 33 , b= 2 < 2 , c=痣； ⑵ a=5, b=7 , c=9; ⑶a=2, b= V3 , c= 71 ; ⑷a=5, b=2

62、d6 , c=1。 七、课后练习， 1 .叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。 ⑴如果a3>0,那么a2>0; ⑵如果三角形有一个角小于 90。，那么这个三角形是锐角三角形； ⑶如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等； ⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等。 2 .填空题。 ⑴任何一个命题都有,但任何一个定理未必都有 。 ⑵“两直线平行，内错角相等。”的逆定理是 。 ⑶在△ ABC中，若a2=b2-c2,则4ABC是 三角形，是直角； 第27页 若 a2vb2—c2,则/ B 是。 ⑷若在△ ABC 中，a=m2— n2, b=2mn , c= m2+n

63、2,则△ ABC 是 三角形。 3.若三角形的三边是 ⑴1、/3、 ⑸(m + n) 2— 1, 2 (m + n), 1 1 1 c c c 2; ⑵一，一,一； ⑶32, 42, 52 (4)9, 40, 3 4 5 41； （m+n） 2+1;则构成的是直角三角形的有（ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4.已知：在^ ABC中，/ A、/ B、/C的对边分别是 a、b、c,分别为下列长度，判断该三角形是否 是直角三角形？并指出那一个角是直角? ⑴a=9, b=41, c=40; ⑵a=15, b=16, c=6; ⑷a=5

64、k, b=12k, c=13k (k>0)。 课后反思: 八、参考答案： 课堂练习： 1.对，错，错，对； 2. D; 3. D; 4.⑴是，/ B;⑵不是；⑶是，/ C;⑷是，/ Ao 课后练习： 1 .⑴如果a2>0,那么a3>0;假命题。 ⑵如果三角形是锐角三角形，那么有一个角是锐角；真命题。 ⑶如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等；假命题。 ⑷两条相等的线段一定关于某条直线对称；假命题。 2 .⑴逆命题，逆定理；⑵内错角相等，两直线平行；⑶直角，/ B,钝角；⑷直角。 3 . B 4.⑴是，/ B;⑵不是，；⑶是，/ C;⑷是，/ Co 18. 2

65、勾股定理的逆定理（二） 、教学目标 1 .灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 2 .进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。 、重点、难点 1 .重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 2 .难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 三、例题的意图分析 例1 （P83例2）让学生养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。 QPR=90° ; 例2 （补充）培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆 定理解决实际问题的意识。 四、课堂引入 创设情境：在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识和 数学方法。 五、例习题分析

66、 例 1 （P83 例 2） 分析：⑴了解方位角，及方位名词； ⑵依题意画出图形； QR=30 ; ⑶依题意可得 PR=12X 1.5=18, PQ=16X1.5=24, ⑷因为242+182=302, PQ2+PR2=QR2,根据勾股定理 的逆定理，知/ ⑸ / PRS=/QPR-/QPS=45°。 小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。 例2 （补充）一根30米长的细绳折成 3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长 7米，比 较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。 分析：⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长； ⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长 5、12、13; ⑶根据勾股定理的逆定理，由 52+122=132,知三角形为直角三角形。 解略。 六、课堂练习 1 .小强在操场上向东走 80m后，又走了 60m,再走100m回到原地。小强在 操场上向东走了 80m后，又走60m的方向是。 2 .如图，在操场上竖直立着一根长为 2米的测影竿，早晨测得它的影长为 4 B D A 米，中午测得它的影长为 1米，则A